復(fù)數(shù)講義絕對(duì)經(jīng)典

復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位i:（1）它的平方等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立．（3）i與－1的關(guān)系:i就是SKIPIF1<0的一個(gè)平方根，即方程SKIPIF1<0的一個(gè)根，方程SKIPIF1<0的另一個(gè)根是-i．（4）i的周期性：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)SKIPIF1<0復(fù)數(shù)的定義：形如SKIPIF1<0的數(shù)叫復(fù)數(shù)，SKIPIF1<0叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，SKIPIF1<0叫復(fù)數(shù)的虛部．全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母SKIPIF1<0表示復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:通常用字母SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0，把復(fù)數(shù)表示成SKIPIF1<0的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及SKIPIF1<0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0是實(shí)數(shù)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0叫做虛數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0就是實(shí)數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：SKIPIF1<0兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．這就是說(shuō)，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)SKIPIF1<0與有序?qū)崝?shù)對(duì)SKIPIF1<0是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)是SKIPIF1<0，縱坐標(biāo)是SKIPIF1<0，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0可用點(diǎn)SKIPIF1<0表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，SKIPIF1<0軸叫做實(shí)軸，SKIPIF1<0軸叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．．對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為SKIPIF1<0，它所確定的復(fù)數(shù)是SKIPIF1<0表示是實(shí)數(shù)．除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)SKIPIF1<0這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義．也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法．三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的和的定義：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0復(fù)數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的差的定義：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:SKIPIF1<0復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:SKIPIF1<0乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積SKIPIF1<0其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把SKIPIF1<0換成SKIPIF1<0，并且把實(shí)部與虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．乘法運(yùn)算律：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0復(fù)數(shù)除法定義：滿足SKIPIF1<0的復(fù)數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0、SKIPIF1<0)叫復(fù)數(shù)SKIPIF1<0除以復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的商，記為：SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0除法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0、SKIPIF1<0)，除以SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，其商為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0)，即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由復(fù)數(shù)相等定義可知SKIPIF1<0解這個(gè)方程組，得SKIPIF1<0于是有:SKIPIF1<0SKIPIF1<0②利用SKIPIF1<0于是將SKIPIF1<0的分母有理化得：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∴(SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)評(píng):①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)SKIPIF1<0與復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的SKIPIF1<0的對(duì)偶式SKIPIF1<0，它們之積為SKIPIF1<0是有理數(shù)，而SKIPIF1<0是正實(shí)數(shù)．所以可以分母實(shí)數(shù)化．把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法．共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于SKIPIF1<0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．

例題精講例題精講復(fù)數(shù)的概念已知SKIPIF1<0為虛數(shù)單位），那么實(shí)數(shù)a，b的值分別為（）A．2，5B．-3，1C．-1．1D．2，SKIPIF1<0【答案】D計(jì)算：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示虛數(shù)單位）【答案】SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），故SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列命題中一定正確的是（）A．SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限B．SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)SKIPIF1<0在第四象限C．SKIPIF1<0不是純虛數(shù)D．SKIPIF1<0是虛數(shù)【答案】DSKIPIF1<0．在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；②若SKIPIF1<0是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0是純虛數(shù)；⑤SKIPIF1<0的一個(gè)充要條件是SKIPIF1<0．⑥SKIPIF1<0的充要條件是SKIPIF1<0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，①錯(cuò)；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，②錯(cuò)；SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)時(shí)，也有SKIPIF1<0，③錯(cuò)；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，④錯(cuò)；⑤⑥正確．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A由已知SKIPIF1<0在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)如果在第一象限，則SKIPIF1<0，而此不等式組無(wú)解．即在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限．若SKIPIF1<0，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．如果復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值是（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的集合是SKIPIF1<0軸上以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為端點(diǎn)的線段．SKIPIF1<0表示線段SKIPIF1<0上的點(diǎn)到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離．此距離的最小值為點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離，其距離為SKIPIF1<0．滿足SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的集合是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D復(fù)數(shù)SKIPIF1<0表示的點(diǎn)在單位圓與直線SKIPIF1<0上（SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0的距離相等，故軌跡為直線SKIPIF1<0），故選D．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的模為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上，SKIPIF1<0表示圓上的點(diǎn)SKIPIF1<0與原點(diǎn)連線的斜率．如圖，由平面幾何知識(shí)，易知SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足條件：SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】AA；設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，故為圓．【點(diǎn)評(píng)】①SKIPIF1<0的幾何意義為點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離；②SKIPIF1<0中SKIPIF1<0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以復(fù)數(shù)SKIPIF1<0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓上的點(diǎn)．復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鄰邊的平行四邊形為矩形，SKIPIF1<0，故可設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．也可設(shè)SKIPIF1<0，則由向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0垂直知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0；4．設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鄰邊的平行四邊形是菱形，記SKIPIF1<0所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0（可由余弦定理得到），故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值與最小值．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】BSKIPIF1<0．計(jì)算：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0原式SKIPIF1<0．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】ASKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0．對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，定義集合SKIPIF1<0．（１）設(shè)SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的一個(gè)根，試用列舉法表示集合SKIPIF1<0．若在SKIPIF1<0中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率SKIPIF1<0；（2）若集合SKIPIF1<0中只有SKIPIF1<0個(gè)元素，試寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)SKIPIF1<0值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．（1）∵SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，不論SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．（2）取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0及SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0或取SKIPIF1<0．（說(shuō)明：只需寫(xiě)出一個(gè)正確答案）．解關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．錯(cuò)解：由復(fù)數(shù)相等的定義得SKIPIF1<0．分析：“SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成立”的前提條件是SKIPIF1<0，但本題并未告訴SKIPIF1<0是否為實(shí)數(shù)．法一：原方程變形為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由一元二次方程求根公式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0原方程的解為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．法二：設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，代入①中解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故方程的根為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立，試求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立．當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．綜上，SKIPIF1<0．關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】SKIPIF1<0誤：SKIPIF1<0方程有實(shí)根，SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．析：判別式只能用來(lái)判定實(shí)系數(shù)一元二次方程SKIPIF1<0根的情況，而該方程中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0并非實(shí)數(shù)．正：設(shè)SKIPIF1<0是其實(shí)根，代入原方程變形為SKIPIF1<0，由復(fù)數(shù)相等的定義，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．設(shè)方程SKIPIF1<0的根分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為虛數(shù)，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共軛，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．綜上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．用數(shù)學(xué)歸納法證明：SKIPIF1<0．并證明SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．SKIPIF1<0時(shí)，結(jié)論顯然成立；若對(duì)SKIPIF1<0時(shí)，有結(jié)論成立，即SKIPIF1<0，則對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由歸納假設(shè)知，上式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，從而知對(duì)SKIPIF1<0，命題成立．綜上知，對(duì)任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．易直接推導(dǎo)知：SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的解，求證：SKIPIF1<0．將解代入原方程得：SKIPIF1<0，將此式兩邊同除以SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由復(fù)數(shù)相等的定義得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=________．【答案】4由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0是純虛數(shù)，求SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡．【答案】以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，并去掉點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0．法一：設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0是純虛數(shù)，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，并去掉點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0．法二：∵SKIPIF1<0是純虛數(shù)，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）∴SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，并去掉點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0．設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最值．由題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0又知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由復(fù)數(shù)相等定義得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)的共軛與模長(zhǎng)的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)：①設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的共軛復(fù)數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0為純虛數(shù)SKIPIF1<0；④對(duì)任意復(fù)數(shù)有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，特別地有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．⑤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以上性質(zhì)都可以通過(guò)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的具體計(jì)算進(jìn)行證明．已知虛數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個(gè)立方根，即滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，證明SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的值．【答案】0；SKIPIF1<0法一：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．由題意知SKIPIF1<0，證明與計(jì)算略；法二：由題意知SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0．又實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)出現(xiàn)，故SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0．由韋達(dá)定理有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．【點(diǎn)評(píng)】利用SKIPIF1<0的性質(zhì)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以快速計(jì)算一 些SKIPIF1<0相關(guān)的復(fù)數(shù)的冪的問(wèn)題．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0是虛數(shù)，SKIPIF1<0是實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值及SKIPIF1<0的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0為純虛數(shù)；（3）求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的實(shí)部的取值范圍是SKIPIF1<0；（3）1．（1）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的實(shí)部的取值范圍是SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為純虛數(shù)．（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，定義集合SKIPIF1<0．（1）設(shè)SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的一個(gè)根，試用列舉法表示集合SKIPIF1<0；（2）設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）略（1）∵SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．于是對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0是正奇數(shù)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0均為實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）試求SKIPIF1<0的值，并分別寫(xiě)出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示的關(guān)系式；（2）將SKIPIF1<0作為點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，SKIPIF1<0作為點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)SKIPIF1<0變到這一平面上的點(diǎn)SKIPIF1<0．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)SKIPIF1<0經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上?若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說(shuō)明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）這樣的直線存在，其方程為SKIPIF1<0