中考數(shù)學專題復習 第1講-特殊三角形存在性問題

特殊三角形存在性問題第1講特殊三角形存在性問題第1講等腰三角形存在性問題知識總結(jié)【引例】如圖，點A坐標為（1,1），點B坐標為（4,3），求x軸上一點C使得△ABC是等腰三角形．【幾何法】“兩圓一線”（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．注意：若有重合的情況，則需排除．

以點為例，具體求點坐標：過點A作AH⊥x軸交x軸于點H，則AH=1，又，∴，故點坐標為．類似可求點、、．關于點考慮另一種方法．【代數(shù)法】點-線-方程表示點：設點坐標為，又A（1,1）、B（4,3），表示線段：聯(lián)立方程：，解得：，故點坐標為．

經(jīng)典例題【例1】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由．

【例2】如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點，與軸相交于點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖像上任意一點，軸于點，與線段交于點，連接．當是以為一腰的等腰三角形時，求點的坐標．

【例3】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸另一交點為．點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動（點不與點和點重合），設運動時間為秒，過點作軸垂線交軸于點，交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，連接交于點，當是等腰三角形時，直接寫出的值．

直角三角形存在性問題知識總結(jié)【引例】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,1），點B坐標為（5,3），在x軸上找一點C使得△ABC是直角三角形，求點C坐標．【幾何法】“兩線一圓”（1）若∠A為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（2）若∠B為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C．（直徑所對的圓周角為直角）如何求得點坐標？以為例：構(gòu)造三垂直．

求法相同，如下：【代數(shù)法】點-線-方程不妨來求下：（1）表示點：設坐標為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示線段：，，；（3）分類討論：當為直角時，；（4）代入得方程：，解得：．

經(jīng)典例題【例4】如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．（1）求這個拋物線的函數(shù)表達式．（2）點的坐標為，點為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值．（3）點為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點，使為等腰直角三角形，且為直角？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【例5】如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，．（1）若直線經(jīng)過、兩點，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標；（3）設點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點坐標．

【思】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）請在軸上找一點，使的周長最小，求出點的坐標；（3）試探究：在拋物線上是否存在點，使以點，，為頂點，為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【例1】（1）；（2）可用鉛垂法，當點D坐標為時，△ADE面積最大，最大值為14；（3）這個問題只涉及到A、E兩點及直線x=-1（對稱軸）①當AE=AP時，以A為圓心，AE為半徑畫圓，與對稱軸交點即為所求P點．∵AE=，∴，又AH=3，∴，故、．②當EA=EP時，以E點為圓心，EA為半徑畫圓，與對稱軸交點即為所求P點．過點E作EM垂直對稱軸于M點，則EM=1，，故、．③當PA=PE時，作AE的垂直平分線，與對稱軸交點即為所求P點．設，，∴，解得：m=1．故．綜上所述，P點坐標為、、、、．

【例2】（1）；（2）①當PM=PC時，（特殊角分析）考慮∠PMC=45°，∴∠PCM=45°，即△PCM是等腰直角三角形，P點坐標為（2，-3）；②當MP=MC時，（表示線段列方程）設P點坐標為，則M點坐標為，故線段故點M作y軸的垂線，垂足記為N，則MN=m，考慮△MCN是等腰直角三角形，故，∴，解得或0（舍），故P點坐標為．綜上所述，P點坐標為（2，-3）或．

【例3】（1）；（2）①考慮到∠DPM=45°，當DP=DM時，即∠DMP=45°，直線AM：y=x+1，聯(lián)立方程：，解得：，（舍）．此時t=1．②當PD=PM時，∠PMD=∠PDM=67.5°，∠MAB=22.5°，考慮tan∠22.5°=，直線AM：，聯(lián)立方程：解得：，（舍）．此時t=．綜上所述，t的值為1或．

【例4】（1）；（2）連接AC，將四邊形面積拆為△APC和△ADC面積，考慮△ADC面積為定值，故只需△APC面積最大即可，鉛垂法可解；（3）過點N作NE⊥x軸交x軸于E點，如圖1，過點M向NE作垂線交EN延長線于F點，易證△OEN≌△NFM，可得：NE=FM．設N點坐標為，則，，∴，解得：（圖1），（圖4）對應N點坐標分別為、；，解得：（圖2）、（圖3）對應N點坐標分別為、．當直角頂點不確定時，問題的一大難點是找出所有情況，而事實上，所有的情況都可以歸結(jié)為同一個方程：NE=FM．故只需在用點坐標表示線段時加上絕對值，便可計算出可能存在的其他情況．【例5】（1）直線BC：拋物線：；（2）將軍飲馬問題，考慮到M點在對稱軸上，且點A關于對稱軸的對稱點為點B，故MA+MC=MB+MC，∴當B、M、C三點共線時，M到A和C的距離之后最小，此時M點坐標為（-1，2）；（3）兩圓一線作點P：以為例，構(gòu)造△PNB∽△BMC，考慮到BM=MC=3，∴BN=PN=2，故點坐標為（-1，-2）．易求坐標為（1,4）．、求法類似，下求：已知PN=1，PM=2，設CN=a，BM=b，由相似得：，即ab=2，由圖可知：b-a=3，故可解：，（舍），對應坐標為．類似可求坐標為．

【思】（1）拋物線：，直線AC：y=3x+3；（2）看圖，M點坐標為（0,3）與C點重合了．（3）考慮到AC為直角邊，故分別過A、C作AC的垂線，與拋物線交點