固體力學(xué)的發(fā)展

固體力學(xué)的發(fā)展第一頁，共七十九頁，2022年，8月28日太宗謂蕭瑀曰：“朕少好弓矢，自謂能盡其妙。近得良弓十?dāng)?shù)，以示弓工，乃曰：'非良材也。'朕問其故。工曰：'木心不正，脈理皆邪，弓雖剛勁而遺箭不直，非良弓也。'朕始悟焉。朕以弧矢定四方，使弓多矣。有天下之日，淺得為治之意，故未及于弓。弓猶失之，何況于治乎?。俊?/p>

百官志[1]

[1]

轉(zhuǎn)引自《淵鑒類函》，北京中國書店，1986年，卷225，第6頁第二頁，共七十九頁，2022年，8月28日固體力學(xué)的發(fā)展是從彈性力學(xué)開始的，早期的研究是對于工程中常見的梁或桿件的變形規(guī)律的研究。到了19世紀(jì)初，從納維與柯西開始，人們才從一般觀點(diǎn)來研究彈性體的變形。推動人們研究這類問題的動力來自兩方面，一方面是工程的推動，建設(shè)橋梁道路、造船、軍械制造，迫切需要了解固體的變形與破壞的機(jī)理；另一方面是對于光波傳播機(jī)理的探討要求了解彈性波的傳播理論。

第三頁，共七十九頁，2022年，8月28日§1彈性線的研究

1．1歐拉關(guān)于彈性線的理論

1．2基爾霍夫的研究結(jié)果

第四頁，共七十九頁，2022年，8月28日1．1歐拉關(guān)于彈性線的理論在第三章，我們曾經(jīng)介紹過伽利略與伯努利關(guān)于梁的研究，他們的主要興趣在于討論梁的強(qiáng)度。歐拉與他們不同，對彈性線的興趣主要在于研究變形，歐拉不是像前人一樣從工程應(yīng)用的角度探討，而是從數(shù)學(xué)家的興趣出發(fā)研究。他利用了伯努利的結(jié)果：在每一點(diǎn)，桿軸的撓曲率與這一點(diǎn)彎矩成正比例。不過他的推導(dǎo)并不與伯努利相同，他采用了變分法。他在1744年的論文《曲線的變分法》中得到的結(jié)論是：“如果這根板條是等截面和富于彈性的，而且在自然狀態(tài)下是伸直的，那么撓曲線必然可以由使積分取極小來得到?！?/p>

第五頁，共七十九頁，2022年，8月28日歐拉利用這一原理并且采用變分法推導(dǎo)出受橫向力的懸臂桿撓度y滿足的方程是

式中C為常數(shù)，P為懸臂桿端的橫向力，為桿長。在考慮撓度很小時(shí)，可以略去，這時(shí)歐拉可以將這個(gè)方程積分并且給出

此處f為懸臂端的撓度，若與2相比舍棄3f，則可得。

第六頁，共七十九頁，2022年，8月28日歐拉對C沒有討論，只是說：“它與材料有關(guān)，在矩形截面的條件下，與寬度成正比與高的平方成正比?！边@里歐拉關(guān)于C與高的平方成正比的結(jié)論是不對的。他建議根據(jù)上面的公式由實(shí)驗(yàn)來定C。在歐拉之前，伯努利（1654－1705）在1705年也討論過常數(shù)C，他的結(jié)論是

m為常數(shù)，也是不正確的，但與高的三次方成比例是正確的。所以現(xiàn)今認(rèn)為梁的理論是伯努利首先建立的。

第七頁，共七十九頁，2022年，8月28日直到1826年納維（Navier）在他的《材料力學(xué)》中才解決了這個(gè)問題，將撓曲線方程定為

,I為截面的轉(zhuǎn)動慣量，為撓曲線的曲率半徑。歐拉討論了當(dāng)P作用與梁軸呈一角度的情形。但角度極小時(shí)得到了他說：“除非，絕不用擔(dān)心彎曲會發(fā)生，反之，若P大于此值則柱子就不能抵抗彎曲?！边@就是由歐拉引入的臨界載荷的概念。現(xiàn)今也稱為歐拉載荷。1757年，歐拉出版了《關(guān)于柱的承載力》，詳細(xì)討論了這一問題，并用簡化方程來求解這一問題。第八頁，共七十九頁，2022年，8月28日歐拉還討論了大變形問題，變截面梁的問題和具有初始曲率桿的問題等。拉格朗日也研究過桿的軸壓問題，他對于彈性桿研究的結(jié)果記載在他的報(bào)告《柱的形狀》中。他由方程出發(fā)，在鉸支的端部條件下解得臨界載荷為。

他還研究了超過臨界載荷時(shí)所發(fā)生的撓曲，他利用級數(shù)積分得到當(dāng)f=0時(shí)，可得臨界載荷的公式，當(dāng)f很小時(shí)，級數(shù)收斂很快，相應(yīng)的撓度是很容易計(jì)算出來的。

第九頁，共七十九頁，2022年，8月28日1．2基爾霍夫的研究結(jié)果

基爾霍夫（GustavRobertKirchhoff,1824，3，12－1887，10，17）是德國一位律師的兒子，大約是在歐拉之后100年的人物。1842年他進(jìn)入哥尼斯堡大學(xué)，他曾聽過牛曼（L.Neumann）的課并被后者發(fā)現(xiàn)其卓越才能，推薦為最有希望的科學(xué)家。1848年獲博士學(xué)位，1854年在海德堡大學(xué)執(zhí)教。他的主要成就在物理學(xué)方面，他第一個(gè)證明電脈沖是以光速傳播的，最早發(fā)現(xiàn)光譜與化學(xué)元素的關(guān)系，最早提出理想黑體并進(jìn)行了黑體輻射的實(shí)驗(yàn)被后人認(rèn)為對量子力學(xué)產(chǎn)生有很大的影響。第十頁，共七十九頁，2022年，8月28日基爾霍夫在固體力學(xué)中最重要的貢獻(xiàn)是提出了精確的板的理論。他在彈性桿方面發(fā)展了歐拉的工作。他導(dǎo)出了大撓度桿的一般平衡方程。他說：“當(dāng)力作用在桿端時(shí)，這些方程與剛體繞固定點(diǎn)運(yùn)動的方程相同。”這個(gè)看法是基于在變形后桿的每一點(diǎn)，由單位切向量、法向量、次法線所組成的單位三面體，沿曲線弧上運(yùn)動時(shí)，也產(chǎn)生如同剛體繞固定點(diǎn)運(yùn)動的轉(zhuǎn)動。所以他得到的方程為其中A，B為截面的兩個(gè)主彎曲剛度，C為扭轉(zhuǎn)剛度，p,q為曲率沿主方向上的投影，r為撓率。桿上的切力，為分布力矩。這就是所謂基爾霍夫動力學(xué)比擬。最簡單的一個(gè)情形便是單擺與受壓桿在超過臨界變形的情形，二者的積分都是橢圓函數(shù)。第十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日§2彈性理論2．1納維的工作

2．2泊松在彈性理論上的工作2．3柯西在彈性理論上的貢獻(xiàn)

2．4圣維南及其在彈性力學(xué)中的貢獻(xiàn)

2．5樂甫的工作

2．6穆斯海利什維利及其復(fù)變函數(shù)方法

2．7彈性力學(xué)中一些重要問題的求解

第十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日1687年牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》出版標(biāo)志著經(jīng)典力學(xué)的建立。但是過了一百多年，至19世紀(jì)初彈性力學(xué)才誕生。彈性力學(xué)的理論早期構(gòu)架是聯(lián)系于法國橋梁道路學(xué)院的三個(gè)人。即曾在該院求學(xué)的柯西和在那里任教的納維以及納維的學(xué)生圣維南。前兩位是彈性力學(xué)一般理論的奠基人，而后者則提供大量經(jīng)典彈性問題解。到19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，又應(yīng)當(dāng)提到的是另外兩個(gè)人，一位是英國人樂甫，他是總結(jié)到他那時(shí)全部彈性力學(xué)成果的一位大師，并且奠定了薄殼理論的基礎(chǔ)，以及系統(tǒng)將彈性力學(xué)成功地應(yīng)用于地球物理的第一人。另一位是蘇聯(lián)學(xué)者穆斯海利什維利，他終生致力于用復(fù)變函數(shù)求解彈性力學(xué)。以下就是納維、柯西、圣維南、樂甫和穆斯海利什維利工作的介紹。

第十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日2．1納維的工作納維(Navier,claude-Louis-Marie-Henri1785,2,15—1836,8,21)于1807年在橋梁道路學(xué)會支持下整理他外祖父的工程建筑的學(xué)術(shù)手稿。從1819年起，他在橋梁道路學(xué)院講授應(yīng)用力學(xué)，但到1830年才正式被聘任。到1830年，他到巴黎綜合工科學(xué)校去替柯西任微積分和力學(xué)教授。納維于1824年當(dāng)選為法國科學(xué)院院士。

第十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日納維在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)是他作為連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的先驅(qū)者。1821年5月14日他向法國科學(xué)院提交了論文“彈性固體的平衡和運(yùn)動法則的研究報(bào)告”，于同年他還提交了“關(guān)于流體運(yùn)動法則的研究報(bào)告”。這兩篇報(bào)告都是由分子假設(shè)出發(fā)分別導(dǎo)出彈性體和黏性流體的運(yùn)動方程。它們是有關(guān)連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動方程方面開創(chuàng)性的工作。納維還推導(dǎo)了物體表面上單位面積上作用力三個(gè)分量通過位移分量的表達(dá)式。在以上納維的工作中還有含混不清的地方，如他的彈性常數(shù)只有一個(gè)。之后，他在彈性方面的問題由柯西改正而形成嚴(yán)密的彈性力學(xué)理論。第十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日納維繼S.熱爾曼、J.L.拉格朗日、和S.D.泊松之后曾研究過板的彎曲，他導(dǎo)出了板的彎曲方程（只含一個(gè)彈性常數(shù)），并且對于四邊簡支情形給了雙三角級數(shù)解，至今稱為納維解。此外他還研究了受壓板屈曲問題。在工程設(shè)計(jì)中，納維建議采用許用應(yīng)力校核以取代以往的破壞載荷校核。納維還研究了扭轉(zhuǎn)問題，梁的彎曲問題。并且正確提出了解決超靜定問題的位移法。

第十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日總之他在力學(xué)上的貢獻(xiàn)是多方面的。納維長期從事教學(xué)活動，他曾著有《力學(xué)在結(jié)構(gòu)和機(jī)械方面的應(yīng)用》一書，他在世時(shí)出版了兩版。之后他的學(xué)生圣維南擴(kuò)充于1864年出了第三版，新版中圣維南加入了許多注解，使篇幅增為原來的十倍。這本書影響很大。納維在教學(xué)之余，還從事設(shè)計(jì)工作。1830年法國推翻波旁王朝后，納維曾任政府的技術(shù)顧問。他曾就控制道路的運(yùn)輸載重、修路與道路網(wǎng)問題向政府提出過政策報(bào)告。這些報(bào)告表現(xiàn)了他多方面的才能。第十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日2．2泊松在彈性理論上的工作

泊松（SimonDenisPoisson,1781－1840）出生在巴黎附近的一個(gè)貧窮家庭，15歲以前沒有受過正規(guī)教育。1796年被送到舅父家，之后才參加了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。1789年由于他的成績?yōu)槿嗟谝槐惶貏e準(zhǔn)予進(jìn)入巴黎綜合工科學(xué)校學(xué)習(xí)，并且為當(dāng)時(shí)在該校任教的拉格朗日與拉普拉斯所賞識。1800年畢業(yè)任數(shù)學(xué)教師。

第十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日泊松的研究工作主要特點(diǎn)是利用數(shù)學(xué)方法去處理復(fù)雜的力學(xué)與物理問題。他的主要貢獻(xiàn)有：在偏微分方程上求解即位勢函數(shù)及其在引力場與靜電學(xué)的應(yīng)用問題，他提出概率方法的普遍適用性，并得到了泊松分布律，他在分析力學(xué)中引進(jìn)了泊松括號，在彈性力學(xué)中引進(jìn)了泊松比。

第十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日泊松對彈性力學(xué)的興趣是由納維的原始工作引起的。他在1829年他發(fā)表了題為《彈性體平衡和運(yùn)動》的研究報(bào)告，文中也是用分子間相互作用的理論導(dǎo)出彈性體的運(yùn)動方程，并且發(fā)現(xiàn)在彈性介質(zhì)中可以傳播縱波與橫波。他還從理論上推演出各向同性彈性桿在縱向拉伸時(shí)，橫向收縮應(yīng)變與縱向伸長之比是一個(gè)常數(shù)，其值為1/4,但這一值與實(shí)驗(yàn)有差距。1848年，G·維爾泰姆進(jìn)行實(shí)驗(yàn)認(rèn)為是1/3。泊松引進(jìn)的這個(gè)比例常數(shù)后人稱為泊松比。

第二十頁，共七十九頁，2022年，8月28日泊松第一次得到了板的撓曲方程，

其中E為楊氏模量，他取。在求解這個(gè)方程時(shí)他主張附加三個(gè)邊界條件：剪力、扭矩、彎矩。邊界條件的這種提法是不正確的，后來納維給出了正確的邊界條件提法：兩個(gè)條件，并且給出了邊界為簡支時(shí)的解。他求解了許多具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的圓板的振動問題。

第二十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日2．3柯西在彈性理論上的貢獻(xiàn)

柯西(Cauchy,Augustin-Louis，1789，8，21—1857，5，23)出生于巴黎，是六個(gè)孩子中的老大。其父路易—弗朗索瓦(Cauchy,Louis-Fransois)是一名地方官，與當(dāng)時(shí)法國大數(shù)學(xué)家P.S.拉普拉斯(Laplace)和J.L.拉格朗日（Lagrange）交往較多，所以柯西從幼年時(shí)期得以同這兩位數(shù)學(xué)大師接觸。也可能因此他從小就喜愛數(shù)學(xué)。第二十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日1807—1810年，柯西先后在法國巴黎綜合工科學(xué)校和橋梁道路學(xué)院學(xué)習(xí)。1810年初，他任拿破倫港工程的工程師，至年底被授予二級道橋工程師職務(wù)。不過他在工作之余還是沉湎于數(shù)學(xué)愛好。到1812年前后，他向法國科學(xué)院遞交過兩篇論文，并得到A.M.勒讓德(Legendre)的賞識，不久他被吸收為愛好科學(xué)協(xié)會的通信會員。在1815年底，他以關(guān)于無限深流體表面波浪傳播的論文獲科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎。1816年3月他被任命為法蘭西科學(xué)院力學(xué)部院士。同年9月他被聘為法國巴黎綜合工科學(xué)校分析和力學(xué)的正式教授。

第二十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日1830—1837年，柯西在意大利都靈大學(xué)任教授，1837年回到巴黎任巴黎綜合工科學(xué)校教授。，柯西的科學(xué)貢獻(xiàn)是多方面的，他是勤奮多產(chǎn)的，他一生發(fā)表的論文有800多篇，著有7本書。從1826年起，他獨(dú)自編輯發(fā)行了每年12期的數(shù)學(xué)雜志《數(shù)學(xué)演習(xí)》達(dá)十年之久。這本雜志大多登載他的論文。

第二十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日在世人的心目中他是以一位數(shù)學(xué)家的身份而聞名的。他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)，就其最重要者可列舉如下：他是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的大師。在極限和連續(xù)性的表述中開辟了的說法。微積分自17世紀(jì)由牛頓和萊布尼茲發(fā)明后，在理論基礎(chǔ)上一直是模糊不清的，所以爭論了一百多年。柯西的嚴(yán)格化表述最后統(tǒng)一了數(shù)學(xué)界的認(rèn)識。他是復(fù)變函數(shù)理論的奠基人。他引入了復(fù)變函數(shù)的積分，并證明了積分和路徑無關(guān)性，至今被稱為柯西—黎曼條件。他引進(jìn)了無窮函數(shù)積分主值定義以及關(guān)于復(fù)變函數(shù)級數(shù)和殘數(shù)的計(jì)算等等。第二十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日柯西在常微分方程和偏微分方程理論上有很多建樹，至今一類相當(dāng)廣泛的問題被稱為柯西初值問題。柯西在群論方面系統(tǒng)地開始了置換群理論，隨后又發(fā)展為有限群理論。這個(gè)理論后來不僅對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，而且對力學(xué)、量子力學(xué)和化學(xué)等領(lǐng)域也產(chǎn)生了巨大影響。此外，柯西在數(shù)論、微分幾何、數(shù)值分析方面都有重要工作，在光學(xué)和天文學(xué)方面的工作也是值得稱道的。

第二十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日在這里我們要特別強(qiáng)調(diào)的是，柯西可以毫無愧色地被譽(yù)為彈性理論的奠基者。在1821年，法國人L.M.納維(Navier)向科學(xué)院提出了《彈性固體的平衡定理和運(yùn)動法則的研究報(bào)告》，在文中納維成功地用分子模型假設(shè)導(dǎo)出了以位移為未知量的各向同性彈性體平衡方程。不過這個(gè)方程還不能認(rèn)為是最后的，因?yàn)榈谝?，在方程中只包含一個(gè)彈性常數(shù)，第二，在推導(dǎo)中還沒有準(zhǔn)確的應(yīng)力和應(yīng)變的概念。

第二十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日納維的研究引起了柯西的重視，從1922年起他發(fā)表了一系列的論文討論彈性力學(xué)問題，這些論文的主要點(diǎn)是：1．引進(jìn)了應(yīng)變的概念，并建立了應(yīng)變和位移的關(guān)系

他還討論了主應(yīng)變與應(yīng)變二次曲面。2．引進(jìn)了應(yīng)力張量和主應(yīng)力的概念。對各向同性彈性體，他從主應(yīng)變與主應(yīng)力應(yīng)當(dāng)重合，推論在這一情形下彈性常數(shù)應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)。3．討論了應(yīng)變張量與應(yīng)力張量的關(guān)系，后來被稱為廣義胡克定律，他論證了在最一般條件下應(yīng)當(dāng)有36個(gè)彈性常數(shù)。他得到了以位移表示的彈性體平衡方程和邊界條件的提法。他還討論了主應(yīng)變與應(yīng)變二次曲面。

第二十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日4．引進(jìn)了應(yīng)力張量和主應(yīng)力的概念。對各向同性彈性體，他從主應(yīng)變與主應(yīng)力應(yīng)當(dāng)重合，推論在這一情形下彈性常數(shù)應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)。5．討論了應(yīng)變張量與應(yīng)力張量的關(guān)系，后來被稱為廣義胡克定律，他論證了在最一般條件下應(yīng)當(dāng)有36個(gè)彈性常數(shù)。6．他得到了以位移表示的彈性體平衡方程和邊界條件的提法。這些結(jié)果便是當(dāng)今線性彈性力學(xué)的主要內(nèi)容。同時(shí)，他還研究了彈性柱體的扭轉(zhuǎn)問題，特別是他指出矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)中，平截面將不再保持。這個(gè)結(jié)論為后來圣維南所發(fā)展。

第二十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日柯西的一生充滿了矛盾。他所處的時(shí)代正是法國大革命的時(shí)代。1789年他出生正是法國大革命爆發(fā)的那一年，之后又有波旁王朝復(fù)辟和1830年重又推翻波旁王朝的波折。這中間，柯西在政治態(tài)度上表現(xiàn)為忠誠的?；庶h，而當(dāng)革命勢力勝利后，他曾有一段僑居瑞士、意大利等國?？挛鲝男⌒沤蹋且晃或\的天主教徒。他曾多次在科學(xué)院院士會上頌揚(yáng)宗教。他于1839年參加天主教學(xué)院并于1842年擔(dān)任該院秘書。因而他被稱為法蘭西研究院穿短袍的耶穌會士。第三十頁，共七十九頁，2022年，8月28日柯西在巴黎綜合工科學(xué)校教學(xué)生涯中，寫下了許多教材，這些教材以科學(xué)嚴(yán)格性著稱，但卻不易閱讀，為此甚至受到了校方和學(xué)生們的指責(zé)。他的講課由于經(jīng)常突然從一個(gè)想法跳入另一個(gè)想法，被學(xué)生認(rèn)為是“雜亂無章”的。不過仍然有許多學(xué)生從他身上學(xué)到很多，后來成為出名的數(shù)學(xué)家。柯西平常不喜歡交往，加以他政治保守與到處宣揚(yáng)宗教，他晚年愈來愈不受同事們的歡迎和諒解，而陷于落落寡合的孤獨(dú)之中。不過他除關(guān)心數(shù)學(xué)之外，畢生還致力于慈善事業(yè)。1857年，在他得了重感冒轉(zhuǎn)為肺炎，于5月23日去世的當(dāng)天，還在同巴黎大主教討論慈善事業(yè)。他最后的一句話是對大主教說的：“人們?nèi)チ?，但是他們的功績留下了?！?/p>

第三十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日2．4圣維南及其在彈性力學(xué)中的貢獻(xiàn)

圣維南(Saint-Venant,AdhemarJeanClaudeBarre.de.1797,8,23-1886,1,6)的父親是一位頗有名氣的農(nóng)村經(jīng)濟(jì)學(xué)家，在他的細(xì)心教導(dǎo)下，圣維南從小就愛好數(shù)學(xué)，并表現(xiàn)出突出的才能。圣維南稍長，就到布魯日公立學(xué)校上學(xué)，1813年他16歲時(shí)通過選拔考試進(jìn)入巴黎綜合工科學(xué)校。在該校他表現(xiàn)出卓越的才能，學(xué)習(xí)成績名列全班第一名。然而一場政治動亂對他的一生產(chǎn)生了巨大影響。1814年反法聯(lián)盟軍隊(duì)逼近巴黎，學(xué)校動員學(xué)生為巴黎的防御工事運(yùn)送武器，圣維南拒絕參加，被學(xué)校除名。此后8年，他一直在火藥工廠工作。1823年法國政府批準(zhǔn)他免試進(jìn)入橋梁道路學(xué)院，兩年后他以全班第一名的成績畢業(yè)。第三十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日圣維南

Saint-Venant,

AdhemarJeanClaudeBarre.de.

1797-1886

第三十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日1825－1830年，他先后在尼韋奈運(yùn)河和阿登運(yùn)河上從事工程設(shè)計(jì)工作。其間，他利用業(yè)余時(shí)間研究力學(xué)理論。1834年，他向法國科學(xué)院提交了兩篇關(guān)于理論力學(xué)和流體力學(xué)的論文，并因此在科學(xué)界出了名。1837年，橋梁道路學(xué)院請圣維南講授材料強(qiáng)度理論。當(dāng)時(shí)關(guān)于材料力學(xué)的最新講義是圣維南的老師C.納維(Navier)編寫的《力學(xué)在結(jié)構(gòu)和機(jī)械方面的應(yīng)用》（1826）。該書以納維在橋梁道路學(xué)院講授應(yīng)用力學(xué)的講義為基礎(chǔ)整理而成。雖然納維建立了彈性力學(xué)的基本方程，但他在講義中并沒涉及它們，仍然采用平截面假定求解問題。圣維南則首先試圖把彈性理論的最近進(jìn)展介紹給他的學(xué)生，他對固體的分子結(jié)構(gòu)和分子間的作用力的假設(shè)進(jìn)行討論，并用這一假設(shè)解釋了應(yīng)力概念。1864年圣維南對該書修訂第三版時(shí)，在書中增加了大量的注釋，使原書的篇幅增加了九倍。他還講授了剪應(yīng)力和剪應(yīng)變。由此算出主應(yīng)力。圣維南在教學(xué)中提出的一些問題成為他日后進(jìn)行科研的課題，他的講義用石印印出，其原稿現(xiàn)在藏于橋梁道路學(xué)院的圖書館。第三十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日圣維南在橋梁道路學(xué)院任教時(shí)，還在巴黎市政府兼任一些實(shí)際工作。此外，他很早就對水力學(xué)及其在農(nóng)業(yè)上的應(yīng)用感興趣，并發(fā)表過若干篇論文，為此他獲得了法國農(nóng)學(xué)會的金質(zhì)獎?wù)拢?850－1852年還在凡爾賽農(nóng)學(xué)院講授過力學(xué)。然而，這些并未影響他在彈性理論方面的研究。1847年他關(guān)于扭轉(zhuǎn)的第一篇論文發(fā)表。1855和1856年他發(fā)表的兩篇著名論文系統(tǒng)地闡述了扭轉(zhuǎn)和彎曲問題。1868年以后，圣維南又研究塑性力學(xué)，提出塑性流動的基本假設(shè)和基本方程。圣維南一直工作到生命的最后幾天，1886年1月2日，他的最后一篇論文發(fā)表在法國科學(xué)院學(xué)報(bào)上。1月6日他以88歲高齡去世。

第三十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日圣維南的研究領(lǐng)域主要集中于固體力學(xué)和流體力學(xué)，特別是在材料力學(xué)和彈性力學(xué)方面作出很大貢獻(xiàn)。圣維南第一個(gè)驗(yàn)證了彎曲基本假設(shè)的精確性，所謂基本假設(shè)是：梁變形時(shí)橫截面保持平面；梁的縱向纖維在彎曲時(shí)相互之間無應(yīng)力。基于對梁的純彎曲研究，圣維南1855年給出了圣維南原理的最早提法。即：只有當(dāng)作用于梁兩端的外力分布在端截面上的情況與在梁中央各截面上的應(yīng)力分布情況相同時(shí)，所得到的應(yīng)力分布才與準(zhǔn)確解相符。第三十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日圣維南提出和發(fā)展了求解彈性力學(xué)的半逆解法。1853年他關(guān)于彈性柱體扭轉(zhuǎn)的報(bào)告，法國科學(xué)院由A.L.柯西、G.拉梅（Lame）、J.V.彭色列(Poncelet)等組成的委員會給予很高的評價(jià)。文中首次提出了半逆解法。由于半逆解法的論文，彈性理論的基本方程才逐步被引入有關(guān)材料強(qiáng)度的工程書籍中。1883年圣維南翻譯克萊伯什的德文著作《固體彈性理論》一書出版。他的注釋是原篇幅的三倍。其中最重要的是關(guān)于桿的振動和碰撞理論。由于圣維南取得了大量創(chuàng)造性的研究成果，1868年他以力學(xué)權(quán)威被選入法國科學(xué)院院士。他一生重視理論研究成果應(yīng)用于工程實(shí)際，他認(rèn)為只有理論與實(shí)際相結(jié)合，才能促進(jìn)理論研究和工程進(jìn)步。第三十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日2．5樂甫的工作

樂甫(AugustusEdwardHoughLove,1863,4,17－1940,6,5)的父親約翰·亨利(JohnHenryLove)是一名外科醫(yī)生，有四個(gè)子女，樂甫是次子。1874年，11歲的樂甫進(jìn)伍爾弗漢普頓中學(xué)讀書。1882年進(jìn)入劍橋大學(xué)約翰學(xué)院，1885年以優(yōu)異成績畢業(yè)。1886－1899年成為該學(xué)院研究員。從1899年起他在牛津大學(xué)主持賽德利自然哲學(xué)講座。1894年當(dāng)選英國皇家學(xué)會會員。他擔(dān)任倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會秘書達(dá)15年之久，1912－1913年任該會主席。

第三十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日樂甫的主要貢獻(xiàn)在變形介質(zhì)力學(xué)方面，在固體力學(xué)、流體力學(xué)和地球物理學(xué)方面都有重要工作。此外他在電波理論、彈道學(xué)、理論力學(xué)以及微積分方面也有論著。樂甫在彈性理論方面最著名的研究工作是他對薄殼彎曲所作的系統(tǒng)研究，1888年他推廣了薄板理論中的基爾霍夫假設(shè)，對薄殼提出了直法線假設(shè)，這就是基爾霍夫－樂甫假設(shè)，它是仍廣泛使用的薄殼理論的基礎(chǔ)。應(yīng)用這一成果，他證明了J.W.瑞利(Rayleigh)關(guān)于彎曲振動的假設(shè)不能嚴(yán)格滿足邊條件。

第三十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日樂甫在彈性力學(xué)方面最重要貢獻(xiàn)是他在1892－1893年分兩卷出版的著作《彈性的數(shù)學(xué)理論教程》(Atreatiseonthemathematicaltheoryofelasticity),這部書總結(jié)了20世紀(jì)以前彈性力學(xué)的全部成果，精煉而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣撌隽藦椥岳碚摲矫娴某删?。樂甫在書中精辟地分析?0世紀(jì)以前彈性力學(xué)的發(fā)展歷史，認(rèn)為彈性力學(xué)的發(fā)展對于認(rèn)識物質(zhì)結(jié)構(gòu)和光的本性、推動解析數(shù)學(xué)、地質(zhì)學(xué)、宇宙物理學(xué)的發(fā)展起了非常重要的作用。該書初版時(shí)寫得比較抽象，到第二版（1906）以及第三版（1920）、第四版（1927）時(shí)，作了很大的修改，致力于使內(nèi)容對工程師更有用。該書有德文、俄文等譯本，成為經(jīng)典彈性理論中影響最大的一本專著。第四十頁，共七十九頁，2022年，8月28日1903年樂甫發(fā)展了彈性無限體中的點(diǎn)源基本理論。G.G.斯托克斯（Stokes）于1849年最先求得在彈性無限介質(zhì)中單力所引起的位移場的精確解，它是地震震源的第一個(gè)數(shù)學(xué)模式。1903年11月12日，樂甫在倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會宣讀的論文中把斯托克斯的結(jié)果推廣到了任意初始擾動和包含一大類體力的情形，為后來發(fā)展地震震源的數(shù)學(xué)模式所用。第四十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日樂甫將彈性理論應(yīng)用于地球物理方面工作集中反映在他的另一本專著《地球動力學(xué)的若干問題》（Someproblemsofgeodynamics）中，該書獲1911年劍橋亞當(dāng)斯獎。書中寫進(jìn)了他的許多創(chuàng)造性研究成果：關(guān)于地殼均衡、固體潮、緯度變化、地球的可壓縮性效應(yīng)、重力不穩(wěn)定性、可壓縮有重力星球的自由振蕩理論等。其中許多成果是現(xiàn)今地球物理研究的基礎(chǔ)，特別是以其姓氏命名的樂甫波和樂甫數(shù)，它們分別對地震和固體潮理論尤其重要。

第四十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日樂甫波理論的發(fā)展可能是樂甫的最大的貢獻(xiàn)。在他之前，彈性體中的波傳播有三種：有S.D.泊松（Poisson）在1829年發(fā)現(xiàn)的伸縮（縱）波，在地震中首先達(dá)到被稱為P波；由斯托克斯于1899年證明的等容畸變（橫）波，隨后到達(dá)被稱為S波。以上兩種為體內(nèi)傳播的體波。第三種是在界面附近只能沿界面?zhèn)鞑?，而在垂直于界面的方向不傳播的面波，這是1885年瑞利導(dǎo)出、而后在地震記錄中得到證實(shí)的。瑞利是在均勻各向同性的彈性半空間中討論的，然而在這些條件下，唯一可能的表面波中缺少SH分量的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，即缺少在表面內(nèi)而垂直于波傳播方向的運(yùn)動，而且它對任何初擾動不產(chǎn)生頻散效應(yīng)。

第四十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日在1900年以后的一段時(shí)間里，對實(shí)際地震記錄的分析結(jié)果與上述理論不符，有人認(rèn)為這是由于地殼造成的。樂甫對此進(jìn)行了理論探討。他考慮的模型是在瑞利的均勻介質(zhì)上覆蓋一個(gè)不同彈性性質(zhì)和密度的均勻?qū)樱?dāng)上層的橫波速度小于下層時(shí)，在分界面以下可以存在有SH分量而且是頻散的面波，其傳播速度介于上下層兩個(gè)橫波速度之間，這就是地震中的樂甫波。若能測得各種頻率的樂甫波的傳播速度，就可以對地下的成層結(jié)構(gòu)作出推斷，因而在地球物理學(xué)中有重要意義。第四十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日樂甫在地球物理學(xué)中的另一重要貢獻(xiàn)是固體潮理論中的樂甫數(shù)。他在1909年引進(jìn)了兩個(gè)表征地球彈性常數(shù)的參數(shù)h和k，后來日本的志田順（ToshiShida）于1912年引入第三個(gè)參數(shù)，這三個(gè)常數(shù)統(tǒng)稱為樂甫數(shù)。其中k為彈性地球變形后產(chǎn)生的附加引力位與相應(yīng)的原引潮力位之比，h為彈性地球表面在引潮力作用下產(chǎn)生的徑向位移（固體潮高）與其對應(yīng)點(diǎn)的平衡潮高之比，為產(chǎn)生的水平位移（固體潮水平位移）與其相應(yīng)點(diǎn)的平衡潮水平位移之比。它們能反映出地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)狀況。若知道地球內(nèi)部的密度和彈性系數(shù)的分布，則可從理論上算出樂甫數(shù)。反過來，固體潮的實(shí)測h,k,值是反演地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)的重要標(biāo)準(zhǔn)。

第四十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日樂甫還著有兩本教科書《理論力學(xué)》（Theoreticalmechanics）和《微積分初步》（Elementsofthediffrentialandintegralcalculus）樂甫終生未娶，他喜歡旅游，愛好音樂和打槌球。他以作風(fēng)樸實(shí)、謙虛、思想敏捷和嚴(yán)密著稱于學(xué)術(shù)界。

第四十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日2．6穆斯海利什維利及其

復(fù)變函數(shù)方法

穆斯海利什維利（НиколайИвановичМушхелишвили，1891，2，16－1976，7，15）是俄國第比里斯（現(xiàn)屬格魯吉亞）人。其父是軍事工程師。1901－1909年他在第比里斯第二中學(xué)學(xué)習(xí)，中學(xué)畢業(yè)后到彼得堡大學(xué)物理數(shù)學(xué)系深造。從1914年到1920年他先后在彼得堡大學(xué)等校教授數(shù)學(xué)和力學(xué)，于1920年回到第比里斯。從1920年起，他先后在第比里斯大學(xué)、蘇聯(lián)科學(xué)院格魯吉亞分院工作。并于1939年被選為蘇聯(lián)科學(xué)院院士。

第四十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日1909年穆斯海利什維利的老師Г.Б.科洛索夫（Колосов）給出了應(yīng)力和位移的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式以解決彈性力學(xué)平面問題。隨后穆斯海利什維利就這一方向進(jìn)行了系統(tǒng)的研究論證并解決了一系列技術(shù)問題，使一般平面問題都可以借助于復(fù)變函數(shù)求解。這個(gè)方法的基本思想是：設(shè)在給定區(qū)域上有兩個(gè)復(fù)變函數(shù)則平面彈性力學(xué)的應(yīng)力及位移可表為

2G（)。

第四十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日穆斯海利什維利還發(fā)展了將復(fù)變函數(shù)中的保角映射應(yīng)用于單位圓來求解各向同性單連通平面彈性問題。之后他又借助于積分方程發(fā)展了求解多連通區(qū)域上的平面彈性問題。他的這些成果極大地增廣了線性彈性力學(xué)平面問題的解題范圍。在六十年代有限元方法普遍使用之前。這是當(dāng)時(shí)解決實(shí)際問題的首選方法。他的這些工作以及之后他的學(xué)生們在彈性力學(xué)方面的工作集中地反映在《數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的幾個(gè)基本問題》一書中，這本書共出版了五個(gè)版本。第一版是1933年出版的，以后每版都增加一些新的內(nèi)容。第四十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日穆斯海利什維利關(guān)于奇異積分方程的研究是適應(yīng)求解彈性力學(xué)邊值問題要求更深一步的工作。在這方面取得了一系列重要成果。穆斯海利什維利的工作不僅推進(jìn)了彈性力學(xué)，同時(shí)對流體力學(xué)、勢論、電磁學(xué)以及解析函數(shù)和廣義解析函數(shù)論的研究都起了很大的推動作用。

第五十頁，共七十九頁，2022年，8月28日2．7彈性力學(xué)中一些重要問題的求解

彈性力學(xué)的基本方程與邊界條件的提法清楚了之后，在19世紀(jì)和20世紀(jì)初，得到了許多重要的實(shí)際問題的解，并且研究清楚了一批特殊問題。下面我們選擇幾個(gè)重要問題加以介紹。板殼理論

集中力作用下的彈性解問題

彈性力學(xué)一些基本問題

第五十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日板殼理論

法國女?dāng)?shù)學(xué)家索菲亞·熱爾曼－1831.6.27)最早研究了板的問題,她是一位富商的女兒,在姊妹3個(gè)中排行第二。好的童年,正處于法國大革命時(shí)代,平等自由的學(xué)說可能影響她后來的奮斗精神的形成。當(dāng)她13歲的時(shí)候便閱讀各種書籍,她天天泡在圖書館里,閱讀數(shù)學(xué)、外文等書籍。強(qiáng)烈的求知欲與她所處的歧視婦女的社會產(chǎn)生了矛盾。婦女無權(quán)上大學(xué),使她進(jìn)不了她渴望進(jìn)入的巴黎工科大學(xué)。

第五十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日她沒有屈服于命運(yùn),她借閱大學(xué)生們的筆記.她冒用一名男生的名字勒伯蘭(Leblanc)去交讀書報(bào)告。她讀正在那里執(zhí)教的大數(shù)學(xué)力學(xué)家拉格朗日(Lagrange)的名著《分析力學(xué)》后,將讀書報(bào)告交給他,拉格朗日十分欣賞她的才能,最后當(dāng)他發(fā)現(xiàn)她是一位婦女后,非常愛護(hù)與支持她。第五十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日1809年,法國科學(xué)院公布了一項(xiàng)資金為3000法朗的懸賞研究題目.該題目要求對當(dāng)時(shí)新發(fā)現(xiàn)的一種物理現(xiàn)象:薄彈性板振動時(shí)各種模態(tài)給出分析與解釋。

事情是由1808年秋天,一名德國人叫克拉尼(Chladni)的簡單實(shí)驗(yàn)引起的。他將板邊界固定好,在板上撒一些細(xì)砂,當(dāng)敲擊板使之振動時(shí),沙粒在板上形成各種固定的花紋.這花紋隨板形狀、敲擊部位與固定方式而變。

第五十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日許多有才能的科學(xué)家都躍躍欲試。當(dāng)時(shí)對力學(xué)與振動有深入研究的著名學(xué)者拉格朗日、畢奧(Biot)、拉普拉斯(Laplace)、勒讓德(Legendre)都沒有參加競賽,而傅里葉(Fourier)、納維(Navier)、哥西(Couchy)與泊桑(Poisson)可能曾試圖求解這個(gè)問題.然而,這筆獎金卻由于索菲亞·熱爾曼分別在1811年、1813年、1816年投寄了3篇文章,并最后于1816年獲得了這項(xiàng)獎勵。熱爾曼得到的板的方程，缺少交叉微商項(xiàng)，后來經(jīng)過拉格朗日改正。

第五十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日熱爾曼的另一項(xiàng)重要貢獻(xiàn),是對于費(fèi)爾馬(Fermat)大問題研究的推進(jìn).費(fèi)爾馬大定理是證明方程,當(dāng)時(shí),沒有的整數(shù)解。1815年,法國科學(xué)院又以這個(gè)問題進(jìn)行懸賞。費(fèi)爾馬1637年聲稱他證明了,然而始終沒找到這個(gè)證明,只知他給出了,隨后1823年勒讓德給出了n=5,歐拉給出了n=3的證明.而熱爾曼又將熱情投入了這個(gè)問題,她給出了的證明。雖然迄今三百多年了,這項(xiàng)懸賞也一百多年了,而現(xiàn)在這個(gè)問題總算解決了。熱爾曼的研究是十分重要的一步。

第五十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日

熱爾曼由于對數(shù)論上的興趣,曾經(jīng)以男士的口氣同德國大數(shù)學(xué)家高斯通過信。高斯也由于能得到數(shù)論方面的知音而頗為高興。后來高斯由于欣賞她的才能推薦她當(dāng)?shù)聡缤⒏髮W(xué)的名譽(yù)博士.由于她過早去世而未成。

第五十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日

基爾霍夫在1850年發(fā)表了平板問題的重要論文，文章糾正了以往關(guān)于平板問題邊界條件的錯誤。基爾霍夫采用虛位移原理推導(dǎo)板的邊界條件，指出對于求解平板問題只要兩個(gè)邊界條件便夠了。他正確地求解了圓板的振動問題。在建立平板問題的方程時(shí)，他假定：1）變形時(shí)垂直于中面的直線仍保持為直線，變形后還垂直于中面，2）中面的元素在變形時(shí)不伸長。這個(gè)簡化平板問題的假設(shè)現(xiàn)今仍在使用，被稱為直法線假設(shè)也稱為基爾霍夫假設(shè)。

1888年，英國人樂甫利用基爾霍夫?qū)ζ桨鍐栴}的假設(shè)導(dǎo)出了彈性薄殼的平衡方程，至今這個(gè)假設(shè)被人稱為基爾霍夫――樂甫假設(shè)。第五十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日集中力作用下的彈性解問題

彈性體的內(nèi)部或邊界上受集中力作用的情形是一種非?；镜那樾危伤梢酝ㄟ^疊加得到一般情形的解，所以這種情形的解稱為彈性力學(xué)的基本解。1885年圣維南的學(xué)生布森涅斯克（JosephValentinBoussinesq,1842－1926）得到了半彈性平面上邊界有一垂直于邊界的集中力情形的應(yīng)力位移解。利用疊加方法他求解了任意分布在邊界上力的問題。

第五十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日布森涅斯克19歲中學(xué)畢業(yè)后，一直從事中學(xué)教學(xué)工作，他的力學(xué)是業(yè)余學(xué)習(xí)與研究的，他讀了拉普拉斯與柯西等人的著作，后來就進(jìn)行獨(dú)立研究。1867年他在巴黎大學(xué)獲得了博士學(xué)位，并于同時(shí)寫了一篇論文提交科學(xué)院由圣維南評閱，圣維南從論文中看出他的卓越才干之后對他的著作特別重視，經(jīng)常與他通訊聯(lián)系給以指導(dǎo)。1783年在圣維南的推薦下，布森涅斯克獲得了大學(xué)教授的職位。此后他就專門從事于科學(xué)研究工作。他在薄板理論、松散介質(zhì)理論、桿的縱向沖擊問題等方面都取得了重要研究成果。

第六十頁，共七十九頁，2022年，8月28日英國科學(xué)家湯姆孫（WilliamThomson即Kelvin,1824－1907）在他的科學(xué)活動的早期求解了在均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中受一集中力的解，這個(gè)解稱為開爾文解。1883年初，德國力學(xué)家赫茲（HeinrichRudolfHertz,1857－1894）解決了長圓柱受集中力的解。1889年，赫茲說明了用球形物體與圓柱形物體相互擠壓問題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。結(jié)論是如果擠壓前在表面上涂以煙炱則表現(xiàn)接觸面的輪廓為橢圓。他同時(shí)給出了這個(gè)問題的理論解。這個(gè)解現(xiàn)在人們還稱為赫茲接觸問題解。1888年赫茲發(fā)現(xiàn)了電磁波，后來意大利人馬可尼利用電磁波的原理發(fā)明了無線電報(bào)。1894年赫茲將力學(xué)系統(tǒng)區(qū)分為完整系統(tǒng)與非完整系統(tǒng)兩類，對應(yīng)于完整約束與非完整約束。后來開辟了非完整力學(xué)的研究。

第六十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)一些基本問題

1839年英國人格林（GeorgeGreen,1793－1841）指明當(dāng)以太（一種假想的在太空的物質(zhì)，后來為實(shí)驗(yàn)所否定）傳播波動時(shí)，必須滿足能量守恒，因而彈性常數(shù)最一般的情形是21個(gè)，在各向同性時(shí)是2個(gè)。為此引起了一場論爭。格林為一派，柯西與納維為一派（認(rèn)為一般情形下，材料常數(shù)為15個(gè)）。最后結(jié)果說明格林的結(jié)論是正確的。格林也是一位自學(xué)成才的數(shù)學(xué)力學(xué)家，他寫出的第一篇論文時(shí)已經(jīng)40歲了。他是從研究光的傳播來討論彈性力學(xué)問題的。

第六十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日1848年瓦泰姆（W.Wertheim,1815－1861）在經(jīng)過做了若干年的實(shí)驗(yàn)之后，否定了納維的，主張。由于多年對多種材料實(shí)驗(yàn)，結(jié)果很有說服力。此外他研究指出，能使金屬密度增加的工藝過程都可使彈性模量提高；由振動實(shí)驗(yàn)所得到的彈性模量較靜力實(shí)驗(yàn)得到的為高；一般金屬在溫度從－15℃到200℃之間升高時(shí)拉伸模量逐漸降低，而鋼在從－15℃到100℃時(shí)拉伸模量提高。1859年，拉梅給出了曲線坐標(biāo)中彈性力學(xué)的方程。克拉伯龍大約在同時(shí)給出了彈性體變形能的表達(dá)式。第六十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日2．8瑞利與他關(guān)于彈性體的

振動與波的研究

英國科學(xué)家斯特拉特·瑞利（JohnWilliamStrutRayleigh,1842－1919）在31歲的時(shí)候繼承了父親的爵位，因此人們通常稱他為瑞利勛爵。1865年以全班第一名的優(yōu)異成績畢業(yè)于劍橋大學(xué)，1873年被選入皇家學(xué)會，1879年他繼麥克思威爾任劍橋大學(xué)卡文迪什實(shí)驗(yàn)室主任。他在卡文迪什實(shí)驗(yàn)室工作的前后，他自己有一個(gè)相當(dāng)好的自費(fèi)實(shí)驗(yàn)室。他的許多重要發(fā)現(xiàn)是在他自己的實(shí)驗(yàn)室中完成的。瑞利最為著名的研究工作是在化學(xué)方面，他從各種不同的途徑制備的氮經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)從空氣中制備的密度要大。這個(gè)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)致了稀有氣體的發(fā)現(xiàn)。并為此而得到了1904年的諾貝爾物理獎。第六十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日瑞利研究工作的主要興趣集中在各種波動上。在電磁波方面，他得到了光的色散隨波長變化的方程，并且證實(shí)了前人關(guān)于天空呈現(xiàn)藍(lán)色是由于光被大氣塵埃散射的觀點(diǎn)。瑞利還求出了對應(yīng)于黑體輻射波長分布的方程。此外他在研究聲波、水波與地震波上都取得了重要的成果。在計(jì)算振動頻率中他提出了一種靠簡化假定、將復(fù)雜問題化為單自由度問題的方法，此方法后來于1909年由李茲加以改進(jìn)成為基于能量的近似計(jì)算方法，現(xiàn)在被稱為瑞利－李茲法。

第六十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日1877－1878年間，瑞利（JohnWilliamStrutRayleigh,1842－1919）發(fā)表了他的最重要的著作《聲學(xué)理論》，總結(jié)了至他為止的這方面的研究結(jié)果。他第一次指出彈性體的表面波的存在，后人稱為瑞利波。這本著作影響很大，它與樂甫的《彈性的數(shù)學(xué)理論教程》，一本是關(guān)于彈性動力學(xué)的，一本是關(guān)于彈性靜力學(xué)的，成為彈性力學(xué)方面的互為補(bǔ)充的兩本經(jīng)典著作。

第六十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日§3強(qiáng)度理論、實(shí)驗(yàn)方法與

結(jié)構(gòu)力學(xué)的發(fā)展

3．1金屬疲勞現(xiàn)象的注意與研究

3．2諾伊曼與光彈性

3．3莫爾的強(qiáng)度理論

3．4結(jié)構(gòu)力學(xué)的發(fā)展

第六十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日3．1金屬疲勞現(xiàn)象的

注意與研究隨著工業(yè)的發(fā)展，固體力學(xué)的計(jì)算結(jié)果用于強(qiáng)度校核需要發(fā)展強(qiáng)度理論。另一方面，在計(jì)算無法得到解的情況下需要訴諸試驗(yàn)。這一節(jié)就來介紹這兩方面的進(jìn)展。這些內(nèi)容主要是在19世紀(jì)近代機(jī)械工業(yè)出現(xiàn)后才產(chǎn)生的。

第六十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日1853年，有一位叫墨仁（A.Morin）法國人在他出版的書中討論了法國公路上負(fù)責(zé)管理郵車的兩位工程師的報(bào)告。報(bào)告說，車輛行駛7萬公里后，車軸的截面尺寸將發(fā)生改變。在突然凹入的尖角處仿佛有裂紋出現(xiàn)。隨著鐵道建設(shè)的發(fā)展，機(jī)車軸的疲勞越來越多。1843年，英國工程師蘭金（W.J.M.Rankine）的論文第一次系統(tǒng)討論了疲勞問題。他描述說：“裂口的出現(xiàn)是從一個(gè)光滑的、形狀規(guī)則的、細(xì)小的裂紋開始，在軸頸周圍逐漸擴(kuò)大，其穿入深度的平均值達(dá)到半寸。它們好象從表面逐漸向中心穿入，直到中心處的好鐵的厚度不夠支持所經(jīng)受的振動，在這種情況下，軸頸的破裂端是凸出的，而軸身的破裂端是凹入的。”

第六十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日同時(shí)，倫敦的機(jī)械工程師學(xué)會鐵道建筑物鋼鐵利用委員會（成立于1848年）完成了一些研究工作。如初步制造了多次載荷的試驗(yàn)機(jī)，研究表明，在承載能力1/3之下，疲勞破壞很少發(fā)生。之后，德國人沃勒（AugustW?hler,1819－1914）設(shè)計(jì)了正式的疲勞試驗(yàn)機(jī)。該機(jī)采用全交變式、偏心輪式、復(fù)雜應(yīng)力交變式等。經(jīng)過試驗(yàn)之后他建議在軸向有交變應(yīng)力時(shí)，應(yīng)取常拉力強(qiáng)度時(shí)的1/2，即安全系數(shù)取2。一般認(rèn)為疲勞研究是從他真正開始的。第七十頁，共七十九頁，2022年，8月28日3．2諾伊曼與光彈性

諾伊曼（FranzErnstNeumann,1798－1895）是德國人。是一位數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、礦物學(xué)家。1822年，法國光學(xué)家夫瑞奈爾（AugustinJeanFresnel,1788－1827）發(fā)現(xiàn)某些晶體具有雙折射的性質(zhì)。這引起了諾伊曼的興趣，跟著進(jìn)行研究。他發(fā)現(xiàn)：透明物體受力后產(chǎn)生雙折射現(xiàn)象。他指出，在一塊均勻受力平板最簡單的情況下，若垂直平板透過一束偏振光，這個(gè)振動可以分解為x,y軸的分量。這兩個(gè)分量將以不同速度在介質(zhì)中傳播，兩者速度之差與成正比。即與最大剪應(yīng)變成正比。利用一種分析器可以使兩束光產(chǎn)生干涉，借觀察顏色可以反推出，于是可以用這一原理制造儀器測平面應(yīng)力，平面應(yīng)力是幾何相似的，所以可以利用幾何相似的模型去做試驗(yàn)。這就是后來光彈性儀器發(fā)展的理論根據(jù)。

第七十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日麥克斯韋耳（James