天津薊縣白澗中學2023年高一數(shù)學理上學期期末試題含解析

天津薊縣白澗中學2023年高一數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若cos（﹣α）=，則sin2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：D【考點】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【分析】法1°：利用誘導公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式將左邊展開，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故選：D．2.在△ABC中，若，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

3.已知集合,,則（）A． B． C． D．參考答案：C略4.在△ABC中，若，則等于（

）A

B

C

D

參考答案：C略5.定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，則等于（

） A．

3

B．

C．-2

D．2參考答案：D6.已知數(shù)列的前項和(,,為非零常數(shù)),則數(shù)列為(

)A.等差數(shù)列

B.等比數(shù)列

C.既不是等比數(shù)列也不是等差數(shù)列

D.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列參考答案：C7.函數(shù)的圖像大致為(

).A

B

C

D參考答案：A8.已知,則

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.函數(shù)f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，） D．（3，+∞）參考答案：D【考點】4O：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【分析】由題意可得可得a＞1，且a﹣3＞0，由此求得a的范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上單調(diào)遞增，而函數(shù)t=ax﹣3在[1，3]上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3，故選：D．10.已知平面平面，，點，，直線，直線，直線，，則下列四種位置關系中，不一定成立的是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】平面外的一條直線平行平面內(nèi)的一條直線則這條直線平行平面，若兩平面垂直則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直另一個平面，主要依據(jù)這兩個定理進行判斷即可得到答案?！驹斀狻咳鐖D所示：由于，，，所以，又因為，所以，故A正確，由于，，所以，故B正確，由于，，在外，所以，故C正確；對于D，雖然，當不一定在平面內(nèi)，故它可以與平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正確；故答案選D【點睛】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判斷以及性質(zhì)應用，要求熟練掌握定理是解題的關鍵。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.則的解析式是______________。參考答案：12.在扇形中，已知半徑為，弧長為，則圓心角是

弧度，扇形面積是

.參考答案：略13.同學們都有這樣的解題經(jīng)驗：在某些數(shù)列的求和中，可把其中一項分裂成兩項之差，使得某些項可以相互抵消，從而實現(xiàn)化簡求和.如已知數(shù)列{an}的通項為，故數(shù)列{an}的前n項和為.“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學史上一個著名的數(shù)列，在斐波那契數(shù)列{an}中，，，，若，那么數(shù)列{an}的前2019項的和為__________．參考答案：【分析】根據(jù)累加法，即可求出答案.【詳解】∵a1＝1，a2＝1，an+an+1＝an+2（n∈N*），∴a1+a2＝a3，a2+a3＝a4，a3+a4＝a5，…a2011+a2012＝a2013，……以上累加得，∴故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)列的求和方法，采用累加法，屬于基礎題．14.已知數(shù)列的首項，其前和為，且滿足．若對任意的,都有恒成立，則的取值范圍是

．參考答案：略15.當x滿足條件時，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．參考答案：略16.三個數(shù)的最大公約數(shù)是_________________。參考答案：2417.在數(shù)列{

}中，

=1，

(n∈N*)，則等于

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知△OBC中，點A是線段BC的中點，點D是線段OB的一個靠近O的三等分點，設=，=（1）用向量與表示向量；（2）若點E是線段OA靠近A的三等分點，證明平行于．參考答案：【考點】96：平行向量與共線向量．【分析】（1）根據(jù)向量的三角形法則即可求出，（2）根向量的三角形法則和向量的數(shù)乘運算可得=，問題得以證明【解答】解：（1）=（+）=+，（2）證明：∵點D是線段OB的一個靠近B的三等分點，點E是線段OA靠近A的三等分點，∴==，==（+）=+，∴=﹣=﹣+，∵=﹣=﹣，∴=，∴平行于．19.探究函數(shù)的最小值，并確定取得最小值時x的值.列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.554.174.054.00544.0054.024.044.354.87.57…請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題.函數(shù)在區(qū)間（0，2）上遞減；函數(shù)在區(qū)間

上遞增.當 時，

.證明：函數(shù)在區(qū)間（0，2）遞減.思考:函數(shù)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）參考答案：解析:；當………………4分證明：設是區(qū)間，（0，2）上的任意兩個數(shù)，且

又函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù).……12分思考：…………14分20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為3．（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C上是否存在點P，使得過點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）所求橢圓方程為．（2）橢圓C上存在四個點分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直.【分析】(1)利用橢圓的性質(zhì)可求解出a、b；（2）先假設存在點P,過點P引圓O的切線,連接OA,OB,則四邊形PAOB是邊長為b的正方形，點P是以O為圓心,為半徑的圓與橢圓C的交點，構造方程組即可解得P的坐標.【詳解】(1)

,(2)假設存在點P,過點P引圓O的切線,連接OA,OB,則四邊形PAOB是邊長為b的正方形,點P為以O為圓心,為半徑的圓與橢圓C的交點.即解得所以點P的坐標是

【點睛】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題，屬于難題，解決第二問的關鍵是根據(jù)已知條件分析出四邊形PAOB是邊長為b的正方形,得到點P是以O為圓心,為半徑的圓與橢圓C的交點.21.已知數(shù)列{an}滿足：，，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）記（），用數(shù)學歸納法證明：，參考答案：（1）證明見解析，；（2）見解析【分析】（1）定義法證明：；（2）采用數(shù)學歸納法直接證明（注意步驟）.【詳解】由可知：，則有，即，所以為等差數(shù)列，且首相為，公差，所以