百校聯盟2023屆TOP20三月聯考(全國II卷)數學(理)-Word版含答案

百校聯盟2023屆TOP20三月聯考（全國Ⅱ卷）理科數學第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的子集個數為（）A．B．C．D．2.已知是虛數單位，，則復數（）A．B．C．D．3.古代數學名著《張丘建算經》中曾出現過高息借貸的題目：“今有舉取他絹，重作券；要過限一日，息絹一尺；二日息二尺；如是息絹，日多一尺.今過限一百日，問息絹幾何？”題目的意思是：債主拿欠債方的絹做抵押品，債務過期第一天要納利息尺絹，過期第二天利息是尺，這樣，每天利息比前一天增多尺，若過期天，欠債方共納利息為（）A．尺B．尺C．尺D．尺4.某山區(qū)希望小學為豐富學生的伙食，教師們在校園附近開辟了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有（）A．種B．種C.種D．種5.函數的圖像上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的，得到函數的圖象，則時，的取值范圍是（）A．B．C.D．6.已知為坐標原點，等軸雙曲線的左，右頂點分別為，，若雙曲線的一條漸近線上存在一點，使得，且的面積為，則雙曲線的方程為（）A．B．C.D．7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A．B．C.D．8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．B．C.D．9.當時，下列有關函數，的結論正確的個數為（）①是偶函數；②與有相同的對稱中心；③函數與的圖象交點的橫坐標之和為；④函數與的圖象交點的縱坐標之和為.A．B．C.D．10.已知為坐標原點，平行四邊形內接于橢圓，點，分別為，的中點，且，的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A．B．C.D．11.如圖：是圓錐底面圓的直徑，，是圓錐的兩種母線，為底面圓的中心，過的中點作平行于的平面，使得平面與底面圓的交線長為，沿圓錐側面連接點和點，當曲線段長度的最小值為時，則該圓錐的外接球（圓錐的底面圓周及頂點均在球面上）的半徑為（）A．B．C.D．12.已知函數，，存在，使得的最小值為，則函數圖象上一點到函數圖象上一點的最短距離為（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知菱形的邊長為，，，，則．14.若，滿足約束條件則的取值范圍為．15.春節(jié)臨近，某火車站三個安檢入口每天通過的旅客人數（單位：人）均服從正態(tài)分布，若，假設三個安檢入口均能正常工作，則這三個安檢入口每天至少有兩個超過人的概率為．16.已知數列的奇數項和偶數項為公比為的等比數列，，且.則數列的前項和的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，點在邊上，且，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求周長的最大值.18.某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，當天每售出個獲得利潤元，未售出的每個虧損元.根據以往天的資料統(tǒng)計，得到如下需求量表.元日這天，此蛋糕店制作了這款蛋糕個.以（單位：個，）表示這天的市場需求量.（單位：元）表示這天出售這款蛋糕獲得的利潤.需求量/個天數1525302010（Ⅰ）當時，若時獲得的利潤為，時獲得的利潤為，試比較和的大?。唬á颍┊敃r，根據上表，從利潤不少于元的天數中，按需求量分層抽樣抽取天，（?。┣筮@天中利潤為元的天數；（ⅱ）再從這天中抽取天做進一步分析，設這天中利潤為元的天數為，求隨機變量的分布列及數學期望.19.如圖，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，四邊形為矩形，且，，為的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的大小.20.在平面直角坐標系中，點關于直線對稱的點位于拋物線上.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設拋物線的準線與其對稱軸的交點為，過點的直線交拋物線于點，，直線交拋物線于另一點，求直線所過的定點.21.已知函數.（Ⅰ）設，討論的單調性；（Ⅱ）若不等式恒成立，其中為自然對數的底數，求的最小值.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標系與參數方程已知直線（為參數），曲線（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（Ⅰ）求曲線的極坐標方程，直線的普通方程；（Ⅱ）把直線向左平移一個單位得到直線，設與曲線的交點為,，點為曲線上任意一點，求面積的最大值.23.選修4-5：不等式選講已知函數的最小值為.（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）若，，求的最小值.試卷答案一、選擇題1-5:DCDBA6-10:BCCCA11、12：DC二、填空題13.14.15.16.三、解答題17.【解析】（Ⅰ）因為，所以，根據正弦定理，，∴，又為銳角，所以.（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，∴，當且僅當時，等號成立.故.所以周長的最大值為.18.【解析】（Ⅰ）當，時，，時，.所以當時，（元）.當，時，，時，.所以當時，（元）.故.（Ⅱ）當，即，∴，又，所以，共有天利潤大于元.（ⅰ）按分層抽樣抽取天，其中利潤為元的天數有（天）.（ⅱ）根據題意，隨機變量的可能取值為，，，，，，，.∴的分布列為0123所以.19.【解析】（Ⅰ）取的中點，連接，，∵為中點，∴，且.∵四邊形為直角梯形，，且，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）因為四邊形為直角梯形，，，所以，∴.又，因為，所以，因為，，，所以平面，因為，∴平面，∴，所以，因此.以點為原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，設平面的一個法向量為，則有令，則，設平面的一個法向量為，，，則有令，則，所以，所以平面與平面所成的銳二面角為.20.【解析】（Ⅰ）設，則，∴，解之得，代入，得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）根據題意，，設點，，因為，，三點共線，所以，即，∴，∴，設點，因為，，三點共線，所以，即，∴.所以，即，所以，即①，因為，所以直線的方程是.即，即②，由①②可得.所以直線過定點.21.【解析】（Ⅰ）函數定義域為，由題意得，則，①當時，，則在上單調遞增；②當時，令，解得，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減.（Ⅱ）設函數，其中為自然對數的底數，∴，，當時，，在上是增函數，∴不可能恒成立，當時，由，得,∵不等式恒成立，∴，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴當時，取最大值，，∴滿足即可，∴，∴，令，，令，，由，得，當時，，是增函數，當時，，是減函數，∴當時，取最小值，∵時，，時，，，∴當時，，是減函數，當時，，是增函數，∴時，取最小值，，∴的最小值為.22.【解析】（Ⅰ）