北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊幾何常見模型練習(xí)題

全等三角形判定的三種類型已知一邊一角型一次全等型已知，如圖△ABC中，BD=DC,Z1=Z2，求證：AD平分ZBAC.如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，連接AD,過點B作BE丄AD于點E,過點C作CF丄AD交AD的延長線于點F,且BE=CF.求證：AD是AABC的中線.兩次全等型/3如圖，已知，在四邊形ABCD中，E是AC上一點，ZDAC=ZBAC,ZDCA=ZBCA.求證:ZDEC=ZBEC.如圖，在△ABC中,AB=AC,ZBAC=90°,D為AC的中點，AE±BD于F交BC于E.(1)求證：ZABD=ZCAE.求證：ZADB=ZCDE.直接寫出BD、AE、ED之間滿足的數(shù)量關(guān)系.已知兩邊型一次全等型如圖，點B,F,C,E在直線l上(點F,點C之間不能直接測量)，點A,D在l異側(cè)，測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.求證：△ABC^^DEF；指出圖中所有平行的線段，并說明理由.兩次全等型如圖所示，AB=CB,AD=CD,E是BD上任意一點，求證：AE=CE.如圖：已知AE交BD于點C,ZDAC=ZEBC=ZBAC,AB=AC.試說明：DC與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系.已知兩角型一次全等型如圖，已知ZBDC=ZCEB=90°,BE、CD交于點0,且AO平分ABAC,求證：0B=0C.

三角形中的四種常見說理類型說明相等關(guān)系1.如圖，AABC中，AB=AC,D是BC的中點，E、F分別是AB.AC上的點，且AE=AF,求證：DE=DF.說明位置關(guān)系《說明平行關(guān)系2.已知AABC為等邊三角形，點P在AB上，以CP為邊長作等邊三角形APCE.求證：AE^BC.說明垂直關(guān)系如圖，AABC中，AB=AC,點D、E、F分別在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中點,求證：DG丄EF.說明倍分關(guān)系說明角的倍分關(guān)系如圖，AABC中，AB=AC，BD±AC于D.猜想：ZDBC與ABAC之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.****A且AE=BE.)且AE=BE.)說明線段的倍分關(guān)系如圖，AABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于H,(1)求ZC的度數(shù).(2)求證:AH=2BD.說明和、差關(guān)系A(chǔ)B+BD=AC.線段垂直平分線與角平分線的應(yīng)用類型典例例1.已知：如圖，AABC中，AC=6,BC=8,AB=10,ZBCA的平分線與AB邊的垂直平分線相交于點D,DE±AC,DF丄BC,垂足分別是E、F.求證：AE=BF；求線段DG的長.利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長如圖，已知AB比AC長3cm,BC的垂直平分線交AB于點D,交BC于點E,AACD的周長是14cm，求AB和AC的長.利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角的度數(shù)如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB的垂直平分線交BC于D,連接AD.若△ADC的周長為16，AB=12，求△ABC的周長；若AD將ZCAB分成兩個角，且ZCAD：ZDAB=2：5,求ZADC的度數(shù).利用線段垂直平分線的性質(zhì)解決實際問題3某一個城市在一塊空地新建了三個居民小區(qū)，它們分別為A、B、C,且三個小區(qū)不在同一直線上，要想規(guī)劃一所中學(xué)，使這所中學(xué)到三個小區(qū)的距離相等.請問同學(xué)們這所中學(xué)建在哪個位置你怎么確定這個位置呢A*利用線段垂直平分線的性質(zhì)說明線段的數(shù)量關(guān)系如圖，已知ZAOB=90°，OM是ZAOB的平分線，將三角尺的直角頂點P放在射線0M上，兩直角邊分別與OA，0B交于點C，D.證明：PC=PD.若0P=4,求OC+OD的長度.))利用線段垂直平分線的性質(zhì)說明線段的位置關(guān)系5.如圖所示，人D為AABC的角平分線，DE±AC于點E,DF±AB于點F,EF交AD于點M,求證：AM丄EF.全等三角形判定的三種類型證明：如右圖所示,?.?BD=DC,.?.Z3=Z4,又?.?Z1=Z2,.?.Z1+Z3=Z2+Z4,即ZABC=ZACB,:.△ABC是等腰三角形，?.AB=AC,]0D二CD在△ABD和△ACD中，｛二/E.?.△ABD9AACD(SAS),:AB=AC?.ZBAD=ZCAD,AAD平分ABAC.證明:TBE丄AD,CF丄AD,AZBED=ZF=90°,Vbed=Zf在△BED和△CFD中，〈ZEDE二ZCDF,???△BED今ACFD,?\BD=CD,lBE=CFAD是厶ABC的中線.rZDAC=ZBAC證明：在AACD和△ACB中，*,??.△ACD^AACB,(ASA):Zdca=ZbcaBC=CD,'EC=CD在ADCE和ABCE中，"上DCA二ZECA,.?.△DCE^ABCE(ASA),AZDEC=ZBEC.心也二CE(1)證明：TAE丄BD,?ZAFB=ZBAC=90°,ZABD+ZBAF=90°,ZBAF+ZCAE=90°,.ZABD=ZCAE.(2)證明：過C作CM丄AC,交AE的延長線于M,則ZACM=90°=ZBAC,.?.CM//AB,?ZMCE=ZABC=ZACB,VZBAF=ZADB,ZADB+ZFAD=90°,ZABD+ZBAF=90°,.ZABD=ZCAM,rZDAB=ZACM在△ABD和ACAM中，]怔二AC,.△ABD^^CAM(ASA),;Zabd=Zm/.ZADB=ZM,AD=CM,BD=AM,TD為AC中點，:.AD=DC=CM,rCD=CM在△CDE和△CME中,ZDCE=ZECM,?.△CDE^^CME(SAS),:CE=CE；?/M=/CDE,；?/ADB=/CDE.解：結(jié)論：BD=AE+DE.理由：?.?△CDE9ACME,???ME=DE,TAM=AE+ME=AE+DE,?.?BD=AM,???BD=AE+DE.(1)證明:?.?BF=CE,?BF+FC=FC+CE,即卩BC=EF,"AB=DE在△ABC和ADEF中，’AC=DF,?'.△ABC^^DEF(sss)；lbc=ef(2)解：結(jié)論：ABHDE,ACIIDF理由:?.?△ABC竺△def,?zabc=zdef,zacb=zdfe,?ab//de,achdf.%rAB=CB證明：在△ABD與ACBD中*AD二CD‘.?.△ABD竺ACBD(SSS),lBD=BD:.ZABD=ZCBD,在△ABE與△CBE中^^D=ZCBD,^ABE^^CBE(SAS),?\AE=CE.:BE=BE解：DC=BE,VZEBC=ZBAC,ZACD=ZBAC+ZABC,ZABE=ZEBC+ZABC,:.ZACD=ZABE,Vdac=Zbac在△ACD和厶ABE中，｛怔二盤C,'△ACD^^ABE(ASA),?\DC=BE.;ZACD=ZABE證明：?.?ZBDC=ZCEB=90°,?\CD±AB,BE±AC,?AO平分ZBAC,?\OD=OE,rZBDO=ZCEQ在ABDO和ACEO中/.△BDO^^CEO(ASA),,\OB=OC.lZdob=Zeoc三角形中的四種常見說理類型證明：連接AD,55.55.VAB=AC,D是BC的中點,.?./EAD=/FAD,"AE=AF在厶AED和AAFO中，"FAD,?'.△AED^^AFD(SAS),?\DE=DF.;AD=AD2、證明：2、證明：?「△ABC與APCE為等邊三角形，:.AC=BC,EC=PC,ZBCA=ZPCE=60°,：?ZBCP=ZACE,rBC=AC在ABCP和AACE中，“今ACAE(SAS),iPC=EC:.ZCAE=ZB=60°=ZACB,?\AE^BC.3證明：連ED,DF,「AB=AC,?ZB=ZC,'BE=CD在Abed和Acdf中，｛三B二ZC,?abde今Acfd(sas),?\de=df,tBD=CFTG是EF的中點，??DG丄EF.AZBAC=180°-2PAZBAC=180°-2P，ZBAD=ZABC+ZC=2P，°.°AB=AC,.°.ZABC=ZC=B，(1)解：?.?AE=BE,BELAC,?\ZBAE=45°,又?.?AB又?.?AB=AC,?ZC=*(180°-ZBAE)=*(180°-45°)(2)證明：?.?AB=AC,AD丄BC,?\BC=2BD,Zl+ZC=90°,TBE丄AC,?Z2+ZC=9O°,?Z1=Z2,V1=Z2在厶AEH和ABEC中，〈姬二EE,:.△AEH^^BEC(ASA)^3=^4=90°:.AH=BC,：.AH=V1=Z2在厶AEH和ABEC中，〈姬二EE,:.△AEH^^BEC(ASA)^3=^4=90°:.AH=BC,：.AH=2BD.6.證明：如圖，在AC上截取AE=AB,^AD平分ZBAC,：ZCAD=ZBAD,rAE=AB在AABD和AAED中，*Zca/EAD,?:AABD今AAED(SAS):AD=AD：.DE=BD,ZAED=ZABC,VZAED=ZC+ZCDE,ZABC=2ZC,：ZCDE=ZC,：CE=DE,VAE+CE=AC,：AB+BD=AC.線段垂直平分線與角平分線的應(yīng)用類型例1.（1）證明：連接AD、BD,VAD是ZBCA的平分線，DE丄AC,DF±BC,?:DE=DF,TDG是AB邊的垂直平分線，：?AD=DB,[ED二DF

在RtAAED和RtADFB中，，：.Rt^AED^Rt^BFD(H厶),|.AD=DB(2)由(1)得：CE=CF==7,：?AE=EC-AC=1,：?AE=BF；VZECD=ZEDC=45°,：DE=CE=7,由題意可得：AG=BG=5,：?AD2=AE2+DE2=50,：?DG2=AD2-AG2=25,：?DG=5.1.解:TDE是BC的垂直平分線，：?CD=BD,.?.△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+BD+AD=AC+AB,由題意得,AB=AC=3AB+AC=14解得AC=5.5AB=8.5:.AB和AC的長分別為，.解:CD^DE是AB的垂直平分線,:.AD=BD,又：\ADC的周長為16,?：AD+CD+AC=16,艮卩BD+CD+AC=BC+AC=16,又AB=12,?\AB+BC+AC=16+12=28,則AABC的周長為28；（2）：AD=BD,?ZBAD=ZABD,?:ZCAD：ZDAB=2：5,設(shè)一份為x,即ZCAD=2x,ZDAB=ZABD=5x,又ZC=90°,???ZABD+ZBAC=90°,即卩2x+5x+5x=90°,解得：x=°,?:ZADCABD的外角，?ZADC=ZDAB+ZABD=5x+5x=10x=75°.3解：如圖，這所中學(xué)建在P點位置（點P為△ABC的外心）.連結(jié)AB、BC、AC,作AB和BC的垂直平分線，兩垂直平分線相交于點P,則點P到點A、B、C的距離相等.4.4.證明：（1）如圖，過點P作PE丄0A于點E,PF丄0B于點F,?:OM是ZAOB的平分線，???PE=PF,?:ZAOB=90°,ZCPD=90°,AZPCE+ZPDO=360°-90°-90°=180°.而ZPDO+ZPDF=180°,:.ZPCE=ZPDF在APCE和厶PDF中:.△PCE^^PDF(AAS)???PC=PD；(2)TZAOB=90°,OM平分