2022-2023學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)福州屏東中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．，，，π四個(gè)實(shí)數(shù)，任取一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率為()A． B． C． D．12．如圖，點(diǎn)B、D、C是⊙O上的點(diǎn)，∠BDC=130°，則∠BOC是（）A．100° B．110° C．120° D．130°3．如果2是方程x2-3x+k=0的一個(gè)根，則常數(shù)k的值為（）A．2 B．1 C．-1 D．-24．如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，若∠AOD=120°，AB=6，則AC等于（）A．8 B．10 C．12 D．185．關(guān)于x的一元二次方程(2x－1)2+n2+1=0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判定6．已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定7．如圖，是由兩個(gè)正方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖為（）A． B． C． D．8．如圖，某停車(chē)場(chǎng)人口的欄桿，從水平位置AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A'B′的位置已知AO＝4m，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝50°時(shí)，欄桿A端升高的高度是（）A． B．4sin50° C． D．4cos50°9．如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為31m，寬為10m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m1．若設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（）A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=57010．下列事件是必然事件的是（）A．明天太陽(yáng)從西方升起B(yǎng)．打開(kāi)電視機(jī)，正在播放廣告C．?dāng)S一枚硬幣，正面朝上D．任意一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和等于180°11．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．(0,-1) B．(-1,1) C．(-1,0) D．(1,0)12．如圖，將邊長(zhǎng)為6的正六邊形鐵絲框ABCDEF（面積記為S1）變形為以點(diǎn)D為圓心，CD為半徑的扇形（面積記為S2），則S1與S2的關(guān)系為（）A．S1＝S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＞S2二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在菱形ABCD中，∠B=60o，E是CD上一點(diǎn)，將△ADE折疊，折痕為AE，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D’，AD’與BC交于點(diǎn)F，若F為BC中點(diǎn)，則∠AED=______.14．反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，3），則k的值為_(kāi)____．15．不等式組x-2>0①2x-6>2②的解是________16．一個(gè)不透明的盒子中有4個(gè)白球，3個(gè)黑球，2個(gè)紅球，各球的大小與質(zhì)地都相同，現(xiàn)隨機(jī)從盒子中摸出一個(gè)球，摸到白球的概率是_____．17．對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義一種新的運(yùn)算“*”，，計(jì)算=______________________．若恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記，則k的取值范圍是_______________________．18．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，則邊AC的長(zhǎng)是．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且與直線相交于兩點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸與拋物線交于點(diǎn)，則是否存在以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（8分）已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與原點(diǎn)的距離為2，求的值．21．（8分）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，若AB＝1．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，E是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交拋物線于點(diǎn)F，過(guò)E作EG⊥x軸交AC于點(diǎn)M，過(guò)F作FH⊥x軸交AC于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形EMNF的周長(zhǎng)最大值時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q、C、B、O為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分？如果存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（10分）解方程：x2﹣6x﹣40＝023．（10分）某服裝超市購(gòu)進(jìn)單價(jià)為30元的童裝若干件，物價(jià)部門(mén)規(guī)定其銷(xiāo)售單價(jià)不低于每件30元，不高于每件60元．銷(xiāo)售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為60元時(shí)，平均每月銷(xiāo)售量為80件，而當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)每降低10元時(shí)，平均每月能多售出20件．同時(shí)，在銷(xiāo)售過(guò)程中，每月還要支付其他費(fèi)用450元．設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x元，平均月銷(xiāo)售量為y件．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，銷(xiāo)售這種童裝每月可獲利1800元？（3）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，銷(xiāo)售這種童裝每月獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？24．（10分）如圖1，在和中，頂點(diǎn)是它們的公共頂點(diǎn)，，．（特例感悟）（1）當(dāng)頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求證：四邊形是菱形；（探索論證）（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？試證明你的結(jié)論；（拓展應(yīng)用）（3）試探究：當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？請(qǐng)給予證明．25．（12分）計(jì)算：cos30°?tan60°+4sin30°．26．如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是⊙O外一點(diǎn)且滿(mǎn)足∠DCA＝∠B，連接AD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)∠DAB＝45°時(shí)，AD與⊙O交于E點(diǎn)，試寫(xiě)出AC、EC、BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】先求出無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論；【詳解】∵共有4種結(jié)果，其中無(wú)理數(shù)有：，π共2種情況，∴任取一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率；故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式，無(wú)理數(shù)，掌握概率公式，無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵.2、A【分析】首先在優(yōu)弧上取點(diǎn)E，連接BE，CE，由點(diǎn)B、D、C是⊙O上的點(diǎn)，∠BDC=130°，即可求得∠E的度數(shù)，然后由圓周角定理，即可求得答案．【詳解】解：在優(yōu)弧上取點(diǎn)E，連接BE，CE，如圖所示：

∵∠BDC=130°，

∴∠E=180°-∠BDC=50°，

∴∠BOC=2∠E=100°．

故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3、A【分析】把x=1代入已知方程列出關(guān)于k的新方程，通過(guò)解方程來(lái)求k的值．【詳解】解：∵1是一元二次方程x1-3x+k=0的一個(gè)根，

∴11-3×1+k=0，

解得，k=1．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．4、C【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得OA=OB=AC，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOB，然后判斷出△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OA=AB，然后求解即可．【詳解】∵矩形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，∴OA=OB=AC，∵∠AOD=10°，∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-10°=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=2×6=1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記矩形的對(duì)角線互相平分且相等是解題的關(guān)鍵．5、C【分析】先對(duì)原方程進(jìn)行變形，然后進(jìn)行判定即可．【詳解】解：由原方程可以化為：(2x－1)2=-n2-1∵(2x－1)2≥0,-n2-1≤-1∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．故答案為C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵在于對(duì)方程的變形，而不是運(yùn)用根的判別式．6、B【分析】根據(jù)圓心到直線的距離5等于圓的半徑5，即可判斷直線和圓相切．【詳解】∵圓心到直線的距離5cm=5cm，∴直線和圓相切，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能熟練根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．7、D【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看得到的圖形進(jìn)行求解即可.【詳解】俯視圖為從上往下看，所以小正方形應(yīng)在大正方形的右上角，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，熟知俯視圖是從上方看得到的圖形是解題的關(guān)鍵.8、B【分析】過(guò)點(diǎn)A'作AO的垂線,則垂線段為高度h,可知AO=A'O,則高度h=A'O×sin50°，即為答案B.【詳解】解：欄桿A端升高的高度＝AO?sin∠AOA′＝4×sin50°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是特殊三角形的三角函數(shù).方法是熟記特殊三角形的三角函數(shù).9、A【解析】六塊矩形空地正好能拼成一個(gè)矩形，設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)草坪的面積是570m1，即可列出方程:(31?1x)(10?x)=570，故選A.10、D【分析】必然事件就是一定會(huì)發(fā)生的事件，依次判斷即可.【詳解】A、明天太陽(yáng)從西方升起，是不可能事件，故不符合題意；B、打開(kāi)電視機(jī)，正在播放廣告是隨機(jī)事件，故不符合題意；C、擲一枚硬幣，正面朝上是隨機(jī)事件，故不符合題意；D、任意一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和等于180°是必然事件，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)必然事件的考查，熟練掌握必然事件知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.11、C【解析】用配方法將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），故選C．12、D【分析】由正六邊形的長(zhǎng)得到的長(zhǎng)，根據(jù)扇形面積公式=×弧長(zhǎng)×半徑，可得結(jié)果．【詳解】由題意：的長(zhǎng)度==24，∴S2=×弧長(zhǎng)×半徑=×24×6=72，∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，∴為等邊三角形，∠ODE=60°，OD=DE=6，過(guò)O作OG⊥DE于G，如圖：∴，∴，∴S1＞S2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、扇形面積公式；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，求出弧長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、75o【分析】如圖（見(jiàn)解析），連接AC，易證是等邊三角形，從而可得，又由可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，最后在中利用三角形的內(nèi)角和定理即可得.【詳解】如圖，連接AC在菱形ABCD中，是等邊三角形F為BC中點(diǎn)（等腰三角形三線合一的性質(zhì)），即（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）又由折疊的性質(zhì)得：在中，由三角形的內(nèi)角和定理得：故答案為：.【點(diǎn)睛】本題是一道較好的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圖形折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，利用三線合一的性質(zhì)證出是解題關(guān)鍵.14、-1【解析】將點(diǎn)（?2，3）代入解析式可求出k的值．【詳解】把（?2，3）代入函數(shù)y＝中，得3＝，解得k＝?1．故答案為?1．【點(diǎn)睛】主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．先設(shè)y＝，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出k值，即得到反比例函數(shù)的解析式．15、x＞4【分析】分別解出不等式組中的每一個(gè)不等式，然后根據(jù)同大取大得出不等式組的解集.【詳解】由①得:x＞2;由②得:x＞4;∴此不等式組的解集為x＞4;故答案為x＞4.【點(diǎn)睛】考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到.16、．【分析】直接利用概率求法，白球數(shù)量除以總數(shù)進(jìn)而得出答案．【詳解】∵一個(gè)不透明的盒子中有4個(gè)白球，3個(gè)黑球，2個(gè)紅球，∴隨機(jī)從盒子中摸出一個(gè)球，摸到白球的概率是：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式，正確掌握概率求法是解題關(guān)鍵．17、【分析】分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)兩種情況，分別代入新定義的運(yùn)算算式即可求解；設(shè)y=，繪制其函數(shù)圖象，根據(jù)圖象確定m的取值范圍，再求k的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；設(shè)y=，則y=其函數(shù)圖象如圖所示，拋物線頂點(diǎn)，根據(jù)圖象可得：當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中設(shè)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，，，時(shí)，，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義問(wèn)題，解題關(guān)鍵是將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．18、.【詳解】解：∵BC=2，∴AB==3∴AC=故答案為：.三、解答題（共78分）19、（1）；（2），；（3）；坐標(biāo)為或或或.【分析】（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，

（2）聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長(zhǎng)度，當(dāng)△MON和△ABC相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得或，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線解析式為，又拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線解析式為：，即.（2）聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，解得：或，∴，；（3）存在；坐標(biāo)為或或或.理由：假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，設(shè)，則，∴，，由（2）知，，，∵軸于點(diǎn)，∴，∴當(dāng)和相似時(shí)，有或，①當(dāng)時(shí)，∴，即，∵當(dāng)時(shí)、、不能構(gòu)成三角形，∴，∴，∴，解得：或，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為：或；②當(dāng)時(shí)，∴，即，∴，∴，解得：或，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為：或，綜上可知，在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為：或或或.【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問(wèn)題、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)及分類(lèi)討論等．在（1）中注意頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在（3）中設(shè)出N、M的坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點(diǎn)的對(duì)應(yīng)．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．20、（1）和；（2）或－1．【分析】（1）把k=2代入，得．再令y=0，求出x的值，即可得出此函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與原點(diǎn)的距離為2，列出方程求解即可．【詳解】（1）∵，∴，令，則，解得，∴函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．（2）∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與原點(diǎn)的距離為2，∴，解得或－1．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．21、（1）；見(jiàn)解析；（2）；見(jiàn)解析；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣1）或（﹣，﹣）或（，）；詳解解析．【分析】（1）＝0，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有AB＝，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)E，點(diǎn)F，四邊形EMNF的周長(zhǎng)C＝ME+MN+EF+FN，即可求解；（3）分當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限、點(diǎn)Q在第四象限兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）依題意得：=0，則，則AB＝，解得：a＝5或﹣3，拋物線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，故a＝5舍去，則a＝﹣3，則拋物線的表達(dá)式為：…①；（2）由得：點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：、，設(shè)點(diǎn)E，OA＝OC，故直線AC的傾斜角為15°，EF∥AC，直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，則設(shè)直線EF的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入上式并解得：直線EF的表達(dá)式為：y＝﹣x+…②，聯(lián)立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，故點(diǎn)F，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：、，則EF＝，四邊形EMNF的周長(zhǎng)C＝ME+MN+EF+FN＝，∵﹣2＜0，故S有最大值，此時(shí)m＝，故點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：；（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限時(shí)，當(dāng)QC平分四邊形面積時(shí)，則，故點(diǎn)Q；當(dāng)BQ平分四邊形面積時(shí)，則，則，解得：，故點(diǎn)Q；②當(dāng)點(diǎn)Q在第四象限時(shí)，同理可得：點(diǎn)Q；綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖形的面積計(jì)算等，其中（1）（3）都要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．22、x1＝10，x2＝﹣1．【分析】用因式分解法即可求解.【詳解】解：x2﹣6x﹣10＝0，（x﹣10）（x+1）＝0，∴x﹣10＝0或x+1＝0，∴x1＝10，x2＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法，有直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法．23、（1）y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為55元時(shí)，銷(xiāo)售這種童裝每月可獲利1800元；（3）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為60元時(shí)，銷(xiāo)售這種童裝每月獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1950元．【分析】（1）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為60元時(shí)，平均每月銷(xiāo)售量為80件，而當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)每降低10元時(shí)，平均每月能多售出20件．從而用60減去x，再除以10，就是降價(jià)幾個(gè)10元，再乘以20，再把80加上就是平均月銷(xiāo)售量；（2）利用（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）乘以平均月銷(xiāo)售量，再減去每月需要支付的其他費(fèi)用，讓其等于1800，解方程即可；（3）由（2）方程式左邊，可得每月獲得的利潤(rùn)函數(shù)，寫(xiě)成頂點(diǎn)式，再結(jié)合函數(shù)的自變量取值范圍，可求得取最大利潤(rùn)時(shí)的x值及最大利潤(rùn)．【詳解】解：（1）由題意得：y＝80+20×∴函數(shù)的關(guān)系式為：y＝﹣2x+200（30≤x≤60）（2）由題意得：（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800解得x1＝55，x2＝75（不符合題意，舍去）答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為55元時(shí)，銷(xiāo)售這種童裝每月可獲利1800元．（3）設(shè)每月獲得的利潤(rùn)為w元，由題意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴當(dāng)x≤65時(shí)，w隨x的增大而增大∵30≤x≤60∴當(dāng)x＝60時(shí)，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為60元時(shí)，銷(xiāo)售這種童裝每月獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1950元．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，具有較強(qiáng)的綜合性．24、(1)見(jiàn)解析；(2)

當(dāng)∠GBC=30°時(shí)，四邊形GCFD是正方形．證明見(jiàn)解析；(3)當(dāng)∠GBC=120°時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形CGFD是矩形.證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再通過(guò)證明得出，從而證明四邊形是菱形；（2）證法一：如圖，連接交于，在上取一點(diǎn)，使得，通過(guò)證明，，，從而證明當(dāng)∠GBC=30°時(shí)，四邊形GCFD是正方形；證法二：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，通過(guò)證明OD=OC=OG=OF，GF=CD，從而證明當(dāng)∠GBC=30°時(shí)，四邊形GCFD是正方形；（3）

當(dāng)∠GBC=120°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，通過(guò)證明，CD=GF，，從而證明四邊形是矩形．【詳解】(1)，，四邊形是平行四邊形，在和中，，，四邊形是菱形．(2)

當(dāng)∠GBC=30°時(shí)，四邊形GCFD是正方形．證法一：如圖，連接交于，在上取一點(diǎn)，使得，，，，，，，.，，，，，，，，設(shè)，則，，

在Rt△BGK中，，解得，

，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形．證法二：如圖∵，，.又，，，.過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，在Rt△BHG中，∵，∴GH=BG＝＋１，BH＝GH＝3＋，∴HC=BC﹣BH=2+2-（3＋）=-1，∴GC=，∴OG=OC===2，∴OD=OF=4-2=2，∴OD=OC=OG=OF，四邊形是矩形，∵GF=CD，四邊形是正方形．(3)當(dāng)∠GBC=120°時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形CGFD是矩形.

當(dāng)∠GBC=120°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合.，∴，.

∵四邊形ABCD和四邊形GBEF是平行四邊形，∴，，AB=CD，AB=GF，∴，CD=GF，