（新課改地區(qū)）2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：第二章函數(shù)及其應(yīng)用2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值【教材·知識(shí)梳理】1.增函數(shù)、減函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：①增函數(shù)：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的_______________的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有___________，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；②減函數(shù)：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的_______________的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有___________，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).任意兩個(gè)自變量f(x1)<f(x2)任意兩個(gè)自變量f(x1)>f(x2)2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是_______或_______，則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.3.函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有_________________；②存在x0∈I，使得_______.那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值或最小值.增函數(shù)減函數(shù)f(x)≤M或f(x)≥Mf(x0)=M【常用結(jié)論】

函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)對(duì)?x1，x2∈D(x1≠x2)，>0?f(x)在D上是增函數(shù)，<0?f(x)在D上是減函數(shù).(2)對(duì)勾函數(shù)y=x+(a>0)的增區(qū)間為(-∞，-]和[，+∞)，減區(qū)間為[-，0)和(0，].(3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù).(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.【知識(shí)點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若定義在R上的函數(shù)y=f(x),有f(-1)<f(3),則函數(shù)y=f(x)在R上為增函數(shù). (

)(2)函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).(

)(3)函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞). (

)(4)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù),其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到. (

)提示:(1)×.由增函數(shù)的定義可知:函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)了任意性,即對(duì)于單調(diào)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1,x2,均有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2),而不是區(qū)間上的兩個(gè)特殊值.(2)×.函數(shù)在[1,+∞)上是增函數(shù),說(shuō)明其增區(qū)間D?[1,+∞),而增區(qū)間不一定是[1,+∞),所以該說(shuō)法錯(cuò)誤.(3)×.多個(gè)單調(diào)區(qū)間一般不能用“∪”符號(hào)連接,而應(yīng)用“,”或“和”連接,而本題用“∪”就不正確,如.(4)√.由單調(diào)性的定義可知是正確的.【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)易錯(cuò)警示典題索引1忽略函數(shù)的定義域考點(diǎn)一、T2、32分式中分子、分母均含變量,不經(jīng)變換直接求值域考點(diǎn)二、T13忽略分段函數(shù)在不同自變量區(qū)間上的解析式考點(diǎn)三、角度3【教材·基礎(chǔ)自測(cè)】1.(必修1P45例2改編)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是(

)

A.y=-x B.y=x2-xC.y=lnx-x D.y=ex【解析】選A.對(duì)于選項(xiàng)A,y=在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),y=x在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),則y=-x在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù);B,C選項(xiàng)中的函數(shù)在(0,+∞)上均不單調(diào);選項(xiàng)D中,y=ex在(0,+∞)上是增函數(shù).2.(必修1P46練習(xí)AT3改編)函數(shù)f(x)=x2-2x的單調(diào)遞增區(qū)間是________.

【解析】f(x)=x2-2x是開(kāi)口向上的二次函數(shù),對(duì)稱軸為x=1,增區(qū)間為[1,+∞)(或(1,+∞)).

答案:[1,+∞)(或(1,+∞))3.(必修1P46練習(xí)AT2改編)函數(shù)y=在[2,3]上的最大值是________.

【解析】該函數(shù)在[2,3]上單調(diào)遞減,故當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)取得最大值,最大值為2.

答案:24.(必修1P79自測(cè)與評(píng)估T1(4)改編)若函數(shù)f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

【解析】由題意知,[2,+∞)?[m,+∞),所以m≤2.

答案:(-∞,2]解題新思維最值和單調(diào)性的幾個(gè)結(jié)論的應(yīng)用

【結(jié)論】1.設(shè)?x1,x2∈D(x1≠x2),則①x1-x2>0(<0),f(x1)-f(x2)>0(<0)?f(x)在D上單調(diào)遞增;x1-x2>0(<0),f(x1)-f(x2)<0(>0)?f(x)在D上單調(diào)遞減;②>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)?f(x)在D上單調(diào)遞增;③<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)?f(x)在D上單調(diào)遞減.2.(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取到.(2)開(kāi)區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(或最小值).3.函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=的單調(diào)性相反.4.“對(duì)勾函數(shù)”y=x+(a>0)的增區(qū)間為(-∞,-]和[,+∞);減區(qū)間為[-,0)和(0,],且對(duì)勾函數(shù)為奇函數(shù).典例1.函數(shù)f(x)=-x+在上的最大值是 (

)A.

B.-

C.-2

D.2【解析】選A.易知f(x)在上是減函數(shù),所以f(x)max=f(-2)=2-=.2.已知f(x)=滿足對(duì)任意x1≠x2,都有>0成立,那么a的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)閷?duì)任意x1≠x2都有>0,所以y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).所以解得≤a<2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案:

【遷移應(yīng)用】1.(2020·廣州模擬)下列函數(shù)f(x)中,滿足“?x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是 (

)A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1|C.f(x)=-x

D.f(x)=ln(x+1)【解析】選C.由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),A,D選項(xiàng)中,f(x)為增函數(shù);B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不單調(diào),對(duì)于f(x)=-x,因?yàn)閥=與y=-x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,因此f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).2.已知函數(shù)f(x)=則f(f(-3))=_______,f(x)的最小值是_____.

【解析】因?yàn)閒(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1,所以f(f(-3)