2011高數考試卷含線代

一 選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分11設f(x)ex1,則x0是f(x)的 1ex1（A）可去間斷點 (B)跳躍間斷點(C)第二類間斷點 (D)連續(xù)點已知ysinx，則y(10)

cosx3f(x)

sinx,x

則f(x)在x0處 ln(1x),x(A)左、右導數都存 (B)左導數存在，右導數不存(C)左導數不存在，右導數存 (D)左、右導數都不存4

f(x)在[ab(abx(ab時，f(x)0

f(a)0則 f(x在[abf(b)0f(x在[abf(b)0f(x在[abf(b)0f(x在[abf(b f(x)dxF(x) f(ax2b)xdx 5、 ，

F(ax2b)c

1F(ax2b)

1F(ax2b)

；

2aF(ax2b)c6、當x0時，arctan3x與cosx是等價無窮小，則a為 (A)4 (B)3(C)2 7、已知一個函數的導數為y2x，且x1時y2,這個函數是 （A）yx2C；（B）yx2（C）y1x2C;（D）yx28f(x在(abf(a)

f(b),則 （A）至少存在一點(abf()0（B）一定不存在點(abf()0（C）恰存在一點(abf()0對任意的(a,b)，不一定能使f()0。 ln(12x)

x若f(x)

x

在x0處連續(xù)，則a 若sin1cos，則d

4極限lim2nsin

（x為不等于零的常數 yln(1ex2),則dy 函數yx3x2x1的極大值點 等邊曲線函數xy1在點（1，1）處的曲率為 計算題（共6小題，每小題6分，共36分）lim(3x

x6xet(1cos

dyd2已知y

， dxx2x2xexcos3 x 5.

(x

x 2 x1四 應用題[本題8分設直yax(0a1與拋物y

x2S1,且它們與直線x1所圍成的圖形的面積為S2試確定a的值,使得S1S2達到最小,并求出最小值求該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉一周的旋轉體的體積. 綜合題[本題8分]f(x

f(2)2x0(2xt)fx

5x31,22

f(x)dx六、證明題[本題6f(x在[0,1]上連續(xù)，而在(0,1)f(00,f(11，證明對任意給定的正數ab在(0,1)內存在不同的,使下式成立：

f

a一、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分1

f(x)tan2x,g(x)sin5x則當x0時下述結論正確的是

f(xg(x是等價無窮??；

f(xg(x)

f(xg(x

f(xg(x)x1,x2f(x0x

，則x0是函數f(x)的 x1,x(A)跳躍間斷 (B)可去間斷(C)無窮間斷 (D)振蕩間斷2x3,x3

f(x)

則函數f(x)在x1處的 x2,x(A)可 (B)左導數和右導數都存在但不(C)左導數和右導數只有一個存在 4、已知ycosx，則y(10)(

sinx；

sinx

cosx5f(x00f(xx0點處有極值的（充分條件；（B）充要條件；（D）6F(x)

f(x)，則dF(x) （A）f(x) （B）F(x)（C）f(x)C （D）F(x)Climxxf(t)dt7、設f(x)連續(xù)，則xaxa

af(a)

f(a)(C)a (D)08、若f(x)在(a,b)可導且f(a)f(b),則 （A）至少存在一點(abf()0（B）一定不存在點(abf()0（C）恰存在一點(abf()0對任意的(abf(0。二、填空題（本題共6每小題3，共18） f(x)xsinx

x在(,)內連續(xù)，則a xysinxcosxy

41極限lim(12x)x ye13xcosx,則dy 函數yx3x2x1的拐點 ABxx(t),yy(tAB點對應參數t，在()x(ty(t則曲線弧AB的長s 三、計算題（共6小題，每小題6分，共36分ytan(xy),

dyd22,2dx

x2 x2exsin5 x1

4

5xxex0四、應用題[本題8設拋物線yax2bxc通過(0,0)0x1y0.又知它和直線x1,y04.試確定a,b,c9圖形繞Ox軸旋轉一周的旋轉體的體積最小.五、綜合題[本題8x2sin 設0f(x) dt,求積分設0

六、證明題[本題6f(x在區(qū)間[ab上有定義，且對[abx,ybf(xfy)xy，證明b

f(x)dx(ba)f(a)1(ba)22一 填空題（每小題4分，共20分設矩陣A為3階方陣，且|A|=1，則 2設三元線性方程組Axb的兩個特解為123]T

111]T，且 RA)2,Axb的通解為[123]Tk[01

(k為任意數二次fxxxx2x2x24xx4xx4x

的標準形是 1 1 3 fy2y2 設三階方陣A的特征值為0,-1,1,且BA2AE,則B 0

x2x22x24xx2x

，則二次型f的矩陣為 1 2

121二、單項選擇題（5201.設A,B都是n階方陣，下列命題正確的 ）（A）(AB)2A22AB （B）(AB)2(C)(AB)(AB)A2 （D）(AB)TBT2.設A是35矩陣，B是3維列向量，R(A)3.則方程組AX （A）必定有 (B)未必有 （C）必定無 （D）必有唯一A）1 0矩陣A021相似于 C 3

（B）

（C）

（D）

x2x2x22xx2xx 1 2則f為正定的充要條件是滿足（ （A）

三、下列各題（663611411420112633

解：原式=

=1(1)12

（ 分1142012000411420120004

=2 52

（1）

（1

求矩陣A 3 解：用初等變換1E]1E][ 1

1

（2

1 0 10r30 1

0所以A1 1x1x2x3x4求齊次線性方程組x2xx2x

2x3x2x3x （用特解和基礎解系的形式表示11111 11111 1 1 0A 201011 1 11（2分

0101x1

0與原方程組同解方程0

1

x x X0k11

(k1,k2為任意數（1分AXBXX A 1，B

AXBX得(EAX

因為EA

1

30，所以EA 于是XEA)1B（21 1 1

由于EAB 1

1 1 1

因此X 2（4 0已知矩陣A 2與B 0相似

求x與ytrA解：因為AB相似

A|B

（2分2x82于是有2x2x82yx1y

，化簡得xy2（2分xy已知方陣A的屬于特征值2的特征向量是1,02]T和2,12]T 又向量2A A2,A AA(22AA4 =4[1,0,2]T+2[2,1,2]T=6[8,

（3分 四、[本題10分]已知矩陣A 0 AAPP1AP為對角矩陣,并求對角矩陣.解（1）AEA

3

(1)2( A的特征值為11（二重

2

（2將11代入特征方程組(EAX0 0X0 121, 12 故矩陣A的屬于特征值11的所有特征向量為k11

k1k2不全為（2將22代入特征方程組(EAX0 0 0X0 31 3A的屬于特征值22的所有特征向量為k33k30).（2（2）A31,2,3A可相似對角化.（1 令P[] 1， 12 PP1AP為對角矩陣.（310設二次型f(x,x,x)2x2x24xx4xx，用正交變換XUY把f化成1 1 2 （1） 12（1分 |EA|

1

(2)(1)(4) A的特征值2,1,

（1分 1將2代入特征方程得(2AX1

1 1 1 22EA 32 322 1 x1

0

0 1得方程組 2 基礎解系[1,2,1x2單位化得1[122]T（1分 2將1代入特征方程得(EAX21 1 1

1 1EA 2 2 0 2

得方程組x

x 1 2基礎解系為212]T單位化1[21

（1分 3將4代入特征方程得(4EA)X3 1

x32 12

得方程組

x2 基礎解系221]T，單位化1[2