國內(nèi)量子力學(xué)-版習(xí)題解答

第一章量子理論基礎(chǔ)T成反比，即mT=b（常量并近似計算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。 vdv

c3

ekT

dv 以 vc vdvvd 有 dcd

v()8hc ekT這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度本題關(guān)注的是λ取何值時，取得極大值，因此，就得要求

對λ階導(dǎo)數(shù)為零由此可求得相應(yīng)的λ的值m但要注意的是還需要驗證對λ的二階導(dǎo)數(shù)在m處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就 '

5

hc

hce

1

kT 5

hckT

1

x=

5(1

kT)kTkT5(1ex)T xkx

在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。 P如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（Ec2E如果我 的是相對性的光子，那

p23eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即0.51106eV，因此利用非相對論性的電子的能量——動量關(guān)系式，p2e2e22c2e1.24m20.51106

0.71109hc1.24106eVec20.51106e22c2eE3kT（k為玻耳茲曼常數(shù)T=1K2 根

1kK103eVE3kT3kK1.5103eV 核顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于c2核22c2E核m23.7109

0.37109核c24931106eV3.7109核2c22c2B已知外磁場H=10T，玻爾磁子M 隔△E，并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。B 玻爾——索末菲的量子化條件pdq運動軌道積一圈，n是正整數(shù)。k，諧振子質(zhì)量為μ，

E222(E2(E1kx22

12E1k

x2(E1kx22(E1kx22

2(E1kx2)dx2 x2(E1kx2)dxx2(E1kx2)dx

2(E1kx2)dxn kx k

22Ecos222Ecos2dkn kk2

cos

2kk22E

cos2d 2kkkk

B2

2E

ABAB

22Ekkkk22E2kEkE

d2E cos2d

這里=2θ，

2kkE cosE2

dsink

（2，便有

kAk

k nk2k Enk其中h

nhkR

p qBR22 qBR2p又因為動能耐E ，所以，E

q2B2 qBnnB nBNBM

qT=4K

E1091024J91023E3kT21kK103eV1.61022T=100K

E1.541.61022J9.61022E1.51001.61022J2.41020 eEhvce

Epchcc2 e c2e1.240.511062.410122.4103

i J

i

i

i

i

*

i*

J與t

1r

1r從所得結(jié)果說明1表示向外的球面波，2表示向內(nèi)(即向原點)的球 J1和J2只有r分

1

r0r

rersin

J1

2m

1*1

11*11i[12m

r

eikr)

1eikr

r

i[1(12m r

1)r

1( r

rk kmr2r0mr3 J1與r同向。表示向 的球面波

J2

i(

*

*i[12m

22 22

eikr)

1eikr

i[1(12m

1)r

1(

1rkmr2

kmr3可見，J2與r反向。表示向內(nèi)(即向原點 的球面波補充：設(shè)(x)eikx*dxdx∴波函數(shù)不能按(x2dx121，xU(x)，0x，x解：U(x)與tS—2d2 U2mdx2

d

EⅠ：x

2mdx21(x)U(x)1(x)E1 2dⅡ：0x

2mdx22(x)E2 2dⅢ：x

2mdx23(x)U(x)3(x)E3 由于(1)、(3)方程中，由于U(x)1(x)2(x)d2

dx

2

(x)令k22mE

d

kdx2(x)AsinkxBcos

2(x)④2(0)1 2(a)3 ⑤⑥Asinkaka

B

(x)Asinn

Asinkaa2

(x)2dx2 0

xdxa由2aA2a

ab a

xsina

xdx2

(x)

sinnx2ak22a 2 En2ma2

En2a iE2an(x,t)n

sinnxe a

0x

x

x#a 證明（2.6-14）Aa

Asinn(x

x （2.6-

x

2dx

A2sin2n(xa)dxaA2a1[1cosn(xa

aa

A2

2a

(xaA2a

2

a

n(xa aa∴歸一化常數(shù)A a212解：(x) 2xe1(x)

(x)242x2e2223

x

d d1(x)0

[2x

2

x

x

x由1(x的表達(dá)式可知，x0x時，1(x0d2

2而

[(262x2)22x(2x22x3)]e4

2x

4x

d2(x)

x2

x1

是所求幾率最大的位置。在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：U(x)U(x22 2 U(x) E 2x以(x22 2( U(x)( E( 2利用U(x)U(x22 2( U(x)( E( 2比較①、③式可知，(x)和(x都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)

(xxx(x)c④由③再經(jīng)xx⑤

(x)c(x)(x)c2(x)c2c當(dāng)c1時，當(dāng)c1時，

(x)(x(x(x)(x(x

U(x)U(x時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。

x

x運動，求束縛態(tài)0EU0的能級所滿足的方程。S-方程為2d2

2

U(x) E按勢能U(x)2d2Ⅰ：2dx21(x)U01(x)E①

x2dⅡ：

ax2②

2

E22d2Ⅲ：2dx23(x)U03(x)E3③

axⅠ：2(U0E) 2

2E Ⅲ：2(U0E) 2 令k22(U0 k2 2則Ⅰ：k2

2⑦

k2 Ⅲ：k2 1Aek1xBe12Csink2xDcosk23Eek1x31()有3()有

AE1Be133 (a)(a),Be

Csink2aDcosk

(a)(a),kBek1akCcoskakDsink

(a)(a),CsinkaDcoska

(a)(a),kCcoskakDsinkak

整理(10)、(11)、(12)、(13) ek1aBsinkaCcoskaD0 kek1aBkcoskaCksinkaD000sinkaCcoskaD 0kcoskaCksinkaDkek B、C、D、F，進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組

1k1

k

k

1 1

k2cosk2

k2sink2

kBe0

k2cosk2asink2ak2cosk2

k2sink2acosk2ak2sink2

ek1a1k11k1

k2cosk2

cosk2ak2sink2

ek1a1k112ek1a[k12

ek1acos2

ak2ek1asin

2acos

2a222222

ek1asin2

ak2ek1asin

2acos

2a]2 2kek1a[kek1asinkacoskakek12 2 kek1asinkacoskakek1a 12e2k1a[2k12

cos

ak2sin

ak2sin

2a]2122e2k1a[(k2k2)sin2ka2kkcos2k2122 1 ∵e2k1a∴(k2k2)sin2ka2kkcos

a 1 即(k2k2tg2ka2k

0 122解法二：接（13）22

2aDcos

ak2Ccos22222222

ak2Dsinka

2aDcos

ak2Ccosk

ak2Dsinka

2asink2

k2sink

2acosk2

2asink2

(k2sink

2acos

2a)(k2cosk(k2cosk

2asin2asin

a)(k2sink22a)(k2sink22

2acos2acos

2a)2a)(k2coskk

2asin

a)(k2sink2k2

2acosk

2a)k22sink21

2acos

a2sin222

a2cos222

2asin

2acos

2akk2(12)sink21

a2k2cos22

2a(k2k2)sin

a2kkcos

a #

1 (11)-(13)2kDsinkakek1a(B 2+(12)2Dcoskaek1a(B2(13)

2a

(11)+(13)2kCcoskak(FB)e 2(12)-(10)2Csinka(F2(11)(13)

2

a

令k2a，k2a，tg ctg

2Ua22(k2k2)

(f 2合并(a)(b)tg2k2a

2k1k2k

利用

2a

2tgk2a1tg2ka #（最簡方法-平移坐標(biāo)軸法UⅠ：2 UE

0 Ⅱ：2

（0＜χ＜2 Ⅲ：2

（χ≥2

U0 2(U0E)

2E

2(U0E

3 束縛態(tài)0E 1Aek1xBek112Csink2xDcosk23 Eek1xFek131()有限3()有限1Aek113 Fek13

BE1

(2a)(2a),kCcos2kakDsin2kak

(2a)(2a),Csin2kaDcos2ka

(7)代入Csin2kaDcos2kak2Ccos2kak2Dsin2kkk2kk22利用(4)、(5)，22

k1Asin2kk2

2aAcos

2aAcos

ak2Dsin2kak

k2)sin2k

2a2cos

2a]A(k

k2)sin2k

2a2cos

2a兩邊乘上(k1k2)即(k2k2)sin2ka2kkcos

a 1 # x UU(x)0U

0x1U1

ax

b S-方程為2d2

2

U(x) EⅠ：2U(x)

E

Ⅱ：2

U0 E

Ⅲ：2

U1 E

Ⅳ：2 E

對于區(qū)域Ⅰ，U(x)1(x)而.2(U0E) 2 2(U1E) 2 2E 對于束縛態(tài)來說，有UE∴k2

k22(U0

2k2

k22(U1

2k2 k22E/2 2 Aek1xBe23Csink2xDcosk24 Eek3xFek344∴Fek341(0)2

B2∴A(ek3xek3x2 (a)(a)A(ek3xek3x)CsinkaDcos (a)(a)Ak(ek3aek3a)CkcoskaDksink (b)(b)CsinkbDcoskb ⑨(b)(b)CksinkbDkcoskbFk kek1ae

aDcosk由⑦、⑧，得

2kek1ae2

Csin

2aDcosk2a由⑨、⑩得(k2cosk2b)C(k2sink2b)D(k3sink2b)C(k3cosk2(k2coskbsinkb)C(k2coskbsinkb)D

kk kk

ek1aeek1ae

k1k2(sink2acosk2a)C(cosk2asink2a)D(k2cosk

2bsin

(k2sink

2bcos

2b)(sink2acosk2 (cosk2asink2即(cos

2asin

a)(k2cosk

2bsin

2b)(sin

2acos

2a)2(k2sink2

2bcos

2b)k2cosk

2bcos

ak2sink

2bsin

2asin

2bcos

2a2sin2

2bsin

ak2sink

2bsin

ak2sink

2bcos

2a)22cosk2bsink2acosk2bcosk2a22sin

(ba)(k2)cos2k2

(ba)((k

1)

(ba)(1k2k

(k2k

kek1ae kek1ae

(ba)(1

(2 )k3 ek1aek3

k k

ek1ae此即為所要求的束縛態(tài)能級所滿足的方程#

bk2k3k1(os

k1bebk3(e

e

keka1

ka[ a此即為所求方程。1

(x)

122

(為常數(shù)A= 2

21A

1ey2dyA2

利用ey2dy ∴A2

12設(shè)基態(tài)的經(jīng)典界限的位置為aE12a210∴a

1

e2x2dx

e2x2

(0

e2x2

e2x2e(x)2d(ey21[ey2dy

ey2

2 2

2et2/2

（令y1xx22式中122

et22dt為正態(tài)分布函數(shù)(x)1

et2/2x

2時的值

2)。查表得

2)∴

2(10.92)∴在經(jīng)典極限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為0.16 3、試證明(x)

12x3e3

(23x33x)是線性諧振子的波函數(shù)，并求此

d(x)22

12

2x2(x)E 把(x)代入上式，d(x)d[

12x3e3

(23x3

3123 312x3 e (25x493x2333

12xe

(25x493x23

dx33

12x2

(25x493x23)

12x2

(85x318(4x272

1e3

(23x3d把

(x)代入①式左邊，22

d2(x)dx

12

2x2

(x)22

22

x2(x)

12

2x2

4

27

(x)

）x(x)

x7(x)12x2(x)12x2 7(x)EE7=右邊。n2(x)72

12 3 3

(23x33x)，是線性諧振子的波函數(shù)，其對t2x2it一維諧振子處在基態(tài)(x)

勢能的平均值

12x22p動能的平均值T 解：(1)

12x212

x2e2x2 1214

22

1

1

12 2135(2n 0x2neaxdx2n1ap

T22(x)?

12e

(

d2

12 22(12x2)e2x22[e2x2dx2x2e2x2 2[222[

23

22

14

TEU111 c(p)c(p)*(x)

12xe

ie

122

ie 2 12(xip 22 2

222 12 ( e2 e

2 e222

1e21(p)c(p)2

#303.2.氫原子處在基態(tài)(r,30

er/a0re2e勢能 的平均值r解：(1)r

r(r,,)2d 2re2r/a0r2sindrd0 a3000 r3a2r/a0a3a00xneaxdxa3

3 202a0

2

2r/

U

3)

0rsindrd a0

0

2r/0a300

0

rsindrd4e22r/a30a0 a3

ra02 a0(3)r+dr(r)dr2[(r,,)]2r2sindrdd

4e2r/a0r2(r)

a3a0a34e2r/a0r2a3d(r)

4(2a3 a3

re2r/令d(r)

r1

r2

r3d2(r)dr

4(28ra3a3

2ar20ar2

2r/dd

a30a3

e2∴ra0(4)T?

?

2221(r2)r21 sin(sin) sin22 2

r/ r/ 3T3

0

0

sindrd2

0

2

r/a01 2

r/ 0200

0a3

2r2 2

sindrd4

r/00 00

0(2r a0a402a0c(p)c(p)(r)(r,p

a(24

a0)4

02a0c(p)

3/2

r/a0r2

ipre

sind1 1330

ipr(2)3/(2)3/230

r

r/a0 e0i

d(cos r2er/a0dreprcos0(20

i

0i(2)3/2(2)3/230

r/a0(e

e

0xneaxdx

30(2)3/30

ip(

i

(1i

2a33

p20 a0(a220 a40 0002a3300

(a2p22)2(2a)3/2 0(a2p220(p)c(p)

020#

p22JJ

Jeee

22 JeeJe2(nmnmnmnm

1 errreersin 式中er、e、e

1

1 nm(errreersin)nmie

1 2[er(nmrnmnmrnm)e(nmr

1

)

nmr

nm

nm

nm中的r和

2

2 Je2rsin(im

imnm

rsinnm2JerJe2

#

(SIMM

(SI z

解：(1)dMiAJedS

（iA為圓周所圍面積

2

2

(dSrdrdM dM

em

0em

0

2

2

0

(SI在CGS

MMzM

(SIMz

一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I它的能量的經(jīng)典表示式是H L為角動量解：(1)ZZL2Z 1

2d

H2I

2Id其本征方程 ?22 2( E2Id d2()2IE令m22IE2

d

d2()d()

m2()m可正可負(fù)可為零(2)()eim(2) ei2m∴m=m2轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為Em

(m=可見能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜 定態(tài)波函數(shù)m mA12*dA22dA21 m 1A11m

m=0?

1?2??2Y(式中Y(,?E為其本征值?2Y令2IE2?2Y?2L22( (0,1,其波函數(shù)為球諧函數(shù)

(,)N

Pm(cosE 可見，能量是分立的，且是(21#t=02(x)A[sin2kx1cos22解：(x)A[sin2kx1cosk2A[11(ei2kxei2kx) A2[ei0x1e2pn的可能值為

p動能n的可能值為

2k

2k22 ( ( AA2A41n4n A1

2 4 ) pppnn22k2

pp ppnT nn n0

2k

128

k2

185k2#Axex(x)

當(dāng)x其中0

當(dāng)x1(x)2dxA2x2e 1∴A23/(x)23/2xe(x)

(x

(xc(p) eikx(x)dx(1)1/223/2

xe(ik)x((

)1/2

e(ik)x

e(ik)x

ik(

)1/

(

)1/

(

p(p)c(p)

)p2)

23

(22p2p*(x)p?(x)dxi43xexd(ex i43

x(1x)ei43(xx2)e#

1)3.8.在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函(x)Ax(a描寫，A2a2a(

sinnx,

0xax0,

xEn

n222a

(nn動量的幾率分布函數(shù)為ECnC*(x)(x)dx

asin

x(

先把x001(x)2dxaA2x2(ax)dxA2ax2(a22axx200A2a(a2x22ax3x405A2(53

a2

a5

a)A2 a∴aa∴a

sinaa

xx(a2a215[aaxsinnxdxax2sin2a

a 22 [ xcosnx 22

3sinnx3

x2cosna2a

0xsinnx0

n2 a an2

n3415[1(1)nn3∴(E)

2

[1(1)n n6

，nn6

0，n

4,6, ?E(x)H(x)dx0(x)2(2a30x(xa)[2

x(x0a

2dx302ax(xa)dx302(a3a3a 5a

a 3.9.(r,,)1

(r

(,)

32

(r

(,Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率e eE s s (n 22n2 8L2(1)2ZLZ10LZ2

(1 L1033 3.10U(r)

ra;ra解：據(jù)題意，在ra的區(qū)域，U(r)，所以粒子不可能運動到這一區(qū) (ra由于在raU(r)0。只求角動量為零的情況，即0，這時在各個方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度、向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與r有關(guān)，而與、無關(guān)。設(shè)為(r，則粒21 2

)2r 令U(r)rE

k22E2

ddr

k2uu(r)AcoskrBsin(r)AcoskrBsinrA=

(0)∴(r)Bsinr(a)0

Bsinkaa∵B

∴kakan22

(n En

2a(r)Bsinn B010

da(r)2r2sin004aB2sin2nrdr2aB00 1212 12sinn12sinn#3.11.求第3.6題中粒子位置和動量的測關(guān)系(x)2(p)2解 pp22

5k24x

A2x[sin2kx1coskx]2dx0x2

A2x2[sin2kx1coskx]2dx2(x)2(p)2(x2x2)(p2p2)(x)

)1/2exp[

p0x

x式中為常量。當(dāng)粒子的動量平均值，并計算測關(guān)系(x)2(p)2解：①先把xx

x111

22dx

(22)d(x∴2

1

( /

22)1/

(x)

exp[p0x

x2

0 ii

0

p0

x)ex20 ex2dxi0

xex2 (x)2(p)2x*xdxxex2

（奇被積函數(shù)x2x2ex2dx

xex2

ex2010

2 d

ipxx2d

ipxxp2

dx e

e p2p2(0)i2p0

xex2dx22

x2ex2 02(0)0(220

( 2p2)(x)2x2x2(p)2p2p2(2p2)p2 (x)2(p)2121 #利用測關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能量r由 關(guān)

4

4Rpp又 (p)2p2p所 p

4R

p22R2P e2

E

s 則 E

2R

REE

sR得E

sRsE

2

T??

100

(

3/2

ra/

e s0 02T? 1[2

(r

) 22

) 2r2 e

sin2Ur 21

2T1002r2r

1(

)3/2r

(r

er/a0 0 0

13/

r/

0 0常數(shù)

a2 ar

002a 00

eser

?

e 而(TU

100

)3/2

aar aar

r/a0sr

21

2

202a0

a0

a0

2102a0

可見，100是(T?U?的本征函數(shù)L

6，L的氫原子中的電子，在

45和1352解：Wm(,)d ∴ (,) L 6，L的電子，其2,mY21(,) (,)

sincosesincose (,) 215 當(dāng) 和5W21

為最大值。即在45，135在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在0

15試證明：處于1s，2p和3da04a0和9a0的球殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大a0為第一玻爾軌道半徑)1sn

(1)3/2ea0W(r)r2R2(r)(1)34r2e2r/

(1)34(2r

2r2)e2r/ 令W10

r2

r3易見，當(dāng)r10,r2時，W100

(a0)

4e21sr00

2p態(tài)的電子n

(0 0

(r)r2

(1

r)3 00W21

00

r3(4

r)er/令W21

r

r

r 易見r10,r2時，W210為最小值 r

00

r2(128r

ra220a22

r/ ∴r4a0為幾率最大位置，即在r4a0的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最3d

n

R3222 22令W32

W32

r2

r3易見，當(dāng)r10,r2時，W320 r

081215a0

(15r2a∴r9a0為幾率最大位置，即在r9a0的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最U(x)U0

xx

(在金屬外部其中U00，求電子在均勻場外電場作用下穿過金屬表面的透射系數(shù)。解：設(shè)電場強度為，方向沿χ軸負(fù)向，則總勢能為V(x)e (x0)V（x）U0e

（xDexp[2

exEx10x2p∴

2(U0ex2(U0ex令xU0Esin2x12x

xE)dx0

U0E2sin2d2(U02(U0E

cos32

2(U

E 30322U0 2(UE0Dexp[

U0

E)]①4x

d

nn ③Kd解：①4x2 是線性算4x

dx2(c1u1c2u2)4

dx2(c1u1)4

ddx2(c2u22c142

dx2u1c24

ddx22不是線性算[cucu]2c2u22ccu

c2u21 2 c[u]2

122[u22

121 2nn③K

c1u1c2u2c1u1c2u2c1u1c2K

K

K

K

Kd id

d4dx解：*ddx*

d*

- 當(dāng)x，0， *ddxd*dx(d)*

(d)* d不是厄米算符*

ddx

*

ii

d*

d

-dx

id

(*)id

d

d

d*

* dx4

-4 dx

d*ddx4d*4

222 *dx(4

)*dx d

4dx2是厄米算符d7dx2①x2 ②ex ③sinx ④3cosx

ddx2

(x2)d xdx2d②

exe d edx21d③dx

(sinx)

d(cosx)sinxd sinxdx2的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1d④dx

(3cosx)

d(3sinx)3cosx(3cosx) 3cos

ddx2的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1d⑤dx

(sinxcosx)

d(cosxsinx）sinxcosx(sinxcos∴sinxcosx

ddx

的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－18、試求算符

d ieixd

diFeixdxd

d)d(Feixd lnFeix

lnceFeix（?是F的本征值解 U(x)

x2x2方程（分區(qū)域Ⅰ(xa2

U(x)

I(x)

∴

(x)

(xa22dⅡ： II2dxd II

2E k2d IIk dx

Asin(kx

(a) a

(a)aII

Asin(kx) A sin(kx) ka0 2

k2

(x)Asink(xa2∴ka

Asinkasinkaka

(n1,2,Asinn(xa

x

(x)

x22E2

k

n22k

(n1,2,3,

1(x)2dA2a/2sin2n(xa a/ A2a/

a/2 A2aA2a/2cos2n(xa a/ aA2A2

sin2n(xa)2a2

222a∴A2a 2a sinn(xa2a

x(x)

x2別為a04a09a0的球殼處的幾率最（a0為第一玻爾軌道半徑。1s

(r

dr

2r(1)34e2r/a0r2dr

(r)(1)34r2e2r/a

4(1)3(2r

r2)e2r/8(1)3(1

r)re2r/ d100，則d

r111

r11 dr

)3[(1

r)

(1

2r/a08(

)3(1

2ra2a0

)e2r/a0dd d

∴

0 dr

∴r11

2p

21(r)dr

2r

1

)3

r03a0

er/

0r

(r)

)3

r03a0

er/

024a0

(4a22a22

r)r3er/d 21dr d210，則

00

(18r

r）r2e

r/a0d

r21

r22 dr

r22

r224a0當(dāng)0r4a0d 10

r03d

(r)

2 2

00

r

d d320，

00

(5

)r

r31 r32

r310r329a0212解：1x

2xe2

21(x)1( x

4

(x

2x

4

(1

2x

dd dx令d10

4

d

x10，

1

dxd

x1

0

x101 dx

x0 0

0

x2

306．設(shè)氫原子處在(r,,30求re②勢能 的平均值r

era0的態(tài)（a為第一玻爾軌道半徑r1r3e2radrsind2000a 0 1321(a0)3(a0)0 032e

0②se20re

a

a

rea0aas4(0)(0a12

0eU1

當(dāng)xUU2U

當(dāng)0x當(dāng)xEU1U22Uka2U（其中2dⅠ： IU

(x2dx 1 2dⅡ： II

(0x2dx 2dⅢ： IIIU

(x dx

2

令

2(U1E)2

k 2E2

2(U2E)2dⅠ： I dx dⅡ： IIk dx d

III

III CexDe

Asin(kx CexDe x—

I

0,D1x

0,C2

C11

Asin(kx22

DeI(0)II(0)C1①② (a) (a)Asin(kx)De (a)(a)kAcos(kx)De tg⑤tg(ka)⑥而tg(ka)tgka1tgka把⑤、⑥代入，得tgkatg1tgka k

tgka kk令tg

tg(nka) 1kktg(nka) tg()1k nkakan1tg21tg2

22k

1(k21(k2k2Uk1k1(k

kan

2U13、設(shè)波函數(shù)x)sinx，求[(d)x]22U

d]ddddddd)x][sinxxx][x][xcos(sinxxx)x(cosxcosxx)x(xsinx2xcos14????)1證 1

*(??

2d

*?

2d

*

112(?1)*d2(B?1)*112[(??)1]* ??15??

②1(??

x?)

*(?

x

2d

?(

11??11因 ?? ?

②*1?? ?

d1*(??)d

?1[2(

2

2 1(2

d

(?

1?? ?x?))]*[2( 1???

)]*[2(px

1(??

x?)是厄米算符 證

17

?x?x?x?x??x?x??z?x?x?z??x?x???z??y)??x??z??y??z?x??y?x?x??z?x??y??z?x??y?x??z?x??y?x=??x?x?(??x??z)??x(??x??z??????????? z ?????????? z ??x?x?)?z?z?x?x?z??y??x)??x??y??xxxx??yxxx

?

??

??y

?

??xxx??xxx

?

??

??y

??18

??x?x?)?y?x???x?????z???z??????z??y)????z??y??z???y????z???y??z???y???z???y=????(???z)?(??x??z??x???z????x??z?(????x?z???z??y??x)????y??x ?2?????2? ?(??x?x?4.1.LL2

)

(1

ipe y?p

iy)e (11

ipe (pi

iy)e

i3(2)e3

pz (i)(z

yzy

py

)e

i(i)(

z

py

（pp3e 3i(

yy

zyz(Lx)pp(Lx)pp(x)Lx

z

( p(11

ipe y?pyiy

i)2epr

i3(2)3

p y?

y?

y)e (1)3

ip y?

zyz

ypzy

ip)e p(i)(

zyz

ypzy

)(1

ipe y?p

iy)e

i2(

y

pz

)2

（pp3e 3z2(

)2

zyz#

yzy

( pun(x)

sinnx2a222aEn

2a

a2xsin2mxdx 0 m

2a(sinmx)x(sinnucosnudu1cosnuucosnudu1cosnuusinnunn1axcos(mn)xcos(mn)a

1 a

(mn)x

(m a (m

(m

(m a[(mn)22

x(mn)

x] 0a(1)mn

(m(1)mn

(mn)22(m2n2

*(x)?u

(x)dx

a2sinmx

sinn

0

i

asinmxcosna i

asin(mn)xsin(mn)ain

a

cos(mn)x

acos(mn)aa2(m

(m 0ina (1)mna2(m (mn)

(m2n2sinmucosnuducos(mn)ucos(mn)u2(m2(m#22122

d

C(p,t)

pC(p,t)EC(p,t)2即2

2

122

d

C(p,t)(E

p)C(p,t)0 1

ddp

C(p,t)(

p

)C(p,t)令

p 1111d

C(p,t)(

)C(p,t)2En(n1212 iEnC(p,t)Nne Hn(p)enNnN( )1/ 1/22n#4.4.?

?

1

2

2

1

2x2 2 H*

1

i

2

i2

(2x

2x2)e 2( (

p)21

i(pp)e

dx

121

i(pp)x2e 2

2

2

(pp)

121

(

i(pp)e e

2

1

22i(pp)

(pp)

2(

2 p2

(p

p)122

(ppp (pp)

22 #

( ? L

2L 2 2

0i2 2001 001

00i 00i Lx和LyLx222002 22

3?x?x

10，2，3a1 a1 1a2a2a1

3

a3a其中

xZ??2xZ

3當(dāng)10 0a1 21 1a22

0a

3 aa0aa2 3 2 1 1 ∴0 a 1 1 (a*,0,

2a

a1) a12取a112

1 0 0

?0 12 2 當(dāng)2 a1 a1

a2a20 2 22 2 1 1

0a30a

a3aa∴

2a1

1 1 1(a*

2a*,a*)2a4a1取a11

1 1 a a∴歸一化的

1?的本征值 2 2 2 當(dāng)2時， a1 a1 1a2a23 03

a3a

1 a1

a22 2

a3a2a22 2

a3 a1 1 ∴

2a1

1 1 1(a*

2a*,a*) 2a41取a11

1 1a a

1?的本征值2 2 ?2和?? 22S

122 22111 111 222 222x x

SL

22 221 122 22

22

2 12222211

2 221 222202 02

0 02 2020 020

0 0??y1

2

2 2

2 i2

i 1

2 1 2 2 2 2 2 ?2? 11 11 10122 22

S

12 2 22 1 1 222222 222222 ?y 0

S

yS 0y00 00# J

J J

(2**2 (*TT解：這種分布只對rr0的區(qū)域有影響，對rr0?U(r)U0其中U0(r)是不考慮這種效應(yīng)的勢能分布，

U(r為考慮這種效應(yīng)后的勢能分布，在rr0U(r)

在rr0U(rU(r)er

Ze4r3

(rr4r

4r

4r E

04r0

0(rr0U(r)er0Edre

04r30

rdr

2 020 0

0(rr00

8r3(r0

)

8r3(3r0r ?U(r)

(r)8r3(3r0r)4

(rr0 000? ? 2

(rr0由于r0HZ

Z

10一級修正為（基態(tài)0)10

)1/2ea0E(1)(0)*H?(0) 3Z3

00

2Z0 00a02Z

8r

(3r2r2)

]e

∴r

，故e 1

Z4

2

Z4e2 ∴

2a3r3

(3r0rr)dra3

00 Z4

r(r50)

0Z4r2a3r 2a300 0 Z4 10a302Z4e2 sr0 0# 解：取Z

1H D

DH?(0)

??(0)E(())

1(1)

(0)

,) 0?(0E（0）00H0E(2)0

E(0)E H

Y*(Dcos

sind

1Y1Y*(cos)sindDY

sind

33

Y*

sind03D3H

D22 E(2)' '

2

D22 E(0)E

#設(shè)一體系未受微擾作用時有兩個能級：E01及E02?H12H21a，H11H22b；a、b都是實數(shù)。用微擾公式求能量E(1)H HE(2)' E(0)E E(1)H

E(1)H H

aE(2)' E E H

aE(2)' EE

EE1E01bE

a2EE2E02bE#

a2電場可以近似地表示為sint，及均為零；電離電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻t躍遷到電離態(tài)的幾率。

e4 e4 s 22

13.61.6

3.31015t03030

er/在t

m

i)3/2ep 微

r(eiteit

rr在tk a(tk a(t)1tH

eimkt i Fmkt(ei(mk)tei(mk)t F

ei(mk)t

ei(mk)t1mk

mk

mk ei(mk)t a(t) mWk

(t)2F2(eF2(ei(mk)t1)(ei(mk)t

)24 2 )2

i 其中 *F?

)3/

(e

)er/a0

z（p3030 取、p所在平面為xoz面，則 rxrx

y

z

(sin)(rsincos)(cos)(rcos rsinsincoscosrcosFmk

)3/

e

ipr11

(rsinsincosrcoscos

r/a030F30

)3/ 1302i130e

(rsinsincosrcoscos)er/a0r2sindrd00

2ipr )3/2 e

(cosr3cossin

r/a0drd302i030 e

ipr )3/2

r

r/a0dr[e

cossine

30 ip

ip

2 ip

ip 0ri2i20

r/a0

(e

e

)p2r2

e

ecos16 00

ia0 a(2a(0

p2))16pecos(a)7/ 08(a2p2204 k

2

)2128p2e22cos2a75sin21 02(a2p220#

)2

et/

當(dāng)t當(dāng)t0(為大于零的參數(shù)2p2p1m可取0,1

氫原子處在2p態(tài)的幾率也就是從100躍遷到210211、211的幾率之和 a(t)1tH

eimkt i H *H?

(? RY*e(t)rcosRY 取Z軸方向 21

10

2 (t)0

e(t)

2Y

13)Ysind1300 1313 e(t)1381fR*(r)R(r)r3dr81

0 3(

)3/2

)3/0

r

2a06a06a0

8113a 8113a H

? d

e(t)

36e(t)25636

2eH e

r

2 (t)0

2 *

=

3

(t)0

=

3由上述結(jié)果可知，W1002110

W100211 1t 1t

i t2 t2

212

128

(ea00

i21t

t

it222 it22當(dāng)t

2

0 2(128)2e2a2 1s2

2

0 其中

1

s

14

3

23 30#4e2 解

mk

1，知2s1s故只需計算2p1s

E2

3)

82

2p

210

z

zr

R*

(r)r3dr*cosY

13fY Y13

210,100

1311313(z)211,1000(z)211,1000x

xrsincosrsin(eiei2

1R*

(r)r3dr

Y*sin(eiei)Y

2

1f 2Y*(Y

316 f16

m1

m1

3sin 3sin1 (x)210,100

211,100 1616211,100 1616y

yrsinsin

1rsin(eiei)( 1R*1

2if

2 1i f1i

m1

m1(y)210,1006i(y)211,100 6i

(y)211,100 6if f 6i

(26

2

fR*(r)R(r)r3dr 81 81(1

32/ (1

r

81 81f2

2a0a4e23 212

3

s s)3 a 8

s

se2s 6

5.231010s0.52109 2p1s態(tài)時所發(fā)出的光譜線強度。J2p1sN2pA2p1s2128

3 s

2p

c36 2N2p

8

N2

0c34a02 22 1092

J21 解 Amk

x*x*

2 2由

1

2k

k2

k2mnk2mn

dx

1

2m,k

m,k1mk1

xmk

mmk 1 一維無限深勢阱(0xa)中的粒子受到微2 (0xaH(x) 2a解：基態(tài)波函數(shù)（零級近似）2a

2(1

x21(0)1

sinx

(0x1(0)1

(x

x E(1)

(0)*H(0)2a/22xsin2

xdx2a2(1x)sin2

aa a

aa/ 2[a/2x(1cos

x)dx

(1cos

a aa/a

x(1cosa

a/ a

[(1x2

xsina

ax4

sina

x)a/

0a(x0 asin2

(a/ (

x2

xsina

ax4

cosa

]a/]a

[1a28

a2

a2

(8

a2

a222a(a

a

)(2

22、具有電荷為q)135(2n135(2n a0

2q2 s

2I()②僅當(dāng)m1時，xmk0擇定則是m1

1q0

(e∴km

442q32042q

I(mk2 2 s

I xi

**

342q s

2I(

(xx 1/2 1/22n∴

n(x)222