《實(shí)數(shù)》教材分析

《實(shí)數(shù)》的教材分析和教學(xué)建議廣州市第23中劉振東課標(biāo)要求：1）理解算術(shù)平方根，平方根，立方根等概念及其有關(guān)概念的意義，并會(huì)用根號(hào)表示它們。2）了解開(kāi)方和乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)求平方根、算數(shù)平方根和立方根。3）理解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)以及實(shí)數(shù)的概念，知道這些數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能求實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值。4）能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍。5）會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)的運(yùn)算。知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：乘方開(kāi)方（概念，運(yùn)算，數(shù)軸表示）課時(shí)分配：本章教學(xué)時(shí)間約需8課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：平方根3課時(shí)立方根1課時(shí)實(shí)數(shù)2課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)復(fù)習(xí)2課時(shí)教材分析：本章學(xué)習(xí)的是平方根和立方根，并通過(guò)開(kāi)平方、開(kāi)立方運(yùn)算認(rèn)識(shí)一些不同于有理數(shù)的數(shù)，在此基礎(chǔ)上引入無(wú)理數(shù)，使數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，隨著數(shù)的擴(kuò)充，數(shù)的運(yùn)算也有了新的發(fā)展，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不僅能進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算，而且對(duì)0和任意正數(shù)能進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，對(duì)任意實(shí)數(shù)能進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算。本章重點(diǎn)：平方根、立方根、算術(shù)平方根、實(shí)數(shù)的的概念，由此建立了完整的實(shí)數(shù)體系，本章教材在初中數(shù)學(xué)具有重要的地位，是進(jìn)行其他內(nèi)容學(xué)習(xí)的理論，基礎(chǔ)和運(yùn)算（如一元二次方程、解三角形、函數(shù)、分式等），同時(shí)，在理論的運(yùn)算中也常用開(kāi)方運(yùn)算，故務(wù)必要學(xué)好。本章難點(diǎn)：立方根、平方根、算術(shù)平方根的區(qū)別，以及對(duì)“實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”的理解。學(xué)情分析：本章包括平方根、算術(shù)平方根、立方根，用計(jì)算器求算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)等內(nèi)容。在此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了加、減、乘、除、乘方五種運(yùn)算，學(xué)習(xí)了有理數(shù)的概念，具備了學(xué)習(xí)數(shù)的開(kāi)方和學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)的條件，大部分學(xué)生對(duì)后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)有較強(qiáng)的欲望，但也有個(gè)別學(xué)生由于對(duì)有理數(shù)的概念理解不透，對(duì)有理數(shù)的學(xué)習(xí)信心不足，產(chǎn)生畏難或厭學(xué)情緒，教學(xué)時(shí)要注意及時(shí)引導(dǎo)。教學(xué)建議：1）平方根與算術(shù)平方根：①要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算兩個(gè)不為0的相反數(shù)的平方是同一個(gè)正數(shù)，總結(jié)出“一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)”的性質(zhì)，加深感性認(rèn)識(shí)。②要引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)算術(shù)平方根的兩個(gè)非負(fù)性，一是被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性即只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根；二是算術(shù)平方根本身的非負(fù)性，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)非負(fù)數(shù)。③要通過(guò)題組訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生理解正數(shù)的平方根有兩個(gè)，是雙值的，而算術(shù)平方根有一個(gè)，是單值的，算術(shù)平方根的相反數(shù)就是正數(shù)的負(fù)平方根。2）立方根：①應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生類比平方根來(lái)學(xué)習(xí)立方根的概念、性質(zhì)、求法，并啟發(fā)學(xué)生與平方根的相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行聯(lián)系、比較，弄清兩者的區(qū)別與聯(lián)系，并適當(dāng)分析結(jié)論不同的原因。②要引導(dǎo)學(xué)生將求負(fù)數(shù)的立方根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問(wèn)題，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想。3）實(shí)數(shù)：①首先要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)有理數(shù)的知識(shí)，讓學(xué)生了解有理數(shù)包括有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，為學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)做好準(zhǔn)備。②要引導(dǎo)學(xué)生分清“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”與“無(wú)限循環(huán)小數(shù)”的區(qū)別，使學(xué)生理解無(wú)限循環(huán)小數(shù)可化成分?jǐn)?shù)，它是有理數(shù)；而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，它是無(wú)理數(shù)，從而啟發(fā)學(xué)生總結(jié)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的區(qū)別在于是否能夠分?jǐn)?shù)化，真正分清有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。③要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示無(wú)理數(shù)、有理數(shù)，將所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，是學(xué)生了解無(wú)理數(shù)的存在性。④要引導(dǎo)學(xué)生明確有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律同樣適用于無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)，使學(xué)生能夠按照有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律將進(jìn)行無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的運(yùn)算。學(xué)法建議：1本章的平方根、立方根是結(jié)合平方、立方引入的，所以我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)一定要注意引導(dǎo)幫助學(xué)生復(fù)習(xí)前面所學(xué)的知識(shí)。2本章中，我們通過(guò)類比有理數(shù)及其運(yùn)算，引入了實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值等概念，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意體會(huì)類比這種研究方法的作用。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，因此，我們可以利用數(shù)軸將“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來(lái)，這對(duì)不僅對(duì)理解實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及運(yùn)算很有幫助，而且對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)乃至研究數(shù)學(xué)都將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。教學(xué)時(shí)應(yīng)注意讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法的應(yīng)用。3對(duì)所學(xué)的知識(shí)要經(jīng)常深入的思考，鼓勵(lì)學(xué)生們多交流，多探討，要在學(xué)習(xí)中認(rèn)真思考、積極探索，將知識(shí)學(xué)深、學(xué)透、學(xué)活。4因?yàn)楦陌婧蟮慕滩呐c以往的課標(biāo)教材相比，對(duì)開(kāi)平方，開(kāi)立方運(yùn)算的要求有所降低，《課標(biāo)》規(guī)定“會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)（對(duì)應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根”，教學(xué)時(shí)要注意把握好這個(gè)變化。實(shí)數(shù)理論比較高深，初中學(xué)生不容易理解，這就決定了教學(xué)時(shí)應(yīng)充分利用學(xué)生已有的有理數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，不能過(guò)于追求嚴(yán)密的邏輯體系。例如，對(duì)于實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，本章通過(guò)一個(gè)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算的例題來(lái)學(xué)習(xí)，這樣安排的目的是通過(guò)類比有理數(shù)的運(yùn)算，指出有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)等在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，此處不宜深究，關(guān)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在后面的“二次根式”一章中還要繼續(xù)研究。5可加強(qiáng)估算能力的培養(yǎng)。本章學(xué)生學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的錯(cuò)漏：1）對(duì)基本概念理解不夠。錯(cuò)因分析：對(duì)實(shí)數(shù)的有關(guān)概念理解不透徹，對(duì)算術(shù)平方根與平方根的表示方法相混淆，不能靈活解答有關(guān)概念的題目，不少學(xué)生由于把握不準(zhǔn)有理數(shù)，分?jǐn)?shù)及無(wú)理數(shù)的有關(guān)概念，而出現(xiàn)錯(cuò)誤。例1）有下列說(shuō)法任何無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；②有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；在1和3之間的無(wú)理數(shù)有且只有√2，√3，√5，√7這4個(gè)；④π/6是分?jǐn)?shù)，它是有理數(shù)。其中正確的個(gè)數(shù)是（）。A．1.2C答案A點(diǎn)撥①任何無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，故說(shuō)法正確；②實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故說(shuō)法錯(cuò)誤；③在1和3之間的無(wú)理數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，故說(shuō)法錯(cuò)誤；④π/6不是分?jǐn)?shù)，它是無(wú)理數(shù)，故說(shuō)法錯(cuò)誤。教學(xué)啟示1讓學(xué)生不僅要熟記概念，更要理解概念，掌握概念的內(nèi)涵與外延。2加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念理解的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析，領(lǐng)會(huì)概念。2）實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力差。錯(cuò)因分析：學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根，立方根表示的式子理解不夠，對(duì)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算順序掌握不牢，在運(yùn)算過(guò)程中易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。例2）計(jì)算（1）丨-丨＋3(﹣)；（2）丨-2丨+