河北省衡水中學2020屆高三年級模擬試題(一)(理數)

河北省衡水中學2020屆高三年級模擬試題（一）

數學（理科）本試卷總分150分，考試時間120分鐘。注意事項：.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上相應的位置。.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效。.回答選擇題時，選出每小題答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案用 0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上。、選擇題：本題共

合題目要求的。.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。、選擇題：本題共

合題目要求的。12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符2i.設復數z——，則z在復平面內對應的點位于1iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.已知集合A{x|(x2)(x2)0},B{x|0xa}.若AB{1,2},則實數a的D.(1,)6668個，某機構從參加這期車牌競拍且報價在則在這些競拍人員中，報價不低于 5萬元的人數為D.(1,)6668個，某機構從參加這期車牌競拍且報價在則在這些競拍人員中，報價不低于 5萬元的人數為D.80D.取值范圍是A.[2, ) B.(2, ) C.[1,).2020年第1期深圳車牌搖號競價指標共A.30 B.42 C.54.已知abc,且abc0,則下列不等式一定成立的是A.abbc B.acbc C.|ab||bc|5.y設實數x,y滿足約束條件 y2xx2,2x,3y6.A.已知B.ab0,若函數f(x)27.8.9.B.4sinx3216某正方體的三視圖中的側視圖如圖所示,B.3.2則zx2y的最小值為0,C. 6D. 8cosx在區(qū)間［a,b］上單調，則ab的最小值是2D. —16是由兩個全等的長方形構成，則該正方體的體積為已知數列｛an｝為等比數列，Sn為其前下列結論正確的是S2SnS4D.2.215.對任意的正整數n,A.an an2C.an an3已知四棱錐P直線的條數是A.210.如圖所示的4縱向各取1A.一102aniB.an1an1 an2D.anan1ABCD的所有棱長均相等，過其外一點且與直線B.3C.4PA和BC所成的角都是60°的D.54正方形網格，可看成是橫向、縱向各五條相等線段相交成的封閉圖形，橫向、2條線段,則圍成的封閉圖形為正方形的概率為B.C.一1011.已知雙曲線2xC：—a22yb21(a0,b0）的右焦點為F,過F作直線l與兩條漸近線交于A,B兩點，若OAB為等腰直角三角形（O為坐標原點），則OAB的面積為A.a2B.2a2C.2a2或a2D.2a2或二212.如圖，正方形ABCD的邊長為EF過點。，且OEOF1,。是正方形ABCD的中心，線段EF繞著點O旋轉，M為線段AB上的動點，則MEMF的最小值為2B- 22C.D.,V二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。a6.設Sn為等差數列｛an｝的前n項和.若S42a5,則瞪.1.關于x的不等式4logax0(a0且a1)的解集為x|0x—，則a的值為215.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，P,Q是橢圓C上關于原點O15.已知橢圓C的中心在原點，焦點在圓的右頂點.若|PQ||OA|,APQ90，則C的離心率為某公園有半徑為50米的圓形人工草坪，如圖，草坪邊緣 A,B兩處雕塑的連線恰為草坪的直徑，雕塑 A在草坪中心的正西方向.從雕塑A處沿北偏東 (弧度)角方向建造走廊到草坪邊緣P處，從P處沿草坪邊緣建造弧形走廊到雕塑 B處，再從雕塑B處沿南偏西 (弧度)角方向建造走廊到草坪邊緣Q處(走廊的寬度和雕塑的大小忽略不計) ，則沿路徑APBQ建造的走廊的總長度取最大值時 的值為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。(一)必考題：共60分。(12分),,一，_ _ 一一一1一已知在ABC中，ACBC,延長BC到點D,使得DCBC-BD.2sinBAD0(1)證明： 2；sin(BD)一a 4 (2)右sinB—,求tanBAD的值.5(12分)2、假定電腦的開機時間服從正態(tài)分布 N(,).某電腦公司為了解某地區(qū)的電腦配置及使用情況，每天選取10位電腦用戶進行市場調查，并邀其參加相關活動.(1)記X為某天抽取的10位電腦用戶中，電腦開機時間在 ( ， )之外的用戶數，求P(X1)及X的數學期望；(2)在隨機調查中，如果電腦開機時間大于 ，將對該用戶提供免費上門技術支持.求在一個月(30天)內，該公司提供上門技術支持的用戶數大約為多少.參考數據：若隨機變量 Z服從正態(tài)分布N(,2),則P(Z)0,6827, 10 0.6827 0.022.

(12分)BC.如圖，在四面體ABCD中，平面ABC平面ACD,BCCD,AB(1)求證：ABCD.BC.(2)若BCCD2,AC2J3,求二面角CABD的正弦值.(12分)已知拋物線C：y22Px(p0)的焦點為F,圓E:x2y22x0,P(x0,y°)為C上的動耳八、、?(1)設拋物線C與圓E交于A,B兩點(異于坐標原點O),若AOB60,求C的方程；(2)設p1,X02,過點P作圓E的切線分別交y軸于點Q,R,求|QR||PF|的最小值.(12分)已知函數f(x)xeX(a1)x(aR).(1)若a2,證明：f(x)0.(2)若關于x的不等式lnx1f(x)恒成立，求實數a的取值范圍.(二)選考題：共10分。請考生從第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。［選彳4-4:坐標系與參數方程］(10分)x2 2cos,在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 (為參數)，A(J2,0).以y2sin坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2cos2sin,曲線C1C2交于M,N兩點.(1)說明Ci是哪一種曲線，并將G的方程化為極坐標方程；(2)設B為MN的中點，求上回的值.|MN|［選彳4-5:不等式選講］(10分)已知|a|1,|b|1.證明：|ab||ab|2；|ab1||ab|0.、選擇題C【解析】由題意得z2i位于第三象限，故選C.2.A【解析】由題意得A{x|3.4.5.6.7.數學（理科）參考答案2i(1i)(1i)(12x2}C【解析】由題意可知隨機抽取的總人數為2000.30160,故報價不低于B【解析】因為abc,且ab顯然A,C選項不正確；當a2acbc,故B正確.故選B.i)10i,則z1i,所以z所對應的點（1,1）{1,2}可彳導a2.故選A.0.0515萬元的人數為200,其中報價在［4,5）的人數為200(10364060)54.故選C.0,c0,b的符號不確定，當b0時,c1時，D選項顯然不成立;因為C【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，結合圖形可知，當直線z取得最小值，zminB【解析】因為ab0,內單調遞增，結合函數224 6.故選C.函數f(x)sincosx、-2sinf（x）的圖象可知，當34b一時,

4D【解析】該正方體如圖所示，由側視圖可知，正方體的面對角線長為以正方體的體積Va32亞.故選d.x2y過點A(2,4)時,一在區(qū)間4ab取最小值a石，所C【解析】設等比數列｛an｝的公比為q,因為S23,S415,則a［（1q）3①，a1（1q）15,整理得ai（1q）（1q2）15②，②除以①得1q25.因為an0,則1qq2,a11,所以an2n1.對于A選項，當n1時，a〔a32a2,A錯誤；對于B選項，當n2時，82 3a34,b錯誤；對于c選項，a053 92n1,n1an1an262，必有anan3an1an2,C正確；對于D選項，當n1時，a1a2 2a34,D錯誤.故選C.B【解析】因為四棱錐PABCD的所有棱長均相等，則有AD〃BC,根據兩條異面直線所成的角的定義，問題可以轉化為求過點 A且與直線PA和AD所成的角都是60的直線條數.因為PAD60,其補角為120,可知直線條數為3.故選B.C【解析】結合圖形可知，在網格中任取4條線段，若能圍成封閉圖形，則橫向和縱向各選兩條線段，共有C2c5=100種情況.設網格圖中每個小正方形的邊長為 1.因為每個正方形都對應著2 2四條線段，邊長為1的正萬形有416個，邊長為2的正方形有39個，邊長為3的正方形有224個，邊長為4的正方形有121個，共1694130種情況，所以在能圍成封閉30 3圖形的前提條件下，圍成的封閉圖形為正方形的概率 P-30-3.故選C.10010D【解析】若C的漸近線互相垂直，且lx軸時， OAB為等腰直角三角形，易知焦點F到漸近線的距離為b,則|OA|2a,所以OAB的面積為2a2.如圖所示，若l與一條漸近線垂直，在直角OFB中，|直，在直角OFB中，|FB|b,|OB||AB|a,所以OAB的面積812,,,—a.故選D.2A【解析】以O為坐標原點，平行于BC的直線為X軸，垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則由OEOF1,可設E(cos,sin角坐標系，則由OEOF1,可設E(cos,sin),F(cossin),M則MEcos苧,sin m,MFcos芋sinTOC\o"1-5"\h\z 1 2 2 2 2 1 1\o"CurrentDocument"MEMF— cos2 m2 sin2 m2 — —?故選 A.2 2 2、填空題13.2【解析】設等差數列13.2【解析】設等差數列｛an｝的公差為d.由S42a5得4?6d2al8d,解得a〔d,所以a3a12d3d,a6a15d6d,所以學■以2.a3 3d14.22-【解析】不等式414.22-【解析】不等式4Xlogax0可轉化為4X logax,顯然01,在同一直角坐標系X 1中分別作出y4x和ylogax的圖象如圖所示.因為不等式的解集為 x|0x—，設點A215.以在RtOPA中，cos為兩個函數圖象的交點，則又因為225 … 上、一空【解析】不妨設點5APQ1 一xPOA一,則POA60.設橢圓C:-22 a2b1(a,3a_a 1a|OP|a,可得P一,2 44一 a2 3a2，代入橢圓C的方程得至於訴216a 16b以a25(a2c2),即c2I,,故橢圓C的離心率為.a5 516.—【解析】如圖所示,3連接PB,PO,在RtABP中,AB100,PAB—，所以

2AP100cos—2100sin,由于POB2PAB_ ……_ c2,所以弧PB的長PB50( 2)50100,由題意可知走廊的總長度l(200sin50 1000,-,所以2)200cos100,0,20.當0時，1()0,1()單調遞增；當一30,1()單調遞減,所以當走廊的總長度1取得最大值.三、解答題17.(1)證明:因為八八1DCBC-BD,

2所以1_ADcosDABcosBBD.21.在ABD中，根據正弦te理得sinBcosDsinDcosB—sin2BAD(2)解:1.即sin(BD)—sinBAD所以sinBAD2

sin(BD)(5分)由(1)得，sin(BD)2sin(BD),所以sinBcosDcosBsinD2(sinBcosDcosBsinD),整理得3cosBsinDsinBcosD,4又因為sinB一，且B為銳角，則5所以tanBADtan(BD)3

cosB—，tanB5

tanBtanD1tanBtanD4,tanD348.11(10分)(12分)18.解:(1)抽取的一位用戶的電腦開機時間在 ()之內的概率約為0.6827,從而開機時間在( ， )之外的概率為0.3173,故X~B(10,0.3173).因此P(X1)1P(X0)10.6827100.978,(6分)X的數學期望E(X)10(6分)(2)記Y表示一天內抽取的10位電腦用戶其電腦開機時間大于 的用戶數，... .一 一、 03173 由第(1)問可知抽取的一位用戶電腦開機時間大于 的概率為 0.15865,2所以E(Y)100.158651.5865,故在一個月內，該公司提供上門技術支寸I的用戶數大約為 1.58653047.59548. (12分)19.(1)證明：取AC的中點E,連接BE.19.因為ABBC,所以BEAC.又因為平面ABC平面ACD,平面ABC平面ACDAC,所以BE平面ACD.因為CD平面ACD,所以BECD. (4分)又因為BCCD,且BEBCB,(6分)所以CD平面ABC.因為AB平面ABC,所以ABCD.(6分)(2)解：以C為坐標原點，DC,BC的方向分別為x軸、y軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系 Cxyz.則C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),A（0,3j3）,AB（0,1,邪）,BD（2,2,0）.平面ABC的法向量為CD（2,0,0）.（8分）設ni(x,y,z)為平面ABD的一個法向量，則niAB0,即y3zQn1BD0,2x2y0,取z1,得n1(v;3,T3,1),nCD2.3 21|ni||CD|277 7'27~J~-9,.'7ABD的正弦值為今7.20.解：(1)圓E的方程整理得(x1)2y21,不妨設點A在第一象限.因為AOB60°,所以AEB120o,由拋物線與圓的對稱性可知AB設AB與x軸交于點H,在RtAEH中，由題意可知|AE|1,AEH60,cosni,CDsinn1,CD所以二面角C（12分）x軸.… ..3 1則有|AH|行3,|EH|-,2 2故A—, ,代入到y(tǒng)22Px中可得p—,22 4所以拋物線C的方程為y21x.2(2)由題意可知y22x0,設Q(0,a),R(0,b),（4分）則kpQ風Ax所以直線PQ的方程為y"~axa,x0即（y0a）xx0yax0 0因為直線PQ與圓E相切,所以1y° a ax0|V。a)2x021,即(％2)a22y0ax0同理，由直線PR與圓E相切，得（x02）b22y°b所以a,b是方程（x02）x22y0xx00的兩根,其判別式 4yt24x0(x02)4x120,則QR|ab|.(ab)24ab根據拋物線的定義可得|PF|x02x0x0則有|QR||PF| x0|QR||PFI當且僅當2tx0 0，(6分)2y0x02abXoX。2(t2)2(t2)10g—時,QRPF的最小值為(1)證明：若a2,f(x)x _xf(x)exe當x0時，x所以(x1)ex當x0時，x所以（x1）exV5,xxe(x所以f(x)f(0)（2）解：由題意可知Inx11,且f(x)f(x)2x0

亡.12，22xxx022txo1)e(8分)0,10

t1.94,5922時取等號,f（x）在區(qū)間（0,）上單調遞增;f（x）在區(qū)間（，0）上單調遞減;(12分)f(x),即xex(1a)xInx10在區(qū)間(0,（4分））上恒成立,22.解:整理得a設g(x)設h(x)x2exInx1elnx1Inx2xxelnx2x(6分)Inx,則h(x) (x22x)ex當x0時，h(x)故h(x)在區(qū)間所以存在唯一的使得當x0,xo1一,x0exa#時,且h(x°)x2ex0構造函數(x)x0 (0,1)時,0,上單調遞增，且h(1)e時,1ee0,1 … -,1，使得g(x°) h(x°)eg(x)lnx0x0一, 1所以x0 ln—,所以x00,g(x)0,所以g(x)單調遞減;0,所以g(x