測(cè)量誤差的基本知識(shí)解析

會(huì)計(jì)學(xué)1測(cè)量誤差的基本知識(shí)解析19一月202325.1測(cè)量誤差概述5.1.1測(cè)量誤差的概念與來(lái)源誤差：對(duì)于某一個(gè)客觀存在的量，觀測(cè)值與觀測(cè)值之間，或觀測(cè)值與理論值（真值）之間總是存在差異，這種不可避免的差異叫做誤差?！鳌獪y(cè)量誤差X—真值L—觀測(cè)值△=L-X第1頁(yè)/共38頁(yè)觀測(cè)誤差產(chǎn)生的三個(gè)原因儀器誤差：儀器設(shè)計(jì)、制作，或經(jīng)檢驗(yàn)校正還存在殘余誤差觀測(cè)者：人的感覺(jué)器官鑒別能力的限制外界條件的影響：測(cè)量時(shí)外界自然條件如溫度、濕度、風(fēng)力等的變化。以上三方面統(tǒng)稱為觀測(cè)條件觀測(cè)成果的精確度稱為“精度”等精度觀測(cè)不等精度觀測(cè)19一月20233第2頁(yè)/共38頁(yè)19一月202345.1.2測(cè)量誤差的分類系統(tǒng)誤差：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性?？梢栽谟^測(cè)前采取有效的預(yù)防措施、觀測(cè)時(shí)采用合理的方法，觀測(cè)后對(duì)觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行必要的計(jì)算改正，來(lái)盡量消除或減小系統(tǒng)誤差的影響。第3頁(yè)/共38頁(yè)19一月20235系統(tǒng)誤差的消除：（1）采用觀測(cè)方法消除：如水準(zhǔn)儀置于距前后水準(zhǔn)尺等距的地方可以消除i角誤差和地球曲率的影響。通過(guò)盤左盤右觀測(cè)水平角和豎直角可以消除經(jīng)緯儀的橫軸誤差、視準(zhǔn)軸誤差、照準(zhǔn)部偏心差和豎盤指標(biāo)差的影響。（2）加改正數(shù)：如精密鋼尺量距中的尺長(zhǎng)改正、溫度改正和高差改正。光電測(cè)距儀的加常數(shù)和乘常數(shù)的改正。

（3）檢校儀器：將儀器的系統(tǒng)誤差降低到最小限度或限制在一個(gè)允許的范圍內(nèi)。第4頁(yè)/共38頁(yè)19一月20236偶然誤差：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果單個(gè)誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小均沒(méi)有一定規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。雖然單個(gè)的偶然誤差沒(méi)有規(guī)律但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。學(xué)習(xí)誤差理論知識(shí)的目的：根據(jù)一組帶有偶然誤差的觀測(cè)值求出未知量的最可靠值評(píng)定觀測(cè)成果的精度第5頁(yè)/共38頁(yè)任何觀測(cè)值都會(huì)包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差，有時(shí)還包含粗差（錯(cuò)誤）。當(dāng)觀測(cè)值中的粗差被剔除，系統(tǒng)誤差被消除或削弱到最小限度，可以認(rèn)為觀測(cè)值中僅含偶然誤差，從而把觀測(cè)值和偶然誤差都當(dāng)作隨機(jī)變量，用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)研究。19一月20237粗差：也稱錯(cuò)誤，在嚴(yán)格意義上，粗差并不屬于誤差的范圍。即，本章關(guān)注的內(nèi)容是偶然誤差第6頁(yè)/共38頁(yè)19一月202385.1.3測(cè)量誤差的特性從單個(gè)偶然誤差來(lái)看，其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒(méi)有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個(gè)數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。例如某一測(cè)區(qū)在相同觀測(cè)條件下觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。由于觀測(cè)值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于真值180°(表5-1)第7頁(yè)/共38頁(yè)第8頁(yè)/共38頁(yè)用圖示法可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表5-1的數(shù)據(jù)，以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k/n與區(qū)間dΔ的比值為縱坐標(biāo)，如圖5-1所示。這種圖稱為頻率直方圖。第9頁(yè)/共38頁(yè)可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)n→∞，同時(shí)又無(wú)限縮小誤差區(qū)間dΔ，圖5-1中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖5-2所示。該曲線稱為誤差分布曲線。其函數(shù)式為：即正態(tài)分布曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y均為橫坐標(biāo)Δ的函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差大小反映觀測(cè)精度的高低，定義為：上式可知，σ的大小決定于一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕對(duì)值的大小。第10頁(yè)/共38頁(yè)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性有限性：

在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值超過(guò)一定限度的概率為0；單峰性：

絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大；對(duì)稱性：

絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等；抵償性：

當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。第11頁(yè)/共38頁(yè)19一月2023135.2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)

所謂精度，是指誤差分布的集中與離散程度。如誤差分布集中（曲線a），則觀測(cè)精度高；若誤差分布離散（曲線b），則觀測(cè)精度就低。第12頁(yè)/共38頁(yè)5.2.1中誤差19一月202314中誤差的定義：在相同觀測(cè)條件下，對(duì)同一未知量進(jìn)行n次觀測(cè)，所得各個(gè)真誤差平方的平均值，再取平方根，稱為中誤差。用m表示。

設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)未知量進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值為：l1，l2，…，ln，其真誤差為：⊿1，⊿2，…，⊿n則中誤差為：第13頁(yè)/共38頁(yè)19一月202315用真誤差計(jì)算中誤差：必須知道真值第14頁(yè)/共38頁(yè)兩組觀測(cè)值中誤差：19一月202316第一組觀測(cè)值精度高于第二組中誤差能突出反映大誤差的影響第15頁(yè)/共38頁(yè)中誤差和真誤差都是絕對(duì)誤差，誤差的大小與觀測(cè)量的大小無(wú)關(guān)。在有些情況下，中誤差并不能全面反映觀測(cè)精度。

分別丈量?jī)啥尾煌嚯x，一段為100m，一段為200m，中誤差都是0.02m。此時(shí)是否能認(rèn)為兩段距離觀測(cè)結(jié)果的精度相同？必須引入相對(duì)誤差的概念，目的是為了更客觀地反映實(shí)際測(cè)量精度。19一月202317第16頁(yè)/共38頁(yè)5.2.2相對(duì)誤差19一月202318相對(duì)誤差(K)的定義：中誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值之比，用分子為1的分?jǐn)?shù)形式表示。分母越大，相對(duì)誤差越小，精度越高。第17頁(yè)/共38頁(yè)5.2.3允許誤差19一月202319根據(jù)偶然誤差的第一個(gè)特性，在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值，該限值稱為極限誤差，簡(jiǎn)稱限差。也說(shuō)是測(cè)量的允許誤差。由誤差理論及分布曲線可知，在一組等精度觀測(cè)中，表示真誤差落在(-σ，+σ)內(nèi)的概率等于0.683。同理可得：(5-11)(5-12)(5-13)第18頁(yè)/共38頁(yè)5.2.3允許誤差19一月202320上列三式結(jié)果的概率含義是，大于兩倍中誤差的偶然誤差個(gè)數(shù)約占總數(shù)的5%，大于三倍中誤差的偶然誤差個(gè)數(shù)約占總數(shù)的0.3%。測(cè)量上通常取二倍或三倍中誤差作為允許誤差：

Δ允=2σ≈2m (5-7)或 Δ允=3σ≈3m (5-8)前者要求較嚴(yán)，后者要求較寬。如果觀測(cè)值中出現(xiàn)了大于容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測(cè)值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測(cè)。第19頁(yè)/共38頁(yè)19一月2023215.3誤差傳播定律及其應(yīng)用直接觀測(cè)的量，經(jīng)過(guò)多次觀測(cè)后，可通過(guò)真誤差計(jì)算出觀測(cè)值中誤差，作為衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)際中，某些未知量不可能或不便進(jìn)行直接觀測(cè)，需要由一些直接觀測(cè)量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)，未知量是觀測(cè)值的函數(shù)。例如，欲測(cè)量不在同一水平面上兩點(diǎn)間的距離D，可以用光電測(cè)距儀測(cè)量斜距S，并用經(jīng)緯儀測(cè)量豎直角α，以函數(shù)關(guān)系D=Scosα來(lái)推算。闡述觀測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。5.3.1觀測(cè)值的函數(shù)第20頁(yè)/共38頁(yè)5.3.2誤差傳播定律19一月2023221）和差函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z=xy，x、y是兩個(gè)相互獨(dú)立的觀測(cè)值，均作n次觀測(cè)，中誤差分別為mx和my，真誤差關(guān)系式為兩邊平方、求和、除以n得：第21頁(yè)/共38頁(yè)由于x、y是相互獨(dú)立的，

偶然誤差x、

y出現(xiàn)正負(fù)符號(hào)的機(jī)會(huì)相等，且正負(fù)符號(hào)互不相關(guān)19一月202323第22頁(yè)/共38頁(yè)推廣到n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值代數(shù)和差：

當(dāng)n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值是等精度觀測(cè)時(shí)：19一月202324第23頁(yè)/共38頁(yè)19一月2023252）倍數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z=Kx，x為直接觀測(cè)值，中誤差為mx，K為常數(shù)，Z為觀測(cè)值x的函數(shù)。如果對(duì)x作n次等精度觀測(cè)，真誤差分別為x1、x2、….xn，對(duì)應(yīng)的函數(shù)真誤差為Z1、Z2、….Zn，觀測(cè)值與函數(shù)間的真誤差存在如下關(guān)系第24頁(yè)/共38頁(yè)將上述關(guān)系式平方、求和、除以n得：

19一月202326第25頁(yè)/共38頁(yè)19一月2023273）線性函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)根據(jù)倍數(shù)函數(shù)與和差函數(shù)的中誤差公式：第26頁(yè)/共38頁(yè)19一月2023284）一般函數(shù)的中誤差設(shè)有非線性函數(shù)Z=f(x1,x2…xn)，式中x1,x2…xn為獨(dú)立觀測(cè)值，相應(yīng)的中誤差為m1、m2…..mn。由于非線性函數(shù)的真誤差關(guān)系式難于表達(dá)，考慮到真誤差是個(gè)小量，真誤差關(guān)系式可用全微分近似表達(dá)：

第27頁(yè)/共38頁(yè)19一月202329其中誤差分別為m1、m2、…、mn，則函數(shù)z的中誤差按上述推導(dǎo)，可得誤差傳播定律的一般形式：一般方法如下∶1列出函數(shù)式（要根據(jù)題意）2對(duì)可直接觀測(cè)的未知量求偏微分，即寫出真誤差的關(guān)系式3寫出中誤差的關(guān)系式第28頁(yè)/共38頁(yè)19一月202330舉例設(shè)有函數(shù)關(guān)系h=Dtg已知D=120.25±0.05m=12°47′±30″(0.05及30″為中誤差)求中誤差mh①列出函數(shù)式∶h=Dtg②寫出微分式∶③寫出中誤差形式∶第29頁(yè)/共38頁(yè)5.4等精度觀測(cè)值的平差算術(shù)平均值算術(shù)平均值的中誤差觀測(cè)值的中誤差由觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差改正數(shù)的概念由觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算中誤差實(shí)例第30頁(yè)/共38頁(yè)用改正數(shù)計(jì)算中誤差多數(shù)情況下，客觀真實(shí)值不知道，不能求得真誤差。通常利用接近于真值的最可靠值（最或是值）計(jì)算改正數(shù)，求中誤差。最或是值：n個(gè)觀測(cè)值的算術(shù)平均值。改正數(shù)：最或是值與觀測(cè)值之差v。19一月202332第31頁(yè)/共38頁(yè)在等精度直接觀測(cè)平差中，觀測(cè)值的算術(shù)平均值是未知量的最或是值。即 x=(l1+l2+…+ln)/n=[l]/n

1求最或是值2觀測(cè)值的改正數(shù)觀測(cè)值與最或是值之差，稱為“改正數(shù)”，用符號(hào)vi(i=1,2,…n)來(lái)表示。

Vi=li-x(i=1,2,…n)

將n個(gè)改正數(shù)vi相加，有：

[v]=[l]-nx=0

即改正數(shù)的總和為0，可以用作計(jì)算中的檢核，若vi值計(jì)算無(wú)誤，其總和必然為0。第32頁(yè)/共38頁(yè)3觀測(cè)值中誤差由于獨(dú)立觀測(cè)中單個(gè)未知量的真值X是無(wú)法確知的，因此真誤差Δi也是未知的，所以不能直接應(yīng)用(5-28)求得中誤差。但可用有限個(gè)等精度觀測(cè)值li求出最或是值x后，再按公式(5-29)計(jì)算改正數(shù)vi

，用改正數(shù)vi計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。公式推導(dǎo)從略。上式是等精度觀測(cè)中用改正數(shù)計(jì)算中誤差的公式第33頁(yè)/共38頁(yè)4算術(shù)平均值的中誤差設(shè)對(duì)某量進(jìn)行n次等精度觀測(cè)，觀測(cè)值為l1,l2,