2003年高數(shù)真題及答案

2003年廣東省普通高等本科插本生招生考試試題高等數(shù)學(xué)一、填空題(每小題2分，共20分)_1,1 2函數(shù)y__-pi_x2的定義域是x甲下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是 。A.f(x)_2lnx2C.f(x)_2sinxcosxB.f(x)_xD.F(x)=f(x)+f(-x)若sinxdx二dF(x),則F(x)=1x+1其中a^0olim其中a^0oaxXT8TOC\o"1-5"\h\zsinx2 1lim( +xsin—)= xSx x微分方程y''-3y'_0的通解是j*1 )dx_ 。o1+Xf(x)的一個(gè)原函數(shù)為xe—x，則f(x)= 。已知f(x)和g(x)在(a,b)上連續(xù)，若"f(x)dx_j"g(x)dx，則f(x)與abg(x)的關(guān)系為 。10?冪級(jí)數(shù)蘭(一1)n~1^—的收斂半徑為/b—_1二、計(jì)算題(每小題6分，共30分)1.已知ln(x+y)=x3y+sinx,求孚dxx_02.sinxdx3.4.j2.sinxdx3.4.jx—xsinx7dxCOS2xj1x2exdx0dzQ2z已矢廿Z_xlnU9U_xy,求 9———-QxQx2三、計(jì)算及證明(每小題6分，共30分)1.limx21.limx2sintdt7xt3dt02.已知微分方程y"+1(y)2=0,求其通解。ff8xd3?計(jì)算 ，其中D為拋物線y=X2-1和X軸所圍成的區(qū)域。Dx=etsint4?已知 t+，求此曲線在t=0處法線的方程。Jy=etcost5?試證明：當(dāng)x幻時(shí)，2伍豐3--。x四、綜合題(共計(jì)20分)廠1(1+x2)x,x豐0f(x)<1、已知 ，試判斷函數(shù)f(x)在x二0處的連續(xù)性。x=02、 某單位要建一個(gè)平面為矩形、面積為128平方米的車庫，一邊可利用原有墻壁，其它三個(gè)邊需要砌新的墻壁，問矩形長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，才使砌墻壁所用的材料最?。?、 今有一攪拌均勻的反應(yīng)釜中進(jìn)行一等溫反應(yīng)，A+B=P+S。已知反應(yīng)物A的濃度下降的速率與當(dāng)時(shí)反應(yīng)物A和反應(yīng)物B的濃度和乘積成正比，比例系數(shù)為K。又如，初始時(shí)反應(yīng)物A和反應(yīng)物B的濃度相等，即C=C，求反應(yīng)物AAOBO的濃度降為原來的一半所經(jīng)歷的時(shí)間。2003年廣東省專插本考試《高等數(shù)學(xué)》參考答案1、6、、填空題[—1,0)u(0,1]2、D123、—cosx+C14、ea5、11、21、6、、填空題[—1,0)u(0,1]2、D123、—cosx+C14、ea5、11、2、3、4、8、e—x—xe—xy=Ce3x+C12、計(jì)算題【解析】由上式等式可得y(0)=1，對(duì)等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得:1+y'=3x2y+x3y+cosx令上式中x=0，x+y7、9、f(x)=—g(x)10、1得:1+y'(0)=1=y'(0)=0【解析】原式_2Jsinxdx_2(—cosx)011【解析】原式_f dcos_ +Ccos2x cosx解析】原式_fx2dex_x2ex0_eC為任意常數(shù))1—f12xexdx_e—f12xde000、xQu［解析】=_lnu+ ■ _Qx uQx三、計(jì)算及證明5、—[2xexi—fi2exdx]='00ln(xy)+-■yy_e—(2e—2ex1)_—e+(2e—1)_e—1Q2z_ln(xy)+1_z_Qx211■y—

xyx1、2、2xsinx2 2sinx2【解析】原式_lim _lim—0 x3 —0x2【解析】令P_y',則Pdx_dy。P2 P2 P于是原方程可化為P+ _0odP+dx_0odP+—dy_0解得P_Cy-1y y y 14、dy故子=Cy-1=y=^Cx+c即為原方程通解dx1 1 2【解析】t=0時(shí)，x=°，y=1dy_dy/dt_etcost—etsintdxdx/dt etsint+etcost故曲線在t=0時(shí)的切線斜率為：k=_cost—sint_cos2tsint+cost1+sin2t1_[.1+0_丄‘…此曲線在t_0處的法線方程為y—1_—(x—0)，即y_1—x【證明】記f(x)_2*x+1—3xf'(x)_丄-丄>0,,xx2f(1)_0f(x)>0,VxeC+3)xe[1,+s)1>3一_當(dāng)x〉1x'當(dāng)四、綜合題1、【解析】i ilim(1+x2)x二lim(1+x2)x2二lim(1+x2)x2［男二e0二1二f(0)x-0 x-0 x-0.f(兀)在x=0處連續(xù)2、【解析】128128設(shè)長(zhǎng)為X,寬為y,則有：xy=128ny= ，記f(x)= x2+x(x>0)，則題目要求我xx們求出x為何值時(shí)，/(x)取最小值廣(x)=1-256。x2128令f'(x)=0得x=16,y