測量誤差的基本知識解析

會計學(xué)1測量誤差的基本知識解析19一月202325.1測量誤差概述5.1.1測量誤差的概念與來源誤差：對于某一個客觀存在的量，觀測值與觀測值之間，或觀測值與理論值（真值）之間總是存在差異，這種不可避免的差異叫做誤差?！鳌獪y量誤差X—真值L—觀測值△=L-X第1頁/共38頁觀測誤差產(chǎn)生的三個原因儀器誤差：儀器設(shè)計、制作，或經(jīng)檢驗校正還存在殘余誤差觀測者：人的感覺器官鑒別能力的限制外界條件的影響：測量時外界自然條件如溫度、濕度、風(fēng)力等的變化。以上三方面統(tǒng)稱為觀測條件觀測成果的精確度稱為“精度”等精度觀測不等精度觀測19一月20233第2頁/共38頁19一月202345.1.2測量誤差的分類系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和大小均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性?？梢栽谟^測前采取有效的預(yù)防措施、觀測時采用合理的方法，觀測后對觀測結(jié)果進行必要的計算改正，來盡量消除或減小系統(tǒng)誤差的影響。第3頁/共38頁19一月20235系統(tǒng)誤差的消除：（1）采用觀測方法消除：如水準儀置于距前后水準尺等距的地方可以消除i角誤差和地球曲率的影響。通過盤左盤右觀測水平角和豎直角可以消除經(jīng)緯儀的橫軸誤差、視準軸誤差、照準部偏心差和豎盤指標差的影響。（2）加改正數(shù)：如精密鋼尺量距中的尺長改正、溫度改正和高差改正。光電測距儀的加常數(shù)和乘常數(shù)的改正。

（3）檢校儀器：將儀器的系統(tǒng)誤差降低到最小限度或限制在一個允許的范圍內(nèi)。第4頁/共38頁19一月20236偶然誤差：在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如果單個誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小均沒有一定規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。雖然單個的偶然誤差沒有規(guī)律但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。學(xué)習(xí)誤差理論知識的目的：根據(jù)一組帶有偶然誤差的觀測值求出未知量的最可靠值評定觀測成果的精度第5頁/共38頁任何觀測值都會包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差，有時還包含粗差（錯誤）。當觀測值中的粗差被剔除，系統(tǒng)誤差被消除或削弱到最小限度，可以認為觀測值中僅含偶然誤差，從而把觀測值和偶然誤差都當作隨機變量，用概率統(tǒng)計的方法來研究。19一月20237粗差：也稱錯誤，在嚴格意義上，粗差并不屬于誤差的范圍。即，本章關(guān)注的內(nèi)容是偶然誤差第6頁/共38頁19一月202385.1.3測量誤差的特性從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進行大量統(tǒng)計分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。例如某一測區(qū)在相同觀測條件下觀測了358個三角形的全部內(nèi)角。由于觀測值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于真值180°(表5-1)第7頁/共38頁第8頁/共38頁用圖示法可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表5-1的數(shù)據(jù)，以誤差大小為橫坐標，以頻率k/n與區(qū)間dΔ的比值為縱坐標，如圖5-1所示。這種圖稱為頻率直方圖。第9頁/共38頁可以設(shè)想，當誤差個數(shù)n→∞，同時又無限縮小誤差區(qū)間dΔ，圖5-1中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖5-2所示。該曲線稱為誤差分布曲線。其函數(shù)式為：即正態(tài)分布曲線上任一點的縱坐標y均為橫坐標Δ的函數(shù)。標準差大小反映觀測精度的高低，定義為：上式可知，σ的大小決定于一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕對值的大小。第10頁/共38頁偶然誤差的統(tǒng)計特性有限性：

在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值超過一定限度的概率為0；單峰性：

絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大；對稱性：

絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的概率相等；抵償性：

當觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。第11頁/共38頁19一月2023135.2評定精度的標準

所謂精度，是指誤差分布的集中與離散程度。如誤差分布集中（曲線a），則觀測精度高；若誤差分布離散（曲線b），則觀測精度就低。第12頁/共38頁5.2.1中誤差19一月202314中誤差的定義：在相同觀測條件下，對同一未知量進行n次觀測，所得各個真誤差平方的平均值，再取平方根，稱為中誤差。用m表示。

設(shè)在相同的觀測條件下，對未知量進行重復(fù)獨立觀測，觀測值為：l1，l2，…，ln，其真誤差為：⊿1，⊿2，…，⊿n則中誤差為：第13頁/共38頁19一月202315用真誤差計算中誤差：必須知道真值第14頁/共38頁兩組觀測值中誤差：19一月202316第一組觀測值精度高于第二組中誤差能突出反映大誤差的影響第15頁/共38頁中誤差和真誤差都是絕對誤差，誤差的大小與觀測量的大小無關(guān)。在有些情況下，中誤差并不能全面反映觀測精度。

分別丈量兩段不同距離，一段為100m，一段為200m，中誤差都是0.02m。此時是否能認為兩段距離觀測結(jié)果的精度相同？必須引入相對誤差的概念，目的是為了更客觀地反映實際測量精度。19一月202317第16頁/共38頁5.2.2相對誤差19一月202318相對誤差(K)的定義：中誤差的絕對值與觀測值之比，用分子為1的分數(shù)形式表示。分母越大，相對誤差越小，精度越高。第17頁/共38頁5.2.3允許誤差19一月202319根據(jù)偶然誤差的第一個特性，在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，該限值稱為極限誤差，簡稱限差。也說是測量的允許誤差。由誤差理論及分布曲線可知，在一組等精度觀測中，表示真誤差落在(-σ，+σ)內(nèi)的概率等于0.683。同理可得：(5-11)(5-12)(5-13)第18頁/共38頁5.2.3允許誤差19一月202320上列三式結(jié)果的概率含義是，大于兩倍中誤差的偶然誤差個數(shù)約占總數(shù)的5%，大于三倍中誤差的偶然誤差個數(shù)約占總數(shù)的0.3%。測量上通常取二倍或三倍中誤差作為允許誤差：

Δ允=2σ≈2m (5-7)或 Δ允=3σ≈3m (5-8)前者要求較嚴，后者要求較寬。如果觀測值中出現(xiàn)了大于容許誤差的偶然誤差，則認為該觀測值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測。第19頁/共38頁19一月2023215.3誤差傳播定律及其應(yīng)用直接觀測的量，經(jīng)過多次觀測后，可通過真誤差計算出觀測值中誤差，作為衡量觀測值精度的標準。實際中，某些未知量不可能或不便進行直接觀測，需要由一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計算出來，未知量是觀測值的函數(shù)。例如，欲測量不在同一水平面上兩點間的距離D，可以用光電測距儀測量斜距S，并用經(jīng)緯儀測量豎直角α，以函數(shù)關(guān)系D=Scosα來推算。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。5.3.1觀測值的函數(shù)第20頁/共38頁5.3.2誤差傳播定律19一月2023221）和差函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z=xy，x、y是兩個相互獨立的觀測值，均作n次觀測，中誤差分別為mx和my，真誤差關(guān)系式為兩邊平方、求和、除以n得：第21頁/共38頁由于x、y是相互獨立的，

偶然誤差x、

y出現(xiàn)正負符號的機會相等，且正負符號互不相關(guān)19一月202323第22頁/共38頁推廣到n個獨立觀測值代數(shù)和差：

當n個獨立觀測值是等精度觀測時：19一月202324第23頁/共38頁19一月2023252）倍數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z=Kx，x為直接觀測值，中誤差為mx，K為常數(shù)，Z為觀測值x的函數(shù)。如果對x作n次等精度觀測，真誤差分別為x1、x2、….xn，對應(yīng)的函數(shù)真誤差為Z1、Z2、….Zn，觀測值與函數(shù)間的真誤差存在如下關(guān)系第24頁/共38頁將上述關(guān)系式平方、求和、除以n得：

19一月202326第25頁/共38頁19一月2023273）線性函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)根據(jù)倍數(shù)函數(shù)與和差函數(shù)的中誤差公式：第26頁/共38頁19一月2023284）一般函數(shù)的中誤差設(shè)有非線性函數(shù)Z=f(x1,x2…xn)，式中x1,x2…xn為獨立觀測值，相應(yīng)的中誤差為m1、m2…..mn。由于非線性函數(shù)的真誤差關(guān)系式難于表達，考慮到真誤差是個小量，真誤差關(guān)系式可用全微分近似表達：

第27頁/共38頁19一月202329其中誤差分別為m1、m2、…、mn，則函數(shù)z的中誤差按上述推導(dǎo)，可得誤差傳播定律的一般形式：一般方法如下∶1列出函數(shù)式（要根據(jù)題意）2對可直接觀測的未知量求偏微分，即寫出真誤差的關(guān)系式3寫出中誤差的關(guān)系式第28頁/共38頁19一月202330舉例設(shè)有函數(shù)關(guān)系h=Dtg已知D=120.25±0.05m=12°47′±30″(0.05及30″為中誤差)求中誤差mh①列出函數(shù)式∶h=Dtg②寫出微分式∶③寫出中誤差形式∶第29頁/共38頁5.4等精度觀測值的平差算術(shù)平均值算術(shù)平均值的中誤差觀測值的中誤差由觀測值的真誤差計算中誤差改正數(shù)的概念由觀測值的改正數(shù)計算中誤差實例第30頁/共38頁用改正數(shù)計算中誤差多數(shù)情況下，客觀真實值不知道，不能求得真誤差。通常利用接近于真值的最可靠值（最或是值）計算改正數(shù)，求中誤差。最或是值：n個觀測值的算術(shù)平均值。改正數(shù)：最或是值與觀測值之差v。19一月202332第31頁/共38頁在等精度直接觀測平差中，觀測值的算術(shù)平均值是未知量的最或是值。即 x=(l1+l2+…+ln)/n=[l]/n

1求最或是值2觀測值的改正數(shù)觀測值與最或是值之差，稱為“改正數(shù)”，用符號vi(i=1,2,…n)來表示。

Vi=li-x(i=1,2,…n)

將n個改正數(shù)vi相加，有：

[v]=[l]-nx=0

即改正數(shù)的總和為0，可以用作計算中的檢核，若vi值計算無誤，其總和必然為0。第32頁/共38頁3觀測值中誤差由于獨立觀測中單個未知量的真值X是無法確知的，因此真誤差Δi也是未知的，所以不能直接應(yīng)用(5-28)求得中誤差。但可用有限個等精度觀測值li求出最或是值x后，再按公式(5-29)計算改正數(shù)vi

，用改正數(shù)vi計算觀測值的中誤差。公式推導(dǎo)從略。上式是等精度觀測中用改正數(shù)計算中誤差的公式第33頁/共38頁4算術(shù)平均值的中誤差設(shè)對某量進行n次等精度觀測，觀測值為l1,l2,