四川省南充市順慶區(qū)第一中學2022年高三數(shù)學理測試題含解析

四川省南充市順慶區(qū)第一中學2022年高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知x，y滿足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則a的值是（）A． B． C． D．4參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結合目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程關系，即可得到結論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大，由，解得即A（1，1），此時z=2×1+1=3，當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點B時，直線的截距最小，此時z最小，由，解得，即B（a，a），此時z=2×a+a=3a，∵目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故選：B【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．2.已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在區(qū)間（0，2）內單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是A．a(chǎn)≥3

B．a(chǎn)＝3

C．a(chǎn)≤3

D．0<a<3參考答案：A3.已知正三角形三個頂點都在表面積為的球面上，球心到平面的距離為，則三棱錐的體積為（

）A．

B．

C.24

D．參考答案：C設正三角形的中心為，連接，，，則為△的外接圓半徑，；因為球的表面積為，所以球的半徑為，又因為球心到平面的距離為，即；在△中，，；在△中，由正弦定理可得，即，，選C．4.如圖，四邊形ABCD內接于圓O，若，，，則的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】做出輔助線，根據(jù)題意得到；在三角形DCB中，應用余弦定理以及重要不等式得到再由正弦定理中的三角形面積公式得到結果.【詳解】做于點E，，在直角三角形中，可得到根據(jù)該四邊形對角互補得到在三角形ABD中，應用余弦定理得到在三角形DCB中，應用余弦定理以及重要不等式得到進而得到故答案為：C.【點睛】這個題目考查了余弦定理解三角形，以及四邊形有外接圓則對角互補的性質的應用；在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.5.設是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(－2，1]上的圖像，則＋＝（

）A、3

B、2C、1

D、0參考答案：C略6.三棱錐D—ABC及其三視圖中的主視圖和左視圖如圖所示，則棱BD的長為（

）A. B.2 C.3 D.4參考答案：D7.已知是定義在R上的且以2為周期的偶函數(shù)，當時，，如果直線與曲線恰有兩個不同的交點，則實數(shù)=（

）A．

B．

C．0

D．參考答案：D8.已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n﹣1，則數(shù)列{an2}的前n項和Tn=（）A．（2n﹣1）2 B．4n﹣1 C． D．參考答案：C【考點】89：等比數(shù)列的前n項和．【分析】等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n﹣1，可得：a1=S1=1，a1+a2=22﹣1=3，解得a2．利用等比數(shù)列的通項公式可得an．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n﹣1，∴a1=S1=1，a1+a2=22﹣1=3，解得a2=2．∴公比q=2．∴an=2n﹣1．∴=4n﹣1，則數(shù)列{an2}為等比數(shù)列，首項為1，公比為4．其前n項和Tn==．故選：C．【點評】本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9.復數(shù)z滿足，則z=（

）A． B． C． D．參考答案：A由，則，故選A．

10.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”問此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里參考答案：C【考點】函數(shù)模型的選擇與應用．【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構成以為公比的等比數(shù)列，由S6=378求得首項，再由等比數(shù)列的通項公式求得該人第4天和第5天共走的路程【解答】解：記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q=的等比數(shù)列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列命題中，正確的是

①平面向量與的夾角為，，，則②已知，其中θ∈，則③是所在平面上一定點，動點P滿足：，，則直線一定通過的內心參考答案：①②③12.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，，則_____.參考答案：【分析】計算得到，再利用裂項相消法計算得到答案.【詳解】，，故，故，.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項和，裂項相消法求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.13.設函數(shù)，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x﹣2y在D上的最大值為

．參考答案：2【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】先求出曲線在點（1，0）處的切線，然后畫出區(qū)域D，利用線性規(guī)劃的方法求出目標函數(shù)z的最大值即可．【解答】解：當x＞0時，f′（x）=，則f′（1）=1，所以曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線為y=x﹣1，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域如下圖陰影部分．z=x﹣2y可變形成y=x﹣，當直線y=x﹣過點A（0，﹣1）時，截距最小，此時z最大．最大值為2．故答案為：2．14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．線段OM上的動點A滿足；線段HN上的動點B滿足．直線PA與直線QB交于點L，設直線PA的斜率記為k，直線QB的斜率記為k'，則k?k'的值為______；當λ變化時，動點L一定在______（填“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”之中的一個）上．參考答案：

雙曲線【分析】根據(jù)向量關系得到A，B的坐標，再根據(jù)斜率公式可得kk′=；設P（x，y），根據(jù)斜率公式可得P點軌跡方程．【詳解】∵；∴A（-4λ，0），又P（0，-2），∴；∵．∴B（4，2-2λ），∴，∴kk′=，設L（x，y），則，∴，即．故答案為：，雙曲線．15.若從區(qū)間（為自然對數(shù)的底數(shù)，）內隨機選取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之積小于的概率為

．參考答案：16.實數(shù)，滿足，目標函數(shù)的最大值為

．參考答案：-1如圖區(qū)域為開放的陰影部分，可求，函數(shù)過點時，.

17.設是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當時，，則

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，某傳動裝置由兩個陀螺T1，T2組成，陀螺之間沒有滑動．每個陀螺都由具有公共軸的圓錐和圓柱兩個部分構成，每個圓柱的底面半徑和高都是相應圓錐底面半徑的，且T1，T2的軸相互垂直，它們相接觸的直線與T2的軸所成角θ=arctan．若陀螺T2中圓錐的底面半徑為r（r＞0）．（1）求陀螺T2的體積；（2）當陀螺T2轉動一圈時，陀螺T1中圓錐底面圓周上一點P轉動到點P1，求P與P1之間的距離．參考答案：考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關系與距離．分析：（1）設陀螺T2圓錐的高為h，可得，進而可得陀螺T2圓柱的底面半徑和高為，進而求出陀螺T2的體積；（2）設陀螺T1圓錐底面圓心為O，可得，進而利用弧長公式，求出圓心角，進而可得P與P1之間的距離．解答： 解：（1）設陀螺T2圓錐的高為h，則，即’得陀螺T2圓柱的底面半徑和高為，

（2）設陀螺T1圓錐底面圓心為O，則，得在△POP1中，點評：本題考查的知識點是旋轉體的體積公式，弧長公式，是三角函數(shù)與空間幾何的綜合應用，難度中檔．19.（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，點是對角線與的交點，，，是的中點．(Ⅰ)求證：∥平面；(Ⅱ)平面平面；(Ⅲ)當三棱錐的體積等于時，求的長．參考答案：【知識點】立體幾何綜合【試題解析】證明：（Ⅰ）因為在△中，，分別是，的中點，

所以∥

又平面，平面，

所以∥平面．

(Ⅱ)因為底面是菱形，

所以．

因為平面，平面，

所以．又，

所以平面．

又平面，

所以平面平面．

（Ⅲ）因為底面是菱形，且，，

所以．

又，三棱錐的高為，

所以，

解得．20.設某人有5發(fā)子彈，他向某一目標射擊時，每發(fā)子彈命中目標的概率為，若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完．（Ⅰ）求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；（Ⅱ）求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列與期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式和相互獨立事件乘法概率公式能求出他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率．（Ⅱ）由已知得他所耗用的子彈數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）∵某人有5發(fā)子彈，他向某一目標射擊時，每發(fā)子彈命中目標的概率為，∴他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率：p==．（Ⅱ）由已知得他所耗用的子彈數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，P（X=2）=（）2+（）2=，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）=++=，∴X的分布列為：X2345P∴EX==．【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．21.為了調查民眾對國家實行“新農(nóng)村建設”政策的態(tài)度，現(xiàn)通過網(wǎng)絡問卷隨機調查了年齡在20周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數(shù)分布和支持“新農(nóng)村建設”人數(shù)如下表：年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]頻數(shù)102030201010支持“新農(nóng)村建設”311261262

（1）根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為以50歲為分界點對“新農(nóng)村建設”政策的支持度有差異；

年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計支持

不支持

合計

（2）為了進一步推動“新農(nóng)村建設”政策的實施，中央電視臺某節(jié)目對此進行了專題報道，并在節(jié)目最后利用隨機撥號的形式在全國范圍內選出4名幸運觀眾（假設年齡均在20周歲至80周歲內），給予適當?shù)莫剟?若以頻率估計概率，記選出4名幸運觀眾中支持“新農(nóng)村建設”人數(shù)為，試求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：，其中.參考答案：（1）2×2列聯(lián)表見解析，沒有95%的把握（2）分布列見解析，數(shù)學期望為【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，從而可利用公式計算出，可判斷出無95%的把握；（2）可判斷出服從二項分布：，通過公式計算出所有可能取值的概率，從而得到分布列；再利用求得數(shù)學期望.【詳解】（1）列聯(lián)表

年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計支持402060不支持202040合計6040100

所以沒有的把握認為以歲為分界點對“新農(nóng)村建設”政策的支持度有差異（2）由題可知，所有可能取值有，且觀眾支持“新農(nóng)村建設”的概率為，因此，，所以的分布列是：01234

所以的數(shù)學期望為【點睛】本題考查獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，重點考查了二項分布的問題.22.已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足（2，2）（1）求拋物線Γ的方程；（2）已知經(jīng)過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經(jīng)過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定