2022年新教材數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修課后提升訓(xùn)練直線與平面的夾角

1.2.3直線與平面的夾角課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.設(shè)直線l與平面α相交,且l的方向向量為a,α的法向量為n,若<a,n>=2π3,則l與α所成的角為(A.2π3 B.π3 C.π6解析線面角的范圍是0,π2∵<a,n>=2π3,∴l(xiāng)與法向量所在直線所成角為∴l(xiāng)與α所成的角為π6答案C2.若平面α的一個法向量為n=(4,1,1),直線l的一個方向向量a=(-2,-3,3),則l與α所成角的余弦值為()A.-1111 B.1111 C.-11011 解析設(shè)α與l所成的角為θ,則sinθ=|cos<a,n>|=|(-2,-3,3)·(4,1,答案D3.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點,則直線A1B與平面BDE所成的角為()A.π6 B.π3 C.π2 解析以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則DB=(1,1,0),DE=0,1,12設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),∴DB·n=0,DE·n=0,可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而BA1=(0,∴cos<BA1,n>=1+223=32,∴∴直線A1B與平面BDE成60°角.答案B4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為94,底面是邊長為3的正三角形.若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為(A.5π12 B.π3 C.π4解析如圖所示,由棱柱體積為94,底面正三角形的邊長為3,可求得棱柱的高為3.設(shè)P在平面ABC上射影為O,則可求得AO長為1,故AP長為12+(3)2=2.故∠PAO=π答案B5.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,6),則向量AB與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為.

解析設(shè)平面xOz的法向量為n=(0,t,0)(t≠0),AB=(1,3,6),所以cos<n,AB>=n·AB|n||AB|=3t4|t|,因為<n,答案76.正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的正弦值為.

解析設(shè)正方體的棱長為1,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一個法向量為DB1=(1,1,1).又B則sin<DB1,BB=|D答案37.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,則AC1與平面BB1C1C的夾角的余弦值為.

解析設(shè)三棱柱的棱長為1,以B為原點,建立坐標(biāo)系如圖,則C1(0,1,1),A32又平面BB1C1C的一個法向量n=(1,0,0),設(shè)AC1與平面BB1C1C的夾角為θ.sinθ=|cos<n,AC1>|=∴cosθ=1-答案108.如圖所示,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,A1D1的中點.(1)求直線A1C與DE所成角的余弦值;(2)求直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值.解以A為坐標(biāo)原點,分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),Ea,a2,0,∴A1C=(a,aDE=a,-a2,0∴cos<A1C,故A1C與DE所成角的余弦值為1515(2)連接DB1,∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B1EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上.又B1EDF為菱形,∴DB1為∠EDF的平分線,故直線AD與平面B1EDF所成的角為∠ADB1.由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),得DA=(0,-a,0),DB1=(a,-a,∴cos<DA,DB又直線與平面所成角的范圍是0,π2故直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值為339.(2019浙江,19)如圖,已知四棱錐P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.(1)證明:CE∥平面PAB;(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.解(1)如圖,設(shè)PA中點為F,連接EF,FB.因為E,F分別為PD,PA中點,所以EF∥AD且EF=12AD又因為BC∥AD,BC=12AD所以EF∥BC且EF=BC,即四邊形BCEF為平行四邊形,所以CE∥BF.∵BF?平面PAB,CE?平面PAB,因此CE∥平面PAB.(2)分別取BC,AD的中點為M,N,連接PN交EF于點Q,連接MQ,因為E,F,N分別是PD,PA,AD的中點,所以Q為EF中點.在平行四邊形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,N是AD的中點得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.過點Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.設(shè)CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在△PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14在Rt△MQH中,QH=14,MQ=2所以sin∠QMH=28所以,直線CE與平面PBC所成角的正弦值是28能力提升練1.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A.63B.2C.55 D.解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),設(shè)BC1與平面BB1D1D所成角的大小為θ,∴BC1=(-連接AC,易證AC⊥平面BB1D1D,∴平面BB1D1D的一個法向量為a=AC=(-2,2,0)∴所求角的正弦值為sinθ=|cos<a,BC1>|=答案D2.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ABB1⊥BC,且A1C與底面成45°角,AB=BC=2,則該棱柱體積的最小值為()A.43 B.33 C.4 D.3解析由已知得BC⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC且交線為AB,故點A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C與底面成45°角得A1D=DC,當(dāng)CD最小即CD=BC時A1D最小,此時Vmin=12·AB·BC·A1D=12×2×2×2=答案C3.AB∥α,AA'⊥α,A'是垂足,BB'是α的一條斜線段,B'為斜足,若AA'=9,BB'=63,則直線BB'與平面α所成角的大小為.

答案60°4.如圖,圓錐的高PO=2,底面☉O的直徑AB=2,C是圓上一點,且∠CAB=30°,D為AC的中點,則直線OC和平面PAC所成角的余弦值為.

解析設(shè)點O到平面PAC的距離為d,設(shè)直線OC和平面PAC所成角為α,則由等體積法得,VO-PAC=VP-OAC,即13S△PAC·d=13|PO|·S△∴d=2·∴sinα=d|CO|=23,答案75.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.求EB與底面ABCD所成角的正弦值.解由向量加法知EB=EC+CB=12PC+CB=12(PD+DC)+CB,設(shè)|PD|=1,則|∴EB·DP=-12,∴cos<EB,DP>=EB·DP|EB||DP素養(yǎng)培優(yōu)練在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,在側(cè)棱CC1上求一點P,使得直線AP與平面BDD1B1所成的角的正切值為32.解如圖,以D為坐標(biāo)原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)CP=m(m>0),則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0)