中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（三角形）

今日奮發(fā)拼搏，明日獨(dú)占鰲頭，舍我其誰！第中考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)三角形1．在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，DC，延長DC到點(diǎn)E，使得CE＝DC．（1）如圖1，延長BC到點(diǎn)F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；（2）連接AE，交BD的延長線于點(diǎn)H，連接CH，依題意補(bǔ)全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．已知，，．（1）如圖1，平分，求證：四邊形是菱形；（2）如圖2，將（1）中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于，，的延長線相交于點(diǎn)，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，將（1）中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于，若，求的度數(shù)．3．如圖1，在中，，，點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)．（1）分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①點(diǎn)在線段的延長線上且；②點(diǎn)在線段上且．（2）若．①當(dāng)時(shí)，求的長；②直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段長度的最小值．4．綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．獨(dú)立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，延長CA至點(diǎn)E，使CE＝BD，BE與CD的延長線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可求．該小組提出下面的問題，請你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長．”5．【特例感知】（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在BO的延長線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數(shù)量關(guān)系是；【類比遷移】（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由．【方法運(yùn)用】（3）如圖3，若AB＝8，點(diǎn)C是線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，AC＝3，連接BC．①若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是；②若以BC為斜邊作Rt△BCD（B，C，D三點(diǎn)按順時(shí)針排列），∠CDB＝90°，連接AD，當(dāng)∠CBD＝∠DAB＝30°時(shí)，直接寫出AD的值．6．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊．求證：BD＝CE；（2）解決問題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．7．如圖，△AOB是等邊三角形，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）．P是直線AB上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為D，交AO于點(diǎn)E，連接AD，作DM⊥AD交x軸于點(diǎn)M，交AO于點(diǎn)F，連接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．①求m值最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；②是否存在這樣的m值，使BE＝BF？若存在，求出此時(shí)的m值；若不存在，請說明理由．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)、速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．PQ交AC于點(diǎn)F，連接CP，EQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當(dāng)EQ⊥AD時(shí)，求t的值；（2）設(shè)四邊形PCDQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．9．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；（2）①當(dāng)a＝b時(shí)，求∠ECF的度數(shù)；②當(dāng)a≠b時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．10．【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．（1）求的值；（2）延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．11．將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)，并與軸的正半軸相交于點(diǎn)，且，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在第一象限．設(shè)．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)時(shí)，求的大小和點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，，分別與邊相交于點(diǎn)，，試用含有的式子表示的長，并直接寫出的取值范圍；（Ⅲ）若折疊后重合部分的面積為，則的值可以是.（請直接寫出兩個(gè)不同的值即可）．12．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，分別為，，上的點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，．若，，，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，與交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，平分，，求的長．13．如圖，在銳角中，，點(diǎn)，分別是邊，上一動(dòng)點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)．（1）如圖1，若，且，，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．在點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）若，且，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接．在點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段取得最小值，且時(shí)，請直接寫出的值．

冠市聯(lián)合學(xué)校2022-2023學(xué)年中考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)三角形參考答案1【解答】（1）證明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由題意補(bǔ)全圖形如下：CD＝CH．證明：延長BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．2【解答】（1）證明：，，，，，平分，，，，四邊形為平行四邊形，，平行四邊形為菱形；（2）解：，理由如下：，，，，，，，；（3）解：如圖3，在上取點(diǎn)，使，連接，在和中，，，，，，，，設(shè)，，則，，，，，，，，，即．3【解答】解：（1）①，理由如下：，，，，，，，；②，理由如下：如圖：，，，，，，，，，，；（2）①過作于，如圖：，，，，即，，，設(shè)，則，在中，，，，即，，，，，，，即，；②作的中點(diǎn)，連接，如圖：，是斜邊上的中線，，，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)，，，，，，此時(shí)，答：線段長度的最小值為4，法過做于，過做于，如圖：，，，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，．答：線段長度的最小值為4，4【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠ADC＝∠ACB，∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，∴∠ACD＝∠B；（2）解：結(jié)論：BH＝EF．理由：如圖2中，在CB上取一點(diǎn)T，使得GH＝CT．在△BGH和△DCT中，，∴△BGH≌△DCT（SAS），∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，∵∠CDT+∠FDT＝180°，∴∠GBH+∠FDT＝180°，∴∠BFD+∠BTD＝180°，∵∠CFE+∠BFD＝180°，∴∠CFE＝∠BTD，在△CEF和△BDT中，，∴△CEF≌△BDT（AAS），∴EF＝DT，∴EF＝BH；（3）解：如圖3中，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FQ⊥BC于點(diǎn)Q．∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∵AC＝2，AB＝4，∴AD＝1，BD＝CE＝3，∴AE＝1，BE＝＝＝，∵∠CAB＝90°，∴BC＝＝＝2，∵S△CEB＝?CE?BA＝?EM?CB．∴EM＝，∴CM＝＝＝，∴BM＝BC﹣CM＝2﹣＝，∵S△BCD+S△ADC＝S△ACB，∴×2×DN+×1×2＝×2×4，∴DN＝，BN＝，CN＝CB﹣BN＝2﹣＝，設(shè)BF＝k，∵FQ∥EM，∴＝＝，∴＝＝，∴BQ＝k，F(xiàn)Q＝k，∵DN∥FQ，∴＝，∴＝，∴CQ＝k，∵BQ+CQ＝2，∴k+k＝2，∴k＝，∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝，∴BH＝EF＝．5【解答】解：（1）AD＝BC．理由如下：如圖1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，故答案為：AD＝BC；（2）AD＝BC仍然成立.證明：如圖2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，即∠BOC＝∠AOD，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC；（3）①過點(diǎn)A作AT⊥AB，使AT＝AB，連接BT，AD，DT，BD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，∴△ABC∽△TBD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝3，∵AT＝AB＝8，DT＝3，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以T為圓心，3為半徑的圓，∴當(dāng)D在AT的延長線上時(shí)，AD的值最大，最大值為8+3，故答案為：8+3；②如圖4，在AB上方作∠ABT＝30°，過點(diǎn)A作AT⊥BT于點(diǎn)T，連接AD、BD、DT，過點(diǎn)T作TH⊥AD于點(diǎn)H，∵＝＝cos30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，∴△BAC∽△BTD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝，在Rt△ABT中，AT＝AB?sin∠ABT＝8sin30°＝4，∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，∵TH⊥AD，∴TH＝AT?sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT?cos∠TAH＝4cos30°＝2，在Rt△DTH中，DH＝＝＝，∴AD＝AH+DH＝2+．6【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：如圖：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴DE＝2CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．7【解答】解：（1）∵△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，AD＝OD，∴∠DAO＝∠AOD＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，∵AC⊥y軸，∴∠CAO＝∠AOB＝60°，∴∠CAD＝∠ACO﹣∠DAO＝60°﹣30°＝30°，在Rt△AOC中，AC＝OC?tan∠AOC＝＝1，OA＝2AC＝2，在Rt△ACD中，AD＝＝，∴DO＝，∴D（0，），當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上時(shí)，OD＝OA＝2，∴D（0，2），故答案為：（0，）或（0，2）；（2）①設(shè)OD＝x，則CD＝﹣x，∵∠ACD＝∠DOM＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵DM⊥AD，∴∠ADM＝90°，∴∠ADC+∠ODM＝90°，∴∠CAD＝∠ODM，∴△ACD∽△DOM，∴，∴＝，∴m＝x?（）＝﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x＝時(shí)，m最大＝，∴當(dāng)m最大＝時(shí)，D（0，）；②如圖，假設(shè)存在m，使BE＝BF，作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，∵BE＝BF，∴GE＝GF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝OB，∴AG＝OG，∴AG﹣GE＝OG﹣GF，即：AE＝OF，由①知：m＝x，∵∠ACD＝∠CDQ＝∠AQD＝90du3，∴四邊形ACDQ是矩形，∴AQ＝CD＝﹣x，在Rt△AEQ中，AE＝＝＝，∴OF＝AE＝，在Rt△OFH中，HF＝＝，OH＝OF＝﹣x，∴DH＝OD﹣OH＝x﹣（﹣x），∵HF∥OM，∴△DHF∽△DOM，∴，，∴＝，∴x＝，∴m＝＝2﹣＝．8【解答】解：（1）如圖：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，∵EQ⊥AD，∴∠AQE＝∠AED＝90°，∵∠EAQ＝∠DAE，∴△AQE∽△AED，∴＝，即＝，∴AQ＝，∴t＝＝；答：t的值為；（2）過P作PN⊥BC于N，過C作CM⊥AD于M，如圖：∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，∵∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠CAM，∵∠ACB＝90°＝∠AMC，∴△ABC∽△CAM，∴＝，即＝，∴CM＝，∴S△ACD＝AD?CM＝×5×＝8，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，∴△PBN∽△ABC，∴＝，即＝，∴PN＝t，∴S△BCP＝BC?PN＝×3×t＝t，∴S＝S四邊形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ＝14﹣t﹣（5﹣t）?t＝t2﹣t+14；答：S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是S＝t2﹣t+14；（3）存在某一時(shí)刻t，使PQ∥CD，理由如下：過C作CM⊥AD于M，如圖：由（2）知CM＝，∴AM＝＝＝，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，∵PQ∥CD，∴∠AQP＝∠MDC，∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，∴△APQ∽△MCD，∴＝，即＝，解得t＝，答：存在時(shí)刻t＝，使PQ∥CD．9【解答】解：（1）線段AE，EF，BF組成的是直角三角形，理由如下：∵AM＝AC﹣CM＝4﹣a，BN＝4﹣b，∴AE＝，BE＝，∴AE2+BF2＝2（4﹣a）2+2（4﹣b）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），＝4，∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝[4﹣（4﹣a）﹣（4﹣b）]，∵ab＝8，EF2＝2（a+b﹣4）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+16+2ab）＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），∴AE2+BF2＝EF2，∴線段AE，EF，BF組成的是直角三角形；（2）①如圖1，連接PC交EF于G，∵a＝b，∴ME＝AM＝BN＝NF，∵四邊形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG＝90°，∵CM＝CN＝PM＝PN，∴PE＝PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2＝AE2+BF2，EF2＝PE2+PF2，∴PE＝AE＝PF＝BF，∴ME＝EG＝FG＝FN，∴∠MCE＝∠GCE，∠NCF＝∠GCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECG+∠FCG＝；②如圖2，仍然成立，理由如下：將△BCF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACD，連接DE，∴∠DAC＝∠B＝45°，AD＝BF，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAB＝90°，∴DE2＝AD2+AE2＝BF2+AE2∵EF2＝BF2+AE2，∴DE＝EF，∵CD＝CF，CE＝CE，∴△DCF≌△FCE（SSS），∴∠ECF＝∠DCF＝．