九年級(（下冊）)三角函數(shù)教學(xué)案

..課題：§7.1正切一、教學(xué)目標：1．理解并掌握正切的定義,會在直角三角形中求出某個銳角的正切值；2.了解計算一個銳角的正切值的方法.二、自主學(xué)習(xí)：1．下列圖中的兩個臺階哪個更陡？你是怎么判斷的？2．思考與探索：除了用∠A的大小來描述傾斜程度,我們還可以〔1可通過測量BC與AC的長度,再算出它們的比,來說明臺階的傾斜程度.〔2可通過測量B1C1與A1C1的長度,再算出它們的比,來說明臺階的傾斜程度.總結(jié)：一般地,如果銳角A的大小確定,我們可以作出無數(shù)個以A為一個頂點的直角三形〔如圖,那么圖中：成立嗎？為什么？結(jié)論：.3．正切的定義：.三、釋疑解難：思考：當(dāng)∠A越來越大時,∠A的正切值如何變化？四、例題講解：1.根據(jù)下列圖中所給條件分別求出下列圖中∠A、∠B的正切值.通過上述計算,你有什么發(fā)現(xiàn)？2．如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的高,AC=3,AB=5,求∠ACD、∠BCD的正切值．變式：如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD是斜邊AB上的高.①tanA＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿；②tanB＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿；③tan∠ACD＝＿＿＿＿；④tan∠BCD＝＿＿＿＿；五：當(dāng)堂檢測：A級〔100分1．如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝EQ\r<,5>,求tanA與tanB的值．2．如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝12,tanA＝EQ\f<4,3>,求AB的值．3．如圖,在4×4的正方形網(wǎng)格中,tanα=__________.4．在直角坐標系中,△ABC的三個頂點的坐標分別為A<－4,1>,B<－1,3>,C<－4,3>,則tanB=___________.〔先畫圖再填空5．如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,tanA=2,求AB的值.B級〔20分6．等腰三角形ABC的腰長AB,AC為5,底邊長為6,求tanC.課題：§7.2正弦、余弦<1>一、教學(xué)目標：1．理解并掌握正弦、余弦的含義,會在直角三角形中求出某個銳角的正弦和余弦值；2.能用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切.二、自主學(xué)習(xí)：問題1：如圖,小明沿著某斜坡向上行走了13m后,他的相對位置升高了5m,如果他沿著該斜坡行走了20m,那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？問題2：在上述問題中,他在水平方向又分別前進了多遠？思考：從上面的兩個問題可以看出：當(dāng)直角三角形的一個銳角的大小已確定時,它的對邊與斜邊的比值__________；它的鄰邊與斜邊的比值___________．〔根據(jù)是______________________．正弦的定義：如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,我們把銳角∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的______,記作________,即：sinA＝________=________.余弦的定義：如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,我們把銳角∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的______,記作=_________,即：cosA=______=_____.〔你能寫出∠B的正弦、余弦的表達式嗎？試試看.根據(jù)如圖中條件,分別求出下列直角三角形中銳角的正弦、余弦值.三、釋疑解難：從sin15°,sin30°,sin75°的值,你們得到什么結(jié)論？____________________________________________________________.從cos15°,cos30°,cos75°的值,你們得到什么結(jié)論？____________________________________________________________.問題4：銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________歸納與小結(jié)：sinA＝eq\f<,>；cosA＝eq\f<,>；tanA＝eq\f<,>．2．銳角A的正弦,余弦和正切都是∠A的_________________．3．當(dāng)銳角α越來越大時,α的正弦值越來___________,α的余弦值越來___________.四、例題講解：BCA231.根據(jù)下列圖中所給條件分別求出下列圖中∠ABCA23BACBAC512B22C3AC3A變式：如果方程x2－4x＋3＝0的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊,△ABC最小的角為A,求sinA的值.五：當(dāng)堂檢測：A級〔100分1．如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝12,BC＝5,則sinA＝_____,cosA＝_____,sinB＝_____,cosB＝_____.2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝1,BC＝eq\r<,3>,則sinA＝__,cosB=____,cosA=_______,sinB=____.3.如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝9a,AC＝12a,AB＝15a,tanB=____,cosB=____,sinB=_______.4．已知：如圖,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為DsinA＝eq\f<<>,AC>＝eq\f<BC,<>>；sinB＝eq\f<CD,<>>＝eq\f<<>,AB>cos∠ACD＝eq\f<CD,<>>；cos∠BCD＝eq\f<<>,BC>tanA＝eq\f<CD,<>>＝eq\f<<>,AC>；tanB＝eq\f<<>,BD>＝eq\f<AC,<>>5．如圖,已知Rt△ABC中,斜邊AB的長為m,∠B=40°,則直角邊BC的長是〔A．m·sin40° B．m·cos40° C．m·tan40° D．eq\f<m,tan40°>B級〔20分6．在△ABC中,∠C=90°,如果sinA＝eq\f<2,3>,求sinB,tanB的值．課題：§7.2正弦、余弦<2>一、教學(xué)目標：1．能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進行計算；2.能用三角函數(shù)的知識根據(jù)三角形中已知的邊和角求出未知的邊和角.二、自主學(xué)習(xí)：1．在Rt△ABC中,∠C＝90°,分別寫出∠A的三角函數(shù)關(guān)系式：sinA＝_____,cosA=_____,tanA＝_____．∠B的三角函數(shù)關(guān)系式_________________________．2．比較上述中,sinA與cosB,cosA與sinB,tanA與tanB的表達式,你有什么發(fā)現(xiàn)？第第①題第②題第④題第⑥題3．基礎(chǔ)訓(xùn)練①如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,則sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____．②如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,則sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____．③在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=2BC,則sinC=_____．④如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=eq\f<3,5>,則BC=_____．⑤在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinB=eq\f<4,5>,則AC=_____．⑥如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=15,sinC=eq\f<3,5>,則AB=_____．⑦在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=eq\f<2,3>,AC=12,則AB=_____,BC=_____．三、釋疑解難：四、例題講解：例1．小明正在放風(fēng)箏,風(fēng)箏線與水平線成35°角時,小明的手離地面1m,若把放出的風(fēng)箏線看成一條線段,長95m,求風(fēng)箏此時的高度．〔精確到1m〔參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002例2．工人師傅沿著一塊斜靠在車廂后部的木板往汽車上推一個油桶〔如圖,已知木板長為4m,車廂到地面的距離為1.4m．〔1你能求出木板與地面的夾角嗎？〔2請你求出油桶從地面到剛剛到達車廂時的移動的水平距離．〔精確到0.1m〔參考數(shù)據(jù)：sin20.5°≈0.3500,cos20.5°≈0.9397,tan20.5°≈0.3739五：當(dāng)堂檢測：A級〔100分1．在Rt△ABC中,∠C=90o,且銳角∠A滿足sinA=cosA,則∠A的度數(shù)是____.2.比較大?。?lt;用＞,＜或＝表示>①sin40°cos40°②sin80°cos30°③sin45°cos45°.3.在Rt△ABC中,∠B=90o,AC=15,sinC=eq\f<3,5>,則BC=_______________.第5題4.已知α為銳角：第5題〔1sinα=eq\f<1,2>,則cosα=______,tanα=______.〔2cosα=eq\f<1,2>,則sinα=______,tanα=______.〔3tanα=eq\f<1,2>,則sinα=______,cosα=______.5.如圖,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,設(shè)∠ADE=α,且cosα=eq\f<4,5>,AB=4,則AD的長為________.B級〔20分6.如圖,AB表示地面上某一斜坡的坡面,BC表示斜面上點B相對于水平地面AC的垂直高度,∠A=14o,AB=240m.求點B相對于水平地面的高度<精確到1m>.〔友情提示：sin14o=0.24,cos14o=0.97,tan14o=0.25課題：§7.3特殊角的三角函數(shù)一、教學(xué)目標：1．能通過推理得30°、45°、60°角的三角函數(shù)值,進一步體會三角函數(shù)的意義；2.會計算含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)的值；3.能根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值,說出相應(yīng)銳角的大小.二、自主學(xué)習(xí)：[溫故知新]1．在Rt△ABC中,∠C＝90°,分別寫出∠A的三角函數(shù)關(guān)系式：sinA＝_____,cosA=_____,tanA＝_____．圖1圖22．如圖1,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°,若BC＝a,請你在圖上分別寫出三邊長度．圖1圖2如圖2,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝45°,若BC＝a,請你在圖上分別寫出三邊長度．3．根據(jù)以上探索完成下列表格：三、釋疑解難：四、例題講解：例1．求下列各式的值．〔12sin30°－cos45°〔2sin60°·cos60°〔3sin230°＋cos230°練習(xí)：計算.〔1cos45°－sin30°〔2sin260°＋cos260°〔3tan45°－sin30°·cos60°〔4eq\f<cos245°,tan230°>2．求下列各式的值〔1>tan45°－sin30°·cos60°〔23．在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,則BC∶AC∶AB等于〔A．1∶2∶5B.1∶∶C.1∶∶2D.1∶2∶4．已知α為銳角,當(dāng)無意義時,求tan<α+15°>-tan<α-15°>的值.ABCD5．已知：如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥ABCD△ABC、△ACD、△BCD中各銳角.五：當(dāng)堂檢測：A級<100分>1.計算下列各式的值.<1>2sin30°＋3cos60°－4tan45°<2>cos30°sin45°＋sin30°cos45°<3>eq\f<sin60°－1,tan60°－2tan45°><4>eq\r<,3>cos30°＋eq\r<,2>sin45°<5>eq\f<tan45°－cos60°,sin60°>·tan30°<6>2cos45°＋eq\b\bc\|<\a<,eq\r<,2>－eq\r<,3>>>B級〔20分5.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,求：〔1cosA〔2當(dāng)AB＝4時,求BC的長.課題：7.4由三角函數(shù)值求銳角一、教學(xué)目標：1會根據(jù)銳角的三角函數(shù)值。2能夠解決含三角函數(shù)值計算的實際問題二、自主學(xué)習(xí)：1.問題：如圖,小明沿斜坡AB行走了10cm。他的相對位置升高了5cm,你能知道這個斜坡的傾斜角A的大小嗎？根據(jù)已知條件,有：sinA=可以由一個銳角的三角函數(shù)值求這個角的大小。得∠A=自學(xué)例題：1．求滿足下列條件的銳角A〔1〔2〔32．如圖,已知秋千吊繩的長度2m,求秋千升高1m時,秋千吊繩與豎直方向所成的角度三、釋疑解難：四、例題講解：例1．根據(jù)下列條件求銳角θ的大?。?lt;1>sinθ＝；<2>cosθ＝；<3>tanθ=；例2．求滿足下列條件的銳角α．〔1cosα＝eq\f<eq\r<,3>,2>〔22sinα＝1〔32sinα－eq\r<,2>＝0〔4eq\r<,3>tanα－1＝0練習(xí)：1.若sinα＝eq\f<1,2>,則銳角α＝_________；若sinα＝eq\f<eq\r<,3>,2>,則銳角α＝_________.2.若∠A是銳角,且tanA＝eq\f<eq\r<,3>,3>,則cosA＝_________.例3.在△ABC中,∠A、∠B都是銳角,且sinA＝eq\f<1,2>,tanB＝eq\r<3>,AB＝10,求△ABC面積.變式：如圖,△ABC中,cosB＝eq\f<eq\r<,2>,2>,sinC＝eq\f<3,5>,AC＝5,則△ABC的面積是_________.五：當(dāng)堂檢測：A級〔100分1.若sinα＝eq\f<eq\r<,2>,2>,則銳角α＝________；若2cosα＝1,則銳角α=_________.2.在△ABC中,若eq\b\bc\|<\a<,cosA－eq\f<1,2>>>＋eq\r<tanB－1>＝0,則sinB＝,∠C＝.在△ABC中,∠A、∠B為銳角,且有eq\b\bc\|<\a<,tanB－eq\r<,3>>>＋<2sinA－eq\r<,3>>2＝0,則△ABC的形狀是_________.3.在△ABC中,∠C＝90°〔1若∠A＝30°,則a:b:c=；〔2若∠A＝45°,則a:b:c=.4.求滿足下列條件的銳角α:⑴cosα－eq\f<eq\r<,3>,2>＝0⑵－eq\r<,3>tanα＋eq\r<,3>＝0⑶eq\r<,2>cosα－2＝0⑷tan<α＋10°>＝eq\r<,3>⑸cos<α－25°>＝eq\f<eq\r<2>,2>⑹taneq\s<2>α－2eq\r<3>tanα＋3＝0課題：7.5解直角三角形一、教學(xué)目標：1．使學(xué)生理解直角三角形中五個元素的關(guān)系,會運用勾股定理,直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形；2.滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.二、自主學(xué)習(xí)：1、如圖,在Rt△ABC中,∠C為直角,其余5個元素之間有以下關(guān)系：〔1三邊之間關(guān)系：〔勾股定理；〔2銳角之間的關(guān)系：；〔3邊角之間的關(guān)系：；；.〔以∠A為例2、由直角三角形中的,求出的過程,叫做解直角三角形.三、釋疑解難：四、例題講解：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=5.解這個直角三角形.2．在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=.解這個直角三角形.練習(xí)：在Rt△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．請根據(jù)下列條件解直角三角形．〔1a＝10,∠A＝45°；〔2a＝5,b＝5eq\r<3>；3、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分線AD=,解Rt△ABC。4、已知：如圖,⊙O的半徑為10,求⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE的邊長.當(dāng)堂檢測：A級〔100分1、在Rt△ABC中,∠C=90°,當(dāng)已知∠A和a時,求c,應(yīng)選擇的關(guān)系式是〔A．c=B．c=C．c=a·tanAD．c=a·cosA2、在Rt△ABC中∠C=90°,c=8,∠B=30°,則∠A=______,a=______,b=______.3、在Rt△ABC中,∠C=90°,根據(jù)下列條件解直角三角形：〔1b=,c=4；〔2∠A=60°,a+b=4、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=15,求△ABC的周長和tanA的值.B級〔20分5.如圖,已知在△ABC中,∠B=60°,AD=14,CD=12,S△ADC=,求BD的長。課題：§7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用<1>一、教學(xué)目標：1．能把實際問題抽象為幾何問題,借助直角三角形、銳角三角函數(shù)把已知量與未知量聯(lián)系在一起解決實際問題。2．構(gòu)造直角三角形是解決這類問題重要輔助線。二、自主學(xué)習(xí)：問題引入：單擺的擺長AB為90cm,當(dāng)它擺動到AB’的位置時,∠BAB’=11°,問這時擺球B’較最低點B升高了多少<精確到1cm>?三、釋疑解難：四、例題講解：例1、國慶節(jié),小明和同學(xué)一起到游樂場游玩,游樂場的大型摩天輪的半徑為20m,旋轉(zhuǎn)1周需要12min．小明乘坐最底部的車廂〔離地面約0.5m開始1周的觀光,2min后小明離地面的高度是多少〔精確到0.1m？分析：如圖,小明開始在車廂點B,經(jīng)過2min后到了點C,點C離地面的高度就是小明離地面的高度,其實就是DA的長度DA=AE-解：問題延伸：1、摩天輪啟動多長時間后,小明離地面的高度將首次到達10m？2、小明將有多長時間連續(xù)保持在離地面10m以上的空中？例2：機器人"海寶"在某圓形區(qū)域表演"按指令行走",如圖5所示,"海寶"從圓心O出發(fā),先沿北偏西67.4°方向行走13米至點A處,再沿正南方向行走14米至點B處,最后沿正東方向行走至點C處,點B、C都在圓O上.〔1求弦BC的長；〔2求圓O的半徑長.〔本題參考數(shù)據(jù)：sin67.4°=EQ\F<12,13>,cos67.4°=EQ\F<5,13>,tan67.4°=EQ\F<12,5>當(dāng)堂檢測：A級〔100分1、如圖1所示的半圓中,是直徑,且,,則的值是．CBCBDA圖12、如圖,已知⊙O的半徑為5cm,弦AB的長為8cm,P是AB延長線上一點,BP=2cm,則tan∠OPA等于〔A．B．C．2D．A20米300450BC3、漣水縣在"舊城改造"中計劃在縣內(nèi)一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境。已知∠B=300,∠C=450,AB=20米,且知道這種草皮每平方米售價a元,請你算一算購買這種草皮共需要多少錢？B級〔20分4、某片綠地的形狀如圖所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,CD⊥AD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的長〔精確到1m,≈1.732課題：§7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用<2>一、教學(xué)目標：1．進一步掌握解直角三角形的方法,比較熟練的應(yīng)用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關(guān)的實際問題,培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.二、自主學(xué)習(xí)：仰角、俯角的定義：如右圖,從下往上看,視線與水平線的夾角叫仰角,從上往下看,視線與水平線的夾角叫做俯角．右圖中的∠1就是仰角,∠2就是俯角．問題引入：如圖,小明欲利用測角儀測量樹的高度。已知他離樹的水平距離BC為10m,測角儀的高度CD為1.5m,測得樹頂A的仰角為33°.求樹的高度AB?！矃⒖紨?shù)據(jù)：sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65三、釋疑解難：四、例題講解：例1：為了測量停留在空中的氣球的高度,小明先站在地面上某點觀測氣球,測得仰角為30°,然后他向氣球方向前進了50m,此時觀測氣球,測得仰角為45°．若小明的眼睛離地面1.6m,小明如何計算氣球的高度呢〔精確到0.01m例2．如圖,某高速公路建設(shè)中需要確定隧道AB的長度．已知在離地面1500m高度C處的飛機上,測量人員測得正前方A、B兩點處的俯角分別為60°和45°．求隧道AB的長．〔參考數(shù)據(jù)：eq\r<,3>=1.73例3：甲樓看乙樓問題．:如圖,線段AB、DC分別表示甲、乙兩建筑物的高,AB⊥BC,DC⊥BC,從B點測得D點的仰角α為60°從A點測得D點的仰角β為30°,已知甲建筑物高AB＝36米．〔1求乙建筑物的高DC；〔2求甲、乙兩建筑物之間的距離BC〔結(jié)果保留根號．變式：如圖,AB和CD是同一地面上的兩座相距36米的樓房,在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°,樓底D的俯角為30°．求樓CD的高．當(dāng)堂檢測A級〔100分1．如圖所示,小華同學(xué)在距離某建筑物6米的點A處測得廣告牌B點、C點的仰角分別為60°和45°,則廣告牌的高度BC為_____________米<結(jié)果保留根號>．AABCD6米60°45°2、如圖所示,小明在家里樓頂上的點A處,測量建在與小明家樓房同一水平線上相鄰的電梯樓的高,在點A處看電梯樓頂部點B處的仰角為60°,在點A處看這棟電梯樓底部點C處的俯角為45°,兩棟樓之間的距離為30m,則電梯樓的高BC為米〔精確到0.1.B級〔20分3、如圖,飛機在距地面9km高空上飛行,先在A處測得正前方某小島C的俯角為30°,飛行一段距離后,在B處測得該小島的俯角為60°.求飛機的飛行距離。課題：§7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用<3>一、教學(xué)目標：1．進一步掌握解直角三角形的方法,比較熟練的應(yīng)用解直角三角形的知識解決與方位角有關(guān)的實際問題,培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.方向角∠方向角∠1：北偏東3