云南省大理市廣通中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

云南省大理市廣通中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.利用反證法證明：若，則，應(yīng)假設(shè)（

）A.a，b不都為0 B.a，b都不為0C.a，b不都為0，且 D.a，b至少一個為0參考答案：A【分析】表示“都是0”，其否定是“不都是0”.【詳解】反證法是先假設(shè)結(jié)論不成立，結(jié)論表示“都是0”，結(jié)論的否定為：“不都是0”.【點睛】在簡易邏輯中，“都是”的否定為“不都是”；“全是”的否定為“不全是”，而不能把它們的否定誤認為是“都不是”、“全不是”.2.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）與圓C2：x2+y2=b2，若在橢圓C1上不存在點P，使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，） C．[，1） D．[，1）參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】作出簡圖，則＞，則e=．【解答】解：由題意，如圖若在橢圓C1上不存在點P，使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，則e=，故選A．3.已知方程，它們所表示的曲線可能是（

）參考答案：B4.下面四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB//平面MNP的圖形是(

)A．③④；

B．①②；

C．②③；

D．①④參考答案：D5.變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值（

）A

2

B

4

C

1

D

3參考答案：D6.一個容量為20的數(shù)據(jù)樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下：（10,20］2個，（20，30］3個，（30，40］4個，（40，50］5個，（50，60］4個，（60，70］2個，則樣本在區(qū)間（-∞，50］上的頻率是

（

）A、5%

B、25%

C、50%

D、70%參考答案：D7.在下列各圖中，兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是(

).A．(1)(2)

B．(1)(3)

C．(2)(4)

D．(2)(3)參考答案：8.某公園現(xiàn)有A、B、C三只小船，A可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三個成人和2個兒童分乘這些船只（每船必須坐人），為安全起見，兒童必須由大人陪同方可乘船，他們分乘這些船只的方法有

（

）

A．48

B．36

C．30

D．18參考答案：D略9.已知兩點、，且是與的等差中項，則動點的軌跡方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.假設(shè)你家訂了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之間隨機地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之間隨機地離家上學(xué)，則你在離開家前能收到牛奶的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】CF：幾何概型．【分析】設(shè)送報人到達的時間為x，此人離家的時間為y，以橫坐標表示報紙送到時間，以縱坐標表示此人離家時間，建立平面直角坐標系，作圖求面積之比即可．【解答】解：設(shè)送奶人到達的時間為x，此人離家的時間為y，以橫坐標表示奶送到時間，以縱坐標表示此人離家時間，建立平面直角坐標系（如圖）則此人離開家前能收到牛奶的事件構(gòu)成區(qū)域如圖示∴所求概率P=1﹣=；故選：D．【點評】本題考查幾何概型的會面問題，準確作圖利用面積作為幾何測度是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.代數(shù)式中省略號“…”代表以此方式無限重復(fù)，因原式是一個固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，則1+=t，則t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用類似方法可得=．參考答案：3【考點】類比推理．【分析】通過已知得到求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負根），再運用該方法，注意兩邊平方，得到方程，解出方程舍去負的即可．【解答】解：由已知代數(shù)式的求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負根），可得要求的式子．令=m（m＞0），則兩邊平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案為：3．【點評】本題考查類比推理的思想方法，考查從方法上類比，是一道基礎(chǔ)題．12.已知為坐標原點，，，，若點在直線上運動，則的最小值為

▲

.參考答案：略13.已知函數(shù)，則

.參考答案：14.已知函數(shù)在[1,e]上有兩個零點，則a的取值范圍是______________參考答案：【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），x∈[1，e]．通過當a≥﹣1時，當a≤﹣e時，當﹣e＜a＜﹣1時，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性然后轉(zhuǎn)化求解a的范圍即可．【詳解】∵f′（x），x∈[1，e]．當a≥﹣1時，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，不合題意．當a≤﹣e時，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，也不合題意．當﹣e＜a＜﹣1時，則x∈[1，﹣a）時，f′（x）＜0，f（x）[1，﹣a）上單調(diào)遞減，x∈（﹣a，e]時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣a，e]上單調(diào)遞增，又f（1）＝0，所以f（x）在x∈[1，e]上有兩個零點，只需f（e）＝1a≥0即可，解得a＜﹣1．綜上，a的取值范圍是：[，﹣1）．故答案為．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的符號以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分類討論思想的應(yīng)用．15.已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為

▲

.參考答案：1設(shè)，其圖像過點，則有，解得，即，所以，則.

16.若a≥0,且z|z|+az+i=0,則復(fù)數(shù)z=

.參考答案：17.已知離散型隨機變量X的分布列為X123Pm

則m=________參考答案：【分析】根據(jù)所有可能取值對應(yīng)的概率和為可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查分布列中概率的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.觀察以下5個等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子規(guī)律：（1）寫出第6個等式，并猜想第n個等式；（n∈N*）（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個等式成立．（n∈N*）參考答案：【考點】F1：歸納推理．【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左邊有n個連續(xù)奇數(shù)相加減，右邊為n（n為偶數(shù)）或n的相反數(shù)（n為奇數(shù)），進而得到結(jié)論；（2）當n=1時，由已知得原式成立，假設(shè)當n=k時，原式成立，推理可得n=k+1時，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．【解答】解：（1）由已知中：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…歸納可得：第6個等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6

…第n個等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn…（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn①當n=1時，由已知得原式成立；…②假設(shè)當n=k時，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）kk…那么，當n=k+1時，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）kk+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）故n=k+1時，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．19.已知函數(shù)f（x）=（x﹣a）e﹣x，其中a為常數(shù)．（1）判斷f（x）在x=0處的切線是否經(jīng)過一個定點，并說明理由；（2）討論f（x）在區(qū)間[﹣2，3]上的單調(diào)性．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，計算f′（0），f（0）的值，求出切線方程，從而求出直線過定點（1，1）；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．【解答】解：（1）由題意得f′（x）=，f′（0）=1+a，f（0）=﹣a，則在x=0處的切線方程是：y+a=（1+a）x，即a（x﹣1）+x﹣y=0，故定點是（1，1）；（2）由f′（x）=，得f（x）在（﹣∞，1+a）上遞增，在（1+a，+∞）遞減，因此，當1+a≥3即a≥2時，f（x）在[﹣2，3]遞增，當1+a≤﹣2即a≤﹣3時，f（x）在[﹣2，3]遞減，當﹣2＜1+a＜3即﹣3＜a＜2時，f（x）在[﹣2，1+a）遞增，在（1+a，3]遞減．20.已知數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{an}的前n項和Sn=nbn．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．參考答案：解：（1）由已知，.

…………2分所以．從而當時,，又也適合上式,所以.

……………6分（2）由（1），

…………8分

所以．

…………12分略21.在△ABC中，已知角A，B，C所對的三條邊分別是a，b，c，且．（1）求角B的大?。唬?）若，求△ABC的面積．參考答案：【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化簡已知的表達式，結(jié)合兩角和的正弦函數(shù)以及三角形的內(nèi)角，求出B的值即可．（2）通過余弦定理，以及B的值，a+c=4，求出ac的值，然后求出三角形的面積．【解答】解：（1）因為，所以得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sinA=0，∵A∈（0，π），∴sinA≠0，則cosB=﹣．B∈（0，π），∴B=．（2）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∵，B=，∴13=a2+c2+ac∴（a+c）2﹣ac=13∴ac=3∴．22.如圖，過點（）且離心率為的橢圓的左、右頂點坐標分別為，若有一點在橢圓上，且異于點，直線與其右準線分別交于點.(1)求該橢圓的方程；(2)若點H為AP的中點，當點運動時,直線AP與直線OH斜率之積是否為定值，若是定值求出該定值，若不是定值，說明理由；(3)當點運動時，以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？請證明你的結(jié)論