2014年考研數(shù)三真題及答案解析(完整版)

2014年考研數(shù)三真題與答案一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設(shè)lima二a,且a豐0,則當(dāng)n充分大時有( )n1a(A)a>-ni2(B)la|<單n121(C)a>a-—nn1(D)a<a+—nn下列曲線有漸近線的是()y=x+sinxy=x2+sinx.1y=x+sinxy=x2+sin—x設(shè)P(x)=a+bx+cx2+dx3，當(dāng)xT0時，若P(x)-tanx是比x3高階的無窮小,則下列試題中錯誤的是TOC\o"1-5"\h\za=0b二1c二0,1d—6設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)二/(0)(1-x)+/(1)x，則在區(qū)間［0,1］上()當(dāng)/'(x)>0時，/(x)>g(x)當(dāng)/'(x)>0時，/(x)<g(x)當(dāng)/'(x)<0時，/(x)>g(x)當(dāng)/'(x)<0時，/(x)>g(x)

a0ca0c0b0d0a(5)行列式°(A)(ad—bc)2(B)—(ad—bc)2(C)a2d2—b2c2(D)b2c2—a2d2（6）設(shè)ai,a2,a3均為3維向量，則對任意常數(shù)k，1，向量組巴+叫S+化線性無關(guān)是向量組a,a,a線性無關(guān)的1 2 3（A） 必要非充分條件（B） 充分非必要條件（C） 充分必要條件（D） 既非充分也非必要條件（7） 設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨立，且P（B）=0.5，P（A-B）=0.3，求P（B-A）=（）TOC\o"1-5"\h\z（A） 0.1（B） 0.2（C） 0.3（D） 0.4（8） 設(shè)X,X,X為來自正態(tài)總體N（0,G2）的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計量X』X2服從的iJ3 V2X3分布為（A） F（1,1）（B） F（2,1）（C） t（1）（D） t（2）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=40-2P（P為商品價格），則該商品的邊際收益為（10）設(shè)D是由曲線xy+1二0與直線y+x二0及y=2圍成的有界區(qū)域，貝VD的面積為(11)設(shè)jaxe2xdx=1，則a=0 4

(12)二次積分(12)二次積分0yx-ey2)dx=設(shè)二次型f(x,x,x)=x2-x2+2axx+4xx的負(fù)慣性指數(shù)為1,則a的取值范圍1 2 3 1 2 13 23是 f2xc 2xe<x<29設(shè)總體X的概率密度為f(x;9)=］392 ，其中9是未知參數(shù),0其它X,XX,為來自總體X的簡單樣本，若egx2是92的無偏估計，則c= 1 2 n ii=1三、解答題：15—23小題，共94分?請將解答寫在答題紙指定位置上?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(本題滿分10分)求極限limx求極限limxT+8Jxr1)(2e(—1—(d(1l丿x2ln(1+)x(本題滿分10分)xsin(兀x2+y2)設(shè)平面區(qū)域D={(x,y)11<x2+y2<4,x>0,y>0}，計算H dxdy.x+yD(本題滿分10分)d2zd2z設(shè)函數(shù)/(u)具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=f(excosy)滿足 + =4(z+excosy)e2x，若ox2勿2f(0)=0,f'(0)=0，求/(u)的表達(dá)式。(本題滿分10分)求幕級數(shù)g(n+1)(n+3)xn的收斂域及和函數(shù)。n=0(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且/(x)單調(diào)增加，0<g(x)<1，證明:⑴0<Jxg(t)dt<x—a,xe[a,b];a(II)Ja+X(()dtf(x)dx<Jbf(x)g(x)dx.a a凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)f1 -23-4'（20）（本題滿分11分）設(shè)A=01-11<120-3丿E為3階單位矩陣。①求方程組Ax二0的一個基礎(chǔ)解系； ②求滿足AB=E的所有矩陣Bf11…1、f00...1、（本題滿分11分）證明n階矩陣11…1與00...2<11…1丿<00... n丿(21)相似。（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=1}=P{X=2}=2，在給定X二i的條件下，隨機(jī)變量Y服從均勻分布U(0,i)(i=1,2)（1） 求Y的分布函數(shù)Fy（y）（2） 求EY（23）（本題滿分11分）12設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率分布相同,X的概率分布為P{X—0}=3,p{X—1}=3,且X與Y的相關(guān)系數(shù)Pv—|XY2（1）求（X，Y）的概率分布(2)求P{X+Y<1}2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題答案一、 選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.TOC\o"1-5"\h\zACDCBA(B)(C)二、 填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.dR=40-4pdp3 7c—In221a=—22(e—1)厶[-2,2]2(14)5n三、 解答題：15—23小題，共94分?請將解答寫在答題紙指定位置上?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.【答案】

TOC\o"1-5"\h\zJx[12(ex—1)—t]dtlim-4 1xT+8x2加(1+ )X(ex—1)Jxt2dt—Jxtdt=lim 1 1 xT+w x=limx2(e—1)—xxT+w令u=,x則limx2(e—1)—xxT+wU2eu—1 1=lim U2eu—1 1=lim =—uto+ 2u2u—0+(16)【答案】￡d9f2PCOS6伽Ppdp0 1pcos6+psin6=J2COs6 d6^2psin兀pdpTOC\o"1-5"\h\z0cos6+sin6 1=—J2——c°s6 d6J2pdcos兀p兀0cos6+sin6 1=—J2 c°s d6(pcos兀p|2—J2cos兀pd兀p)兀0cos6+sin6 1兀11"cos6=——J2 6 6d6?(2+1)兀0cos6+sin6=—2丄J—d6—20=3 4(17)【答案】QE=f丫excosy)excosydxd2Edx2=f"(excosy)e2xcos2y+f'(excosy丿excosyQE=f'(excosy)ex(-siny)QyQ2EQy2=f"(excosy)e2xsin2y+f'(excosy)ex(-cosy)Q2EQ2E+Qx2 Qy2=f"(excosy)e2x=(4E+excosy)e2xf"(excosy)=4f(excosy)+excosy令excosy=u,則f"(u)=4f(u)+u,故f(u)=Ce2u+Ce-2u--,(C,C為任意常數(shù))12412由f(0)=0,f'(0)=0,得f(u)=e2u e-2u uT6-IT-4(18)【答案】由"m(n+17*J=1，得R=1ns(n+1)(n+3丿當(dāng)x=1時,區(qū)(n+1)(n+3)發(fā)散，當(dāng)x=-1時，紜-1)n(n+1當(dāng)x=1時,n=0nn=0故收斂域為(-1,1)。x豐0時，為(n+1)(n+3)xn=(另(n+3)Jx(n+1)xndx丿'0TOC\o"1-5"\h\zn=0 n=0=(另(n+3)xn+1)"=(—另(n+3)xn+2)"xn=0 n=0=(1(刃x(n+3)xn+2dx//=(1(另xn+3)')'x0 xn=0 n=0=(1(旦)")"=(3x-2x2/=上二=s(x)x1-x (1-x)2 (1-x)3

3—xx二0時，s(x)二3，故和函數(shù)s(x)= ,xG(—1,1)(1—x)3(19)【答案】證明：1)因為0<g(x)<1，所以有定積分比較定理可知，fx0dt<fxg(t)dt<fx1dt，即a a a0<f*g(t)dt<x—a。a2)令F(x)=fxf(t)g(t)dt—fx乜g(t)dt—f(t)dta aF(a)=0F'(x)=f(x)g(x)—f[a+fxg(t)dt]g(x)a=g(x){f(x)—f[a+fxg(t)dt]}a由1)可知fxg(t)dt<x—a，a所以a+fxg(t)dt<x。a由f(x)是單調(diào)遞增，可知f(x)—f[a+fxg(t)dt]>0a由因為0<g(x)<1,所以F'(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，所以F(b)>F(a)=0，得證。(20)【答