1菱形的性質(zhì)與判定同步練習(xí)（Word版含答案）

菱形的性質(zhì)與判定一、選擇題1、下列說法中不正確的是（）A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對角線垂直的平行四邊形是菱形 C．菱形的對角線互相垂直且相等 D．菱形的鄰邊相等2、如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，∠DHO=20°，則∠CAD的度數(shù)是（）A.20°B.25°C.30°D.40°3、已知菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠BAD＝120°，AC＝4，則該菱形的面積是()A.16 B.16 C.8 D.84、已知?ABCD,給出下列條件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使?ABCD成為菱形的條件是()A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③5、如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD，若測得點(diǎn)A，C之間的距離為6cm，點(diǎn)B，D之間的距離為8cm，則線段AB的長為（）A．5cm B． C． D．4cm6、如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)（與B，C兩點(diǎn)不重合），過點(diǎn)D作DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列條件能判定四邊形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD為BC邊上的中線 C．AD＝BD D．AD平分∠BAC7、如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD、BD，則下列結(jié)論：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.38、如圖平行四邊形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，則∠PEF＝（）A．35° B．45° C．50° D．55°9、如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.410、如圖，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，DE交AB于G點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）個(gè)．①EF⊥AC；②四邊形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11、如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長是()A．20B．24C．40D．4812、如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=6，則菱形ABCD的高DH=．13、如圖，直線l是四邊形ABCD的對稱軸，若AD＝CB，下面四個(gè)結(jié)論中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正確的結(jié)論的序號(hào)是．14、如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是．15、如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，EF，AF，則△AEF的周長為________16、如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC邊上的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，則CF的長為．17、如圖所示，菱形ABCD，在邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)E，過菱形對角線交點(diǎn)O作射線EO與CD邊交于點(diǎn)F，線段EF的垂直平分線分別交BC、AD邊于點(diǎn)G、H，得到四邊形EGFH，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，有如下結(jié)論：①可以得到無數(shù)個(gè)平行四邊形EGFH；②可以得到無數(shù)個(gè)矩形EGFH；③可以得到無數(shù)個(gè)菱形EGFH；④至少得到一個(gè)正方形EGFH．所有正確結(jié)論的序號(hào)是．18、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分線交AC于D．過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，交BD于G，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，過點(diǎn)G作GH∥BC，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四邊形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正確的結(jié)論是．三、解答題19、如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且DE＝BF，AC⊥EF．（1）求證：四邊形AECF是菱形．（2）若AB＝6，BC＝10，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，求四邊形AECF的面積．20、如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE∥AC且DE=AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點(diǎn)F．（1）求證：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°．求AE的長．21、已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P（A點(diǎn)除外），過P點(diǎn)作EF∥AB，分別交AC，BC于E，F(xiàn)點(diǎn)，作PM∥AC，交AB于M點(diǎn)，連結(jié)ME．（1）求證：四邊形AEPM為菱形；（2）當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？22、如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的長．23、如圖，已知在△ADE中，∠ADE＝90°，點(diǎn)B是AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DC∥AE，DC＝AB，連結(jié)BD、CE．（1）求證：四邊形BDCE是菱形；（2）若AD＝8，BD＝6，求菱形BDCE的面積．24、在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC延長線于點(diǎn)E，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與△CDE面積相等的三角形（△CDE除外）25、如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．26、如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG，如圖1所示．（1）證明平行四邊形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，連結(jié)BG、CG、DG，如圖2所示，①求證：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中點(diǎn)，如圖3所示，求DM的長．（答案）一、選擇題1、下列說法中不正確的是（）A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對角線垂直的平行四邊形是菱形 C．菱形的對角線互相垂直且相等 D．菱形的鄰邊相等【解析】解：A．四邊相等的四邊形是菱形；正確；B．對角線垂直的平行四邊形是菱形；正確；C．菱形的對角線互相垂直且相等；不正確；D．菱形的鄰邊相等；正確；故選：C．2、如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，∠DHO=20°，則∠CAD的度數(shù)是（）A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】試題解析：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=BD，∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故選A.3、已知菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠BAD＝120°，AC＝4，則該菱形的面積是()A.16 B.16 C.8 D.8【詳解】在菱形ABCD中，有AB=AC∵∠BAD＝120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形,即AB=AC=BC=4作AE⊥BC于點(diǎn)E,∴BE=2，AE=∴S菱形ABCD=BC·AE=4×=故選C4、已知?ABCD,給出下列條件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使?ABCD成為菱形的條件是()A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③試題解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，①若AC=BD，可得四邊形ABCD是矩形，故①錯(cuò)誤，②中∠BAD=90°，得到一矩形，不是菱形，所以②錯(cuò)誤，③中一組鄰邊相等，也可得到一菱形，所以③成立，④若AC⊥BD，則可得其為菱形，④成立，故選C．5、如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD，若測得點(diǎn)A，C之間的距離為6cm，點(diǎn)B，D之間的距離為8cm，則線段AB的長為（）A．5cm B． C． D．4cm【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，連接AC、BD交于點(diǎn)O．由題意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩個(gè)矩形等寬，∴AR＝AS，∵AR?BC＝AS?CD，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，故選：A．6、如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)（與B，C兩點(diǎn)不重合），過點(diǎn)D作DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列條件能判定四邊形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD為BC邊上的中線 C．AD＝BD D．AD平分∠BAC【解析】解：添加AD平分∠BAC可判定四邊形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四邊形AEDF是菱形，故選：D．7、如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD、BD，則下列結(jié)論：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【詳解】∵由已知和平移的性質(zhì)，△ABC、△DCE都是是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD,∴∠ACD=180°－∠ACB－∠DCE=60°.∴△ACD是等邊三角形.∴AD=AC=BC.故①正確；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴BD、AC互相平分，故②正確.由①可得AD=AC=CE=DE，故四邊形ACED是菱形，即③正確.綜上可得①②③正確，共3個(gè).故選D8、如圖平行四邊形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，則∠PEF＝（）A．35° B．45° C．50° D．55°【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，AD＝DC，∴四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故選：A．9、如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4試題分析：作F點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)F′，則PF=PF′，連接EF′交BD于點(diǎn)P．∴EP+FP=EP+F′P．由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)E、P、F′在一條直線上時(shí)，EP+FP的值最小，此時(shí)EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四邊形ABCD為菱形，周長為12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四邊形AEF′D是平行四邊形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值為3．故選C．10、如圖，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，DE交AB于G點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）個(gè)．①EF⊥AC；②四邊形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①如圖，連接CF，∵∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，∴CFAB＝AF，∴點(diǎn)F在AC的垂直平分線上，∵△ACE是等邊三角形，∴AE＝CE，∴點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，∴EF⊥AC，①正確；②∵△ABD是等邊三角形，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，∴DF⊥AB，∴AD＞DF，∴四邊形ADFE不可能是菱形，②不正確；③∵△ABD是等邊三角形，∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，∴EF∥AD，∴AD∥EF，∵△ACE是等邊三角形，EF⊥AC，∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，∴EF＝2AF＝AB，∴AD＝EF，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴AG=AF=AB=AD，∴AD＝4AG，③正確；④∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴AE＝DF，AD＝FE，∵AD＝BD，∴BD＝FE，又∵AF＝FB，∴△DBF≌△EFA（SSS），④正確；正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：C．二、填空題11、如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長是()A．20B．24C．40D．48[解析]由菱形對角線性質(zhì)知，AO＝eq\f(1,2)AC＝3，BO＝eq\f(1,2)BD＝4，且AO⊥BO，則AB＝eq\r(AO2＋BO2)＝5，故這個(gè)菱形的周長＝4AB＝20.12、如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=6，則菱形ABCD的高DH=．試題分析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面積=AC?BD=AB?DH，即×6×8=5?DH，解得DH=．13、如圖，直線l是四邊形ABCD的對稱軸，若AD＝CB，下面四個(gè)結(jié)論中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正確的結(jié)論的序號(hào)是．【解答】解：∵直線l是四邊形ABCD的對稱軸，∴AD＝AB，CD＝CB，∵AD＝BC，∴AD＝CD＝AB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形，∴①AD∥CB，正確；②AC⊥BD，正確；③AO＝OC，正確；④AB不一定垂直于BC，錯(cuò)誤．故正確的是①②③．故答案為：①②③．14、如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是．解：條件是AD＝BC．∵EH、GF分別是△ABC、△BCD的中位線，∴EH∥＝BC，GF∥＝BC，∴EH∥＝GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．要使四邊形EFGH是菱形，則要使AD＝BC，這樣，GH＝AD，∴GH＝GF，∴四邊形EFGH是菱形．15、如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，EF，AF，則△AEF的周長為________[解析]由“邊角邊”可證明△ABE≌△ADF，則AE＝AF，故△AEF為等腰三角形．根據(jù)菱形的性質(zhì)與∠B＝60°，AB＝2cm，可得∠BAE＝∠DAF＝30°，所以∠EAF＝60°，AE＝eq\r(3)cm，所以△AEF為等邊三角形且邊長為eq\r(3)cm，所以其周長為3eq\r(3)cm.16、如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC邊上的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，則CF的長為．【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴BD＝DF=AC，∴四邊形BGFD是菱形，∴GF＝BG＝5，則AF＝13﹣5＝8，AC＝2×5＝10，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即82+CF2＝102，解得：CF＝6．故答案是：6．17、如圖所示，菱形ABCD，在邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)E，過菱形對角線交點(diǎn)O作射線EO與CD邊交于點(diǎn)F，線段EF的垂直平分線分別交BC、AD邊于點(diǎn)G、H，得到四邊形EGFH，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，有如下結(jié)論：①可以得到無數(shù)個(gè)平行四邊形EGFH；②可以得到無數(shù)個(gè)矩形EGFH；③可以得到無數(shù)個(gè)菱形EGFH；④至少得到一個(gè)正方形EGFH．所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵線段EF的垂直平分線分別交BC、AD邊于點(diǎn)G、H，∴GH過點(diǎn)O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∵EF⊥GH，∴四邊形EGFH是菱形，∵點(diǎn)E是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴隨著點(diǎn)E的移動(dòng)可以得到無數(shù)個(gè)平行四邊形EGFH，隨著點(diǎn)E的移動(dòng)可以得到無數(shù)個(gè)菱形EGFH，故①③正確；若四邊形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四邊形EGFH是正方形，∵點(diǎn)E是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴至少得到一個(gè)正方形EGFH，故④正確，故答案為：①③④．18、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分線交AC于D．過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，交BD于G，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，過點(diǎn)G作GH∥BC，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四邊形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正確的結(jié)論是．【解答】解：①∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∵AE⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠C，①正確；②作AM∥BD交CB的延長線于M，如圖所示：則∠M＝∠CBD，∠BAM＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠M＝∠BAM，∴AB＝BM，∵AM∥BD，∴AG：GE＝BM：BE，∴AG：GE＝AB：BE，∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE，∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正確；④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE，∠ADG＝∠CBD+∠C，∠BAE＝∠C，∠CBD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠ADG，∴AG＝AD，∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，∴AD＝DF，∴AG＝DF，∵AE⊥BC，∴AG∥DF，∴四邊形AGFD是平行四邊形，又∵AG＝AD，∴四邊形AGFD是菱形；④正確；⑤∵四邊形AGFD是菱形；∴∠AGD＝∠FGD，GF＝DF，∠ADB＝∠FDB，∴∠AGB＝∠FGB，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG（AAS），∴∠BAE＝∠BFG，∵∠BAE＝∠C，∴∠BFG＝∠C，∴GF∥CH，∵GH∥BC，∴四邊形GFCH是平行四邊形，∴GF＝CH，∴CH＝DF，⑤正確；③∵∠ADF＝2∠ADB，當(dāng)∠C＝30°，∠CDF＝60°，則∠ADF＝120°，∴∠ADF＝2∠CDF；③不正確；故答案為：①②④⑤．三、解答題19、如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且DE＝BF，AC⊥EF．（1）求證：四邊形AECF是菱形．（2）若AB＝6，BC＝10，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，求四邊形AECF的面積．【解答】證明：（1）如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝BC，且AD∥BC，DE＝BF，∴AE＝CF，且AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AECF為菱形；（2）∵四邊形AECF是菱形，∴AO＝CO，∵F為BC中點(diǎn)，∴FO∥AB，F(xiàn)OAB＝3，∴∠BAC＝∠FOC＝90°，EF＝6，∵AB＝6，BC＝10，∴AC＝8，∴S菱形AECF＝24．20、如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE∥AC且DE=AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點(diǎn)F．（1）求證：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°．求AE的長．【解析】（1）證明：在菱形ABCD中，OCAC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵AC⊥BD，∴平行四邊形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD．在Rt△ACE中，AE．21、已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P（A點(diǎn)除外），過P點(diǎn)作EF∥AB，分別交AC，BC于E，F(xiàn)點(diǎn)，作PM∥AC，交AB于M點(diǎn)，連結(jié)ME．（1）求證：四邊形AEPM為菱形；（2）當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？（1）證明：因?yàn)镋F∥AB，PM∥AC，所以四邊形AEPM為平行四邊形． 因?yàn)锳B＝AC，AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠BAD，所以AD⊥BC因?yàn)椤螧AD＝∠EPA，所以∠CAD＝∠EPA， 因?yàn)镋A＝EP，所以四邊形AEPM為菱形．（2）解：P為EF中點(diǎn)時(shí)，．∵四邊形AEPM為菱形，∴AD⊥EM，∵AD⊥BC，∴EM∥BC，又EF∥AB，∴四邊形EFBM為平行四邊形．作EN⊥AB于N，則22、如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的長．【答案】（1）證明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，∴AE＝CE＝BC，∴四邊形AECD是菱形；（2）解：過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵S△ABC＝BC?AH＝AB?AC，∴AH＝＝＝，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC＝5，四邊形AECD是菱形，∴CD＝CE＝，∵S?AECD＝CE?AH＝CD?EF，∴EF＝AH＝．23、如圖，已知在△ADE中，∠ADE＝90°，點(diǎn)B是AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DC∥AE，DC＝AB，連結(jié)BD、CE．（1）求證：四邊形BDCE是菱形；（2）若AD＝8，BD＝6，求菱形BDCE的面積．【解答】（1）證明：在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，AB＝BE，∴DBAB＝AB＝BE，∵DC∥BE，DC＝AB＝BE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵BD＝BE，∴四邊形BECD是菱形．（2）解：連接BC交DE于O．∵四邊形DBEC是菱形，∴BC⊥DE，∴BO∥AD，∵AB＝BE，∴DO＝OE，∴OBAD＝4，OD2，∴BC＝8，DE＝4，∴S菱形BDCE?BC?DE＝16．24、在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC延長線于點(diǎn)E，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與△CDE面積相等的三角形（△CDE除外）【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O，又∵AC平分∠BAD，∴BO＝DO，AC⊥BD，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴BC＝AD＝CE，∴圖中所有與△CDE面積相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．25、如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．解：（1）證明：當(dāng)∠AOF＝90°時(shí)，AB∥EF，又∵AF∥BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形．（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE．∴△AOF≌△COE．∴AF＝EC（3）四邊形BEDF可以是菱形．理由：如圖，連接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF與BD互相平分．∴當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形．在Rt△ABC