全等三角形輔助線及常用模型

學(xué)員教師 時(shí)段授課主題全等三角形及常用模型教學(xué)目標(biāo)1、了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2、探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式。教學(xué)重、難點(diǎn)利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)；全等三角形中的邊角計(jì)算及證明。要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)一般三角形直角三角形判定邊角邊(SAS)角邊角(ASA)角角邊(AAS)邊邊邊(SSS)兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理(HL)性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等(其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的高相等)備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等要點(diǎn)二、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1.證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2.證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角(等角)的余角(補(bǔ)角)相等.(5)對(duì)頂角相等..證明兩條線段的位置關(guān)系(平行、垂直)的方法；可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明..輔助線的添加：(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形..證明三角形全等的思維方法：(1)直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.(2)如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.(3)如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).典型例題類(lèi)型一、全等三角形的性質(zhì)和判定例1、問(wèn)題背景：(1)如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn).且NEAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明4ABE2AADG,再證明4AEF2AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.探索延伸：(2)如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=」NBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.舉一反三：變式如圖，已知：AE±AB,AD±AC,AB=AC,NB=NC,求證：BD=CE.類(lèi)型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1).作公共邊可構(gòu)造全等三角形：例2、如圖：在四邊形ABCD中，AD〃CB,AB〃CD.求證：NB=ND.舉一反三：變式在AABC中，AB=AC.求證：NB=NC例3、己知：在AABC中，AD為中線.

求證：AD<1(AB+AC)

2變式若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7,則第三邊的中線長(zhǎng)工的取值范圍是（ ）A.1＜工＜6 B.5＜工＜7 C.2＜工＜12 D.無(wú)法確定.作以角平分線為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：例4、如圖，已知N1=N2,P為BN上的一點(diǎn)，PFLBC于F,PA=PC.求證：NPCB+NBAP=180°.舉一反三：變式（2015?開(kāi)縣二模）如圖，已知，NBAC=90°,AB=AC,BD是NABC的平分線，且CE^BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：BD=2CE..利用截長(zhǎng)（或補(bǔ)短）法構(gòu)造全等三角形:例5、如圖所示，已知4ABC中AB>AC,AD是NBAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB一MCVAB—AC.SD一MCVAB—AC.SD類(lèi)型三、全等三角形動(dòng)態(tài)型問(wèn)題例6、如圖（1）,ABLBD于點(diǎn)B,EDLBD于點(diǎn)D,點(diǎn)C是BD上一點(diǎn).且BC=DE,CD=AB.（1）試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖（2）,若把ACDE沿直線BD向左平移，使ACDE的頂點(diǎn)C與B重合，此時(shí)第（1）問(wèn)中AC與BE的位置關(guān)系還成立嗎？（注意字母的變化）舉一反三：變式如圖（1）,4ABC中，BC=AC,4CDE中，CE=CD,現(xiàn)把兩個(gè)三角形的C點(diǎn)重合，且使NBCA=NECD,連接BE,AD.求證：BE=AD.若將^DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖（2）,（3）所示的情況時(shí)，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？手拉手模型例7.在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形4八8口和ABCE,連接AE與CD,證明：(□△ABE2△DBC；(2)AE=DC；(3)AE與DC的夾角為60。；(4)4八682△DFB；(5)^EGB^^CFB；(6)BH平分NAHC；GF〃AC舉一反三.已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，^ACM、ACBN是等邊三角形.CG、CH分別是AACN、△MCB的高?求證：CG=CH.B.如圖，已知AABC和AADE都是等邊三角形，B、C、D在一條直線上，試說(shuō)明CE與AC+CD相等的理由.回家作業(yè):一.選擇題.如圖所示，若△ABE04ACF,且AB=5,AE=2,則EC的長(zhǎng)為（）A.2 B.3 C.5A.2 B.3 C.5D.2.5B.（2015春?平頂山期末）請(qǐng)仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角NA'O'B'等于已知角NAOB的示意圖，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的圖形的全等這一章的知識(shí)，說(shuō)明畫(huà)出NA'O'B’=NAOB的依據(jù)是（ ）A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS3.（2016?新疆）如圖，在3.（2016?新疆）如圖，在4ABC和4DEF中，NB=NDEF,AB=DE,添加下列一個(gè)條件后，仍然不能證明△ABC04DEF,這個(gè)條件是（A.ZA.ZA=ZD B.BC=EFC.ZACB=ZF D.AC=DF4.在下列結(jié)論中，正確的是（

A.全等三角形的高相等4.在下列結(jié)論中，正確的是（

A.全等三角形的高相等一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B.頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等5.如圖，點(diǎn)C5.如圖，點(diǎn)C、D分別在NAOB的邊OA、OB上，若在線段CD上求一點(diǎn)P,使它到OA,OB的距離相等，則P點(diǎn)是（ ）.A.線段A.線段CD的中點(diǎn)OA與CD的中垂線的交點(diǎn)B.OA與OB的中垂線的交點(diǎn)CD與NAOB的平分線的交點(diǎn).在^ABC與△DEF中，給出下列四組條件：（1）AB=DE,BC=EF,AC=DF；（2）AB=DE,ZB=ZE,BC=EF；（3）ZB=ZE,BC=EF,ZC=ZF；（4）AB=DE,AC=DF,NB=NE.其中，能使△ABC/^DEF的條件共有（ ）組.A.1組B.2組C.3組D.4組.如果兩個(gè)銳角三角形有兩條邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三條邊所對(duì)的角的關(guān)系是（ ）A.相等 B.不相等C.互補(bǔ) D.相等或互補(bǔ)NB=2NC,NDAE的度數(shù)是（ ）.4ABC中，NBAC=90°AD±BC,AENB=2NC,NDAE的度數(shù)是（ ）30°D.15°30°D.15°.填空題.已知^^。^A4B'C',若^ABC的面積為10cm2,則44B'C'的面積為cm2,若△4B'C'的周長(zhǎng)為16cm，則AABC的周長(zhǎng)為cm..AABC和AADC中，下列三個(gè)論斷：①AB=AD；②NBAC=NDAC；③BC=DC.將兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)命題，寫(xiě)出一個(gè)真命題：..（2015春?成都校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，NC=90°,NB=30°,AD平分NBAC,CD=2cm,則BD的長(zhǎng)是..下列說(shuō)法中：①如果兩個(gè)三角形可以依據(jù)“AAS”來(lái)判定全等，那么一定也可以依據(jù)“ASA”來(lái)判定它們?nèi)?；②如果兩個(gè)三角形都和第三個(gè)三角形不全等，那么這兩個(gè)三角形也一定不全等；③要判斷兩個(gè)三角形全等，給出的條件中至少要有一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.正確的是..如右圖，在AABC中，NC=90°,BD平分NCBA交AC于點(diǎn)D.若AB=a,CD=b，則AADB的面積為.（2016秋?揚(yáng)中市月考）如圖，AC±AB,ACLCD,要使得AABC0ACDA.（1）若以“SAS”為依據(jù)，需添加條件；（2）若以“HL”為依據(jù)，需添加條件..如圖，△ABC中，H是高AD、BE的交點(diǎn)，且BH=AC,則NABC=..在4ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分NBAC,DELAB于E.若AB=20cm,則^DBE的周長(zhǎng)為.三.解答題.已知：如圖，CB=DE,ZB=ZE,ZBAE=ZCAD.求證：NACD=NADC..已知：4ABC中，ACLBCCELAB于E,AF平分NCAB交CE于F,過(guò)F作FD〃BC交AB于D..已知：如圖，AD平分NBAC,DELAB于E,DFLAC于F,且BD=CD.求證：BE二CF..感受理解如圖①，△ABC是等邊三角形，AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F,則線段FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系是 自主學(xué)習(xí)事實(shí)上，在解決幾何線段相等問(wèn)題中，當(dāng)條件中遇到角平分線時(shí)，經(jīng)常采用下面構(gòu)