二次根式的化簡求值含答案

學(xué)習(xí)必備——歡迎+載第八講二次根式的化簡求值用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式，有理式和無理式統(tǒng)稱代數(shù)式，整式和分式統(tǒng)稱有理式.有條件的二次根式的化簡求值問題是代數(shù)式的化簡求值的重點與難點.這類問題包容了有理式的眾多知識，又涉及最簡根式、同類根式、有理化等二次根式的重要概念，同時聯(lián)系著整體代入、分解變形、構(gòu)造關(guān)系式等重要的技巧與方法，解題的關(guān)鍵是，有時需把已知條件化簡，或把已知條件變形，有時需把待求式化簡或變形，有時需把已知條件和待求式同時變形.例題求解!?【例1】已知Y：X+4=2，那么、:一x一-一x一的值等于.vx x2+3x+1xx2+9x+1（20XX年河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽題）思路點撥通過平方或分式性質(zhì)，把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用x+1的代數(shù)式表x示．【例2】滿足等式V+y/x-%：2003x-工：2003y+%：2003xy=2003的正整數(shù)對（x,y）的個數(shù)是（）A.1B.2 C.3D.4（20XX年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）思路點撥對條件等式作類似于因式分解的變形，將問題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解．【例3】已知a、b是實數(shù)，且（\：1+/+a）（V1+b2+b）=1,問a、b之間有怎樣的關(guān)系?請推導(dǎo).（第20后俄羅斯數(shù)學(xué)臭林匹克競賽題改編）思路點撥由特殊探求一般，在證明一般性的過程中，由因?qū)Ч?，從化簡條件等式入手，而化簡的基本方法是有理化.【例4】已知：G=va+工（0<a<1）,求代數(shù)式x2+x-6+上3--x-2+vx2Z4x的值.'Ja x x2-2xx-2-Kx2-4（2002半四川省中考題）思路點撥視x-2,x2-4x為整體，把G=工+=平方，移項用含a代數(shù)式表示x-2,x2-4x，注意0<a1的制約.【例5】（1）設(shè)a、b、c、d為正實數(shù)，a<b,c<d,bc>ad,有一個三角形的三邊長分別為aa2+c2,bb2+d2,（bb-a）2+（d-c）2，求此三角形的面積；（第12屆“五羊杯”競賽題）（2）已知a,b均為正數(shù)，且a+b=2,求U=、"+4+bb^H的最小值.學(xué)習(xí)必備——歡迎+載（20XX年北京市競賽題）思路點撥（1）顯然不能用面積公式求三角形面積（為什么?），va2+c2的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的斜邊，從構(gòu)造圖形人手，將復(fù)雜的根式計算轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決；（2）用代數(shù)的方法求U的最小值較繁，運用對稱分析，借助圖形求U的最小值.學(xué)歷訓(xùn)練.已知％)皂+2,y二注二2，那么代數(shù)式E+(x+y尸值為.v3―、-2 v3+72 xxy-(x+y)2.若a+—=4(0<a<1),貝Uaa--==.a aa.已知立3= )_ ，則±3-(--x-2)的值.(20XX年武漢市中考題)TOC\o"1-5"\h\zx+2 \-13+v2+1 2x—4 x—2.已知a是4-v3的小數(shù)部分，那么代數(shù)式(a2+a-2+ ).(a--)的值為.a2+4a+4a2+2a a(20XX年黃石市中考題).若x=v3+1,則Ux3-(2+<3)x2+(1+2<3)x-<3+5的值是( )A.2B.4C.6D.8 (20XX年河南省競賽題).已知實數(shù)a滿足|2000-a|+a--2001=a，那么a-20002的值是( )A.1999B.2000C.2001 D.2002.設(shè)a=v；W03+J礪，a=^；1O01+v999 ,c=2V1000，則| a、b、c之間的大小關(guān)系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b.設(shè)&=1-Y,a，則血x+x2的值為()aaA.a-1B.--aC.a+1 D.不能確定TOC\o"1-5"\h\za a a.若a>0,b>0,且aa(、.:a+<b)=3y：b(、a+5、.:b)，求2a+魴+：_a的值.a-b+-abb.已知1-J(x-1)2=x，化簡］x2+-—x+,\x2+—+x.1 4 1 4.已知x=1+%；3，那么—+— —= .x+2x2—4x—2(20XX年“信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽題).已知v—+4+a--1=5，則，\；6-2a=..已知4=+工；(12-x)2+9的最小值為二 .(“希望杯”邀請賽試題).已矢口(x+4x2+2002)(y+,：y2+2002)=2002，貝Ux2-3xy-4y2-6x-6y+58=.學(xué)習(xí)必備——歡迎+載（第17屆江蘇省競賽題）.1+a2如果a+b=V$2002+2,a—b=442002—2,b3+c3=b3—c3，那么a3b3—c3的值為（） （20XX年武漢市選拔賽試題）A.2002<2002 B.2001C.1D.0.已知a=v2-1,b=2<2一',6,c=、；6一2，那么a、b、c的大小關(guān)系是（ ）A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<ac<a<b（20XX年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）.當％=1+”2002時，代數(shù)式（4x3-2005%-2001）2003的值是（）2A.0B.—1C.1 D.—22003 （20XX年紹興市競賽題）.設(shè)a、b、c為有理數(shù)，且等式a+b五+cv'3=v5+2v6成立，則2a+999b+1001c的值是（ ）A.1999B.2000 C.2001 D.不能確定（20XX年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.某船在點O處測得一小島上的電視塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到達B處，測得電視塔在船的西北方向，問再向西航行多少海里，船離電視塔最近？.已知實數(shù)a、b滿足條件a-b|=-<1，化簡代數(shù)式（工-M-（a-b-1）2，將結(jié)果表示成a ab不含b的形式.學(xué)習(xí)必備——歡迎+載21.已知21.已知x=1+a2a(a>0),化簡：、士7二22.已知自然數(shù)22.已知自然數(shù)x、y、z滿足等式t'x-2、：67y+%，z=0，求x+y+z的值.(加拿大“奧林匹克”競賽題)學(xué)習(xí)必備——歡迎+載學(xué)習(xí)必備——歡迎+載答案：a二次根式的化,求值【例題求解】例1由條件得『+工=2,原式=F--JJU-511例2選B由（，萬一溝通）（4+4+/麗）=0得句一/麗=0,故”=2003,又2003為質(zhì)數(shù)，必有產(chǎn)或『二2003|y=2003ly=l例3“+6=0原等式兩邊分別乘以(，1+J-a)、(-6).得q+，訐/=JG+1—b,b+JFFP"=，訐7-7兩式相加，得。+6=—(。+6).故a+b=0.例47x=a+y+2 (L2)z=(a+f?,得tz-4t=o:-2+-7i/xz-4j=|a---|=-■—aJ原式= 1X.一*"2+''4'=(a+)a+工一(——a)axafJa+工一(——a)axaf(1)如圖1,作長方形ABCD,使AB=b-a.AD=(■，延長DA至E,使DE=d；延長DC至F,使DF=b,連結(jié)EF,FB,則BF="T7,EF=，西凡BE=&-a)2+(d-c)2,從而知^EEF就是題設(shè)的三角形,而S△岬=S長方"d+S4jtf+Smm—S/xmf="-a)c+Jac+J(d—c)0-a)~*4M=4(6c-ad). ,Z4 IZ(2)將h=2-a代人U="T7+ 得U=v/?+2r+依奇7r■，構(gòu)造圖形(如圖2),可得U的最小值為A'B=vWt+BBt=氐.(圖D(圖2)(圖D(圖2)學(xué)習(xí)必備——歡迎+載學(xué)習(xí)必備——歡迎+載101【學(xué)力訓(xùn)練】101"一々二索=陰+々+1,則祟-1=遍+々,一+=4+&,原式=一擊=率一遍5.D6.C注意a22001 7.A把a、b、c分別平方 8.B9.由條件得a—2~156=0,即（?—5后）（后+34）=0,因a>0,6>0,故只有石一54=0,得a=256,則原式=2X256+36則原式=2X256+36+，^戶_586_。=痂=2.256—6+4^(2)當a、6同為(2)當a、6同為負數(shù)時，由=VI,得6>a（a+1）a+1一|a-1a+l+|a-1|,10.由絕對值的意義,得工》0,當04ZW1時，|1一?（工-1）2=|1—（1一外|=工；當工>1時，|1一/（7-1）2|=|1-（T一1）=|2一川Wz,則04了41原式=|才一~^-|+|jr+-|-|=x+y+|x-y|=< H.-y一 2W」VW1）\ ￡i將已知式左邊分子有理化，得，a+4—，a—1=1,兩式相加得4?+4=3,。=5,原式==\/6-2居'=居'—1參見例5. 14.丁+?=0,原式=Q+y)(i—4y)—6(工+))不58=58由(a+A)2-(a—6)z=4a心得必=1,又若出+FV0,得4=0矛盾，必有a—6="—1—&^\/312々一1—々=0,同理c—a>0,故6Va<c.由條件得2x-l=溝訪，兩邊平方得4/-4h=2001.5+2〃=(而+々產(chǎn)，則a=0,6=l,c=l.如圖,NAOB=30°,/ABC=45",OB=20,過A作AC1OB的延長線于C,設(shè)BC=z,則AC=h,OA27,由勾股定理得AU+BuOAL即V+8=（2］）？，得8=丘,所以n+2