微積分下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)第第117頁(yè)微積分下冊(cè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)第一章空間解析幾何與向量代數(shù)第一章〔一〕1234a(a

,a,ay z

)，b(b,bx y

,b)，z則abax

b,a

b,a

b),a(az

,ay

,a)；z5x2x2y2z2向量的模：r ；(x x)2(x x)2(y y)2(z2121z)22 1方向角：非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角,,方向余弦：

cos

y,coszrrrcos2cos2cos2rrrPr 投影：

jaacosu

，其中為向量a與u的夾角?！捕? 1、數(shù)量積：ab a b cosa2 a21〕aa 2〕ab ab0第第217頁(yè) ababx x

a b

ab

微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn) 2cab 大小：a b sin ，方向：a,b,c符合右手規(guī)章 1〕aa0 2〕a//b ab0 i j kab axbx

ay zby z

運(yùn)算律：反交換律baab〔三〕S

:f(x,y,z)02x2z2yoz C:fyz)x2z2繞y

f(y,

)0x2y2zx2y2

,z)03F(x,y)0

表示母線平行于z

F(x,y)0軸，準(zhǔn)線為z0 的柱面4〔不考〕微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)317頁(yè)a2b2xa2b2橢圓錐面：

z2a2b2a2b2橢球面：

y2 z2 1a2a2ca2a2c2旋轉(zhuǎn)橢球面：

y2 z2 1c2a2c2a2單葉雙曲面：a2xa2雙葉雙曲面：

y2 z2 1b2c2b2c2y2 b2c2b2c2a2b2a2b2橢圓拋物面：

y2 za2b2x2 ya2b2雙曲拋物面〔馬鞍面：a2b2a2b2橢圓柱面：

y2 1a2b2x2 ya2b2雙曲柱面：拋物柱面：x2

ay〔四〕F(x,y,z)01G(x,y,z)0x x(t) xacos t 2、參數(shù)方程：

y

，如螺旋線：yasin t z z(t) zbt3F(x,y,z)0

H(x,y)0 ，消去z ，得到曲線在面xoy 上的投影G(x,y,z)0

z0〔五〕1Axx0

)B(yy0

)C(zz0

)0n

AB,C)x,y,z)0 0 02AxByCzD0axa截距式方程：

yz1bc bc3nAB,Cn1 1 1 1

(A,B,C)，2 2 2AAAABBCC1 21 21 2A2B2C2111A2B2C2222

BBCC 01 2// 1 2

1 2 1 2 1 2A B C1 1 1A B C2 2 24P0

(x,y,z0 0

AxByCzD0的距離：AxAxBy00Cz0DA2B2C2〔六〕微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)第第517頁(yè)AxByCzD 01、一般式方程： 1 1 1 1A2

xB2

yC2

zD 022〔點(diǎn)向式〕方程：

xx0

yy0

zz0m n ps

(m,n,p)

，過(guò)點(diǎn)

(x,y,z)0 0 0xx0

mt3yy0ntzz0

pt 4s1

(m1

,n,p1

)，s2

(m,n,p)，2 2 2mmmmnnpp1 21 21 2m2n2p2 m2n2p2111222LL1

mm1 2

nn1

pp 01 2L//L1 2

m n p1 1 1m n p2 2 25AmBnAmBnCpA2B2C2m2n2p2L// AmBnCp0L

ABCm n p其次章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用其次章〔一〕1域，有界集，無(wú)界集。2zf(x,y，圖形：34

lim(x,y)(x,y)0 0lim(x,y)(x,y)

f(x,y)Af(x,y)f(x,y)0 00 05f(x,yx 0

)lim0x000x000

f(xx,y

)f(x,y)f(x,yy 0

)limy0

f(x,y0

y)f(x0y0

,y)06f f fl

xcos

ycos 其中,為

l 的方向角。 7zf(x,y)gradf(x,y0 0

)fx

(x,y0

)ify

(x,y0

j。zf(x,y)

dz

zdy8〔二〕

，則 x y1偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)11偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

2

偏導(dǎo)數(shù)存在4定義 23函數(shù)連續(xù)2〔有界性定理，最大最小值定理，介值定理〕3定義： u xz復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t假設(shè)zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，則 v yzzuzv

zuzvx u x v

，y u y v y隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程〔組〕〔三〕1zf(x,y的極值解方程組

fx0f y

求出全部駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x,y)，令0 0Af (x,y)，Bf (x,y)，Cf (x,y)，xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0ACB2ACB2ACB2ACB2

0A0，函數(shù)有微小值，0A0，函數(shù)有極大值；0，函數(shù)沒(méi)有極值；0，不定。zf(x,y在條件(x,y)0下的極值令：L(x,y)f(x,y) (x,y) ———Lagrange函數(shù)xL0x解方程組L 0 y(x,y)02曲線的切線與法平面xx(t)曲線:

yy(t)zz(t)

，則M(x0

,y,z0

〔對(duì)應(yīng)參數(shù)為t0

〕處的xx0

yy0 zz0x(t)

y(t) z(t)0 0 00x(t)(x0曲面的切平面與法線

x)y(t)(yy)z(t)(zz)00 0 0 0 0:Fx,y,z)0，則M(xyz處的切平面方程為：0 0 0F(x,y,zx 0 0

)(xx0

)Fy

(x,y,z0 0

)(yy0

)Fz

(x,y,z0 0

)(zz0

)0xx,F(xy0,

yy0z) F(x,y,

zz 0z) F(x,y,z)x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0第三章重積分第三章〔一〕〔一般換元法不考〕1

f(x,y)dlim0D

n

f(,k

)k2、〔6條〕34直角坐標(biāo) (x)y(x)D(x,y)

2axb ，f(x,y)ddy

dx

22

f(x,y)dya (x)D 1 (y)x(y)D(x,y)

2cyd ，f(x,y)ddyddy2(y)

f(x,y)dxD極坐標(biāo)

c (y)1 2D(,) 2

f(x,y)ddy

d2

f(cos,sin)dD〔二〕

()1123

f(x,y,z)dvlim0

n

f(,,k k

)vk直角坐標(biāo)f(x,y,z)dvdxdyz2(x,y)

f(x,y,z)dz

“先一后二” D z1

(x,y)

-------------f(x,y,z)dvbdz

f(x,y,z)dxdy

“先二后一”柱面坐標(biāo)

a DZ

-------------微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)第第1017頁(yè)xcosysin

f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz zz球面坐標(biāo)xrsincosyrsinsin zrcos

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd〔三〕1(z)2(z)2x1(z)2(z)2xyAD

dxdy第五章曲線積分與曲面積分第五章〔一〕12

f(x,y)dslimnL 0i1

f(,i

)si[f(x,y)(x,y)]dsL

f(x,y)dsg(x,y)ds.L2〕

f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds. (LL

L).L L L 1 21 2L上，假設(shè)

f(xyg(x,y)，則L

f(x,y)dsL

g(x,y)ds. dsl(l為曲線弧L的長(zhǎng)度)L3

xt),

)tt設(shè)f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為yt), ，其中(t),(t在[上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2(t2(t)0，則f(x,y)dsL

f[(t),(t)] 2(t)2(t)dt , ()〔二〕1、定義設(shè)L為xoy 面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧函數(shù)P(x,y)

，Q(x,y)在LL

P(x,y)dxlimn0

P(k

,)xk k，Q(x,y)dylim

Q(

k1,)y .L 0

k k k向量形式：2

FdrP(x,y)dxQ(x,y)dyL LLL的反向弧,則3

F(x,y)drL

F(x,y)drP(xy),Q(xyL上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為 xt), y t2(t2(t)0，則

(t

]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL 4x(t) 設(shè)平面有向曲線弧為 L y

(t)

L (x,y)處的切向量的方向角為：,

，cos

(t)

，cos

(t)2(t)2(t)則PdxQdy(PcosQcos)ds.L L〔三〕1、格林公式：設(shè)區(qū)域D是由分段光滑正向曲線LP(xy),Q(x,y在D

QPdxdy x y

PdxQdy D L2、G 為一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則Q P

曲線積分PdxQdy在G 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)L曲線積分 PdxQdy0L P(x,y)dxQ(x,y)dy在G 內(nèi)為某一個(gè)函數(shù)u(x,y)的全微分〔四〕1設(shè)f(xyz是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)，

f(x,y,z)dSlimn0i1

f(,i

,)Si i2zz(xy(xyD ，則xy2(t)2(t)f(x2(t)2(t) Dxy

f[x,y,z(x,y)] 1zx

2(x,y)zy

2(x,y)dxdy微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)微積分〔下〕學(xué)問(wèn)點(diǎn)第第1317頁(yè)〔五〕12設(shè)P(xyz),Q(x,yzR(xyz是定義在上的有界函數(shù)，定義

R(x,y,z)dylimn0i1

R(i

,,i

)(S)i i xyP(x,y,z)dzlim

P(

,,

)(S)同理，

0

i1

i i i

i yzQ(x,y,z)dxlimn 0i1

R(i

,,i

)(S)i i zx31〕，則1 2PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy

PdydzQdzdxRdxdy 1 2RdxdyRdxdy2〕

表示與取相反側(cè)的有向曲面,則 4:zz(x,y)，(x,y)Dxy

zz(xyDxy

R(x,y,z)在

R(x,y,z)dxdyDxy

[x,y,z(x,y)]y,為上側(cè)取“+為下側(cè)取“-”.5PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS 其中,,為有向曲面在點(diǎn)(xyz處的法向量的方向角。〔六〕1、高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面所圍成,的方向取外側(cè),函數(shù)P,Q,R在 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有

PQRdxdydz x y z

PdydzQdzdxRdxdy 或或

Px

Qy

Rz

dxdydzPcosQcosRcosdS 〔七〕1、斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面的邊界的側(cè)與的正向符合右手法則,P(x,yz),Q(x,yzR(x,yz在包含在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則有RyRy

dydz

dzdx

PdxQdyRdzQzPzRxQQzPzRxQxPy 為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:dydzdzdxdxdyxyzPQdydzdzdxdxdyxyzPQR1、微分方程的根本概念含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程；未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程;微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階.能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解.假設(shè)微分方程的解中含任意常數(shù),且獨(dú)立的(即不行合并而使個(gè)數(shù)削減的)任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)一樣，這樣的解為微分方程的通解.不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解.2、典型的一階微分方程可分別變量的微分方程：gydyf(xdxdyh(x)gy)dx對(duì)于第1種形式，運(yùn)用積分方法即可求得變量可分別方程的通解：g(y)dyf(x)dx

y(y)x

或者x(x)y在齊次方程yy)中，令uy,可將其化為可分別方程y x x令u ，則yxu,

dyxdu

u,x dx dx代入微分方程即可。(1)形如yf(axbyc)的方程.令uaxby(1)形如yf(axbyc)的方程.

uaf(u).(2)形如y

f(

axb1 axb

yc b1)的方程.yc2項(xiàng)。3型如yp(x)yq(x) 稱為一階線性微分方程。其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解為

yCepx)dx。利用常數(shù)變異法可得到非齊次的線性微分方程的通解yepx)dxq(x)epx)dxdxC)。4、伯努利方程：yp(x)yq(x)yn (n0,1)將方程兩端同除以yn,得ynyp(x)y1nq(x) (n0,1) du dy dy 1 d令u y，則 1 n)yn ，y 于是U的通解dx dx dx 1n dxue(1n)p(x)dx((1n)q(x)e(1n)p(x)dx

C)。57、可降階的高階常微分方程y(y(n)f(x)型的微分方程6.4.2 y6.4.2 yn)fx,yn1)型的微分方程6.4.3 y6.4.3 yfy,y)型的微分方程8、線性微分方程解的構(gòu)造函數(shù)組的線性無(wú)關(guān)和線性相關(guān)線性微分方程的性質(zhì)和解的構(gòu)造疊加原理：二個(gè)齊次的特解的