2023屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測：專題08 立體幾何解答題?？既珰w類（精講精練）（原卷版）

專題08立體幾何解答題常考全歸類【命題規(guī)律】空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，是?？嫉闹攸c(diǎn)，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個空間幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深．解決這類題目的原則是建系求點(diǎn)、坐標(biāo)運(yùn)算、幾何結(jié)論．作為求解空間角的有力工具，通常在解答題中進(jìn)行考查，屬于中等難度．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：非常規(guī)空間幾何體為載體核心考點(diǎn)二：立體幾何探索性問題核心考點(diǎn)三：立體幾何折疊問題核心考點(diǎn)四：立體幾何作圖問題核心考點(diǎn)五：立體幾何建系繁瑣問題核心考點(diǎn)六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題核心考點(diǎn)七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系核心考點(diǎn)八：空間中的點(diǎn)不好求核心考點(diǎn)九：創(chuàng)新定義【真題回歸】1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成二面角的余弦值．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．7．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【方法技巧與總結(jié)】1、用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得．求解的一般步驟為：（1）作圖：作出空間角的平面角．（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的．（3）計(jì)算：在證明的基礎(chǔ)上計(jì)算得出結(jié)果．簡稱：一作、二證、三算．2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉(zhuǎn)化法”，可固定一條，平移另一條；或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上．3、求直線與平面所成角的常見方法（1）作角法：作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形，根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求．（2）等積法：公式，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可構(gòu)造三棱錐，利用等體積法來求垂線段的長．（3）證垂法：通過證明線面垂直得到線面角為90°．4、作二面角的平面角常有三種方法（1）棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角．（3）空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：非常規(guī)空間幾何體為載體【規(guī)律方法】關(guān)鍵找出三條兩兩互相垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系．【典型例題】例1．（2022·陜西安康·統(tǒng)考一模）如圖，已知為圓錐底面的直徑，點(diǎn)C在圓錐底面的圓周上，，，平分，D是上一點(diǎn)，且平面平面.(1)求證：；(2)求二面角的正弦值.例2．（2022·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，將長方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中，劣弧的長為為圓的直徑.(1)在弧上是否存在點(diǎn)（在平面的同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求平面與平面夾角的余弦值.例3．（2022·山東東營·勝利一中校考模擬預(yù)測）如圖，分別是圓臺上?下底面的直徑，且，點(diǎn)是下底面圓周上一點(diǎn)，，圓臺的高為.(1)證明：不存在點(diǎn)使平面平面；(2)若，求二面角的余泫值.例4．（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在圓臺中，上底面圓的半徑為2，下底面圓O的半徑為4，過的平面截圓臺得截面為，M是弧的中點(diǎn)，為母線，.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.核心考點(diǎn)二：立體幾何探索性問題【規(guī)律方法】與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．【典型例題】例5．（2022·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為AC的中點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求點(diǎn)到側(cè)面的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．例6．（2022春·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.(1)求證：；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.例7．（2022春·黑龍江綏化·高三海倫市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中點(diǎn)，將沿AE折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB＝PC，如圖2所示．F是棱PB上的一點(diǎn)．(1)若F是棱PB的中點(diǎn)，求證：平面PAE；(2)是否存在點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為？若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由．例8．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.(1)證明：；(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.核心考點(diǎn)三：立體幾何折疊問題【規(guī)律方法】1、處理圖形翻折問題的關(guān)鍵是理清翻折前后長度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．2、把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，把握圖形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．【典型例題】例9．（2022春·江蘇南通·高三期中）已知梯形中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，沿將梯形翻折，使平面平面．(1)當(dāng)時①求證：；②求二面角的余弦值；(2)三棱錐的體積是否可能等于幾何體體積的一半？并說明理由．例10．（2022春·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在平面四邊形ABCD中，已知ABDC，，，E是AB的中點(diǎn)．將△BCE沿CE翻折至△PCE，使得，如圖2所示．(1)證明：；(2)求直線DE與平面PAD所成角的正弦值．例11．（2022春·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中?？计谥校┤鐖D，平面五邊形PABCD中，是邊長為2的等邊三角形，，AB＝2BC＝2，，將沿AD翻折成四棱錐P－ABCD，E是棱PD上的動點(diǎn)（端點(diǎn)除外），F(xiàn)，M分別是AB，CE的中點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)當(dāng)直線EF與平面PAD所成的角最大時，求平面ACE與平面PAD夾角的余弦值．例12．（2022·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖①，為邊長為6的等邊三角形，E，F(xiàn)分別為AB，AC上靠近A的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將沿EF折起，使點(diǎn)A翻折至點(diǎn)P的位置，且二面角的大小為120°（如圖②）．(1)在PC上是否存在點(diǎn)H，使得直線平面PBE？若存在，確定點(diǎn)H的位置；若不存在，說明理由．(2)求直線PC與平面PBE所成角的正弦值．核心考點(diǎn)四：立體幾何作圖問題【規(guī)律方法】（1）利用公理和定理作截面圖（2）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理作平行線（3）利用平面與平面垂直作平面的垂線【典型例題】例13．（2022·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，且.(1)試在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；(2)求點(diǎn)到平面的距離.例14．（2022秋·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D為一塊直四棱柱木料，其底面滿足：，．(1)要經(jīng)過平面內(nèi)的一點(diǎn)和棱將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？（借助尺規(guī)作圖，并寫出作圖說明，無需證明）(2)若，，當(dāng)點(diǎn)是矩形的中心時，求點(diǎn)到平面的距離．例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點(diǎn).（1）求二面角的余弦值；（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）.例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，.,且平面，，點(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn)，在上.且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；（Ⅲ）請畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.核心考點(diǎn)五：立體幾何建系繁瑣問題【規(guī)律方法】利用傳統(tǒng)方法解決【典型例題】例17．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．例18．如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點(diǎn)（1）證明：平面（2）求二面角的余弦值．例19．（2022春·福建南平·高三?？计谥校┰谌庵?，，平面，、分別是棱、的中點(diǎn).(1)設(shè)為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，直線與平面所成角的正切值為，求多面體的體積.核心考點(diǎn)六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題【規(guī)律方法】構(gòu)造垂直的全等關(guān)系【典型例題】例20．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．例21．如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點(diǎn)（1）證明：平面（2）求二面角的余弦值．核心考點(diǎn)七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系【規(guī)律方法】利用傳統(tǒng)方法證明關(guān)系，然后通過幾何關(guān)系建坐標(biāo)系．【典型例題】例22．如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心．（1）若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；（2）在（1）的前提下，以，，，，，為頂點(diǎn)的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．例23．在四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面，，，，，為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若二面角為，求直線與平面所成角的正切值．例24．三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為．（Ⅰ）求側(cè)棱的長；（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點(diǎn)的位置并證明；若不存在，說明理由．核心考點(diǎn)八：空間中的點(diǎn)不好求【規(guī)律方法】方程組思想【典型例題】例25．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知三棱臺的體積為，且，平面.(1)證明：平面平面；(2)若，，求二面角的正弦值.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四棱臺中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，均為銳角.(1)求證：；(2)若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.例27．（2022春·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.(1)證明；平面；(2)若，設(shè)為棱的中點(diǎn)，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時,與所成角的余弦值.核心考點(diǎn)九：創(chuàng)新定義【規(guī)律方法】以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決問題．圖形怎么閱讀?一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動觀點(diǎn)，要“動手”去操作，動態(tài)地去閱讀圖形．【典型例題】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線l與平面α交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M，，．(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關(guān)系式；(2)求證：曲線C是拋物線．例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．（1）當(dāng)、時，證明以上三面角余弦定理；（2）如圖2，四棱柱中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．例30．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值．【新題速遞】1．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，.(1)證明：平面平面；(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值.2．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）如圖，三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，.(1)證明:；(2)若，求與平面所成角的正弦值.3．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）如圖在四棱錐中，底面，且底面是平行四邊形.已知是中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面平面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.(1)證明：平面；(2)若，且與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.5．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在四面體中，已知.點(diǎn)是中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值.6．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考一模）如圖，三棱錐中，側(cè)面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜邊為AB的直角