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1圖論1圖論 圖論圖論樹(shù)、有向目的:樹(shù)的六種定義,了解分支、森林、生成樹(shù)、生成森、最小生成樹(shù)、枝、弦、基本回路、有向樹(shù)、有向優(yōu)二叉樹(shù)的算法、定位二元有序樹(shù)和有序森林的雙重點(diǎn):樹(shù)的六種定義,各種概念、算法及基本的證明思2難點(diǎn):通過(guò)樹(shù)的六種定義方式如何發(fā)現(xiàn)樹(shù)的各種性質(zhì),大23圖論3圖論樹(shù)非循環(huán)的連通無(wú)向圖稱為樹(shù)4圖論4圖論圖論圖論定理G=〈V,E,Ψn階無(wú)向圖??梢韵铝鶄€(gè)條件等價(jià)G是連通的,又是非循環(huán)的G沒(méi)有自圈,并且對(duì)于G的任意兩結(jié)點(diǎn)v和v′,在G中 v至v′的基本路徑。G是連通的,v和v′是G的兩結(jié)點(diǎn),e不是GΨ〈e,{v,v〉}G+{e}Ψ′有唯一的G是連通的Ge,Ge5G是連通的,并且有n–1條邊。vi)G是非循環(huán)的,并且有n1條邊。證明參見(jiàn)P145–146(P193)。5圖論圖論定理定理12.2T是一個(gè)G(n,m)圖,則mn-1證明:用歸納法證明,對(duì)Tn對(duì)于n=1和n=2,定理顯然成立。設(shè)對(duì)于所有的(i,mi)樹(shù)(i<n)定理都成立。 T變成具有兩個(gè)連通分支的不連通圖,并且這兩個(gè)連通分 (n1,m1)樹(shù)和 和n2<n, n1- n2-1nn1+n2mm1+m21=n1-6+n2-1+1,所以,m=n–1,定理得證 6圖論圖論定理12.3:非平凡樹(shù)T中至少有兩片樹(shù)葉證明:設(shè)T為(n,m)圖,n>1,T因?yàn)椋篸ui2m=2(n–1 (m=n–1=2n–Tk片樹(shù)葉,則分支頂點(diǎn)為nk個(gè),分支頂點(diǎn)的次數(shù)大于1,即至少為2。 2n–2≥k+2(n–k7 k≥ 78圖論8圖論圖論森每個(gè)分支都是樹(shù)的無(wú)向圖稱為森林 圖論圖論定如果森林F有n個(gè)結(jié)點(diǎn),m條邊和kmn–k證明:n個(gè)頂點(diǎn)的樹(shù)有n-頂點(diǎn),則:V1+V2+…+Vk
條邊,設(shè)每個(gè)分支有Vi(V1-1)+(V2-1)+…+(Vk-1)=圖論圖論生成樹(shù)、生成如果樹(shù)T是無(wú)向圖G的生成子圖,則稱TG的生成樹(shù)FG的生成子圖,則稱FSpanningTree–圖論圖論找連通圖的生成樹(shù)找連通圖G的生成樹(shù)的方法 1、避圈法
添加e1,…,ei,在添加的每一步均保證:ei+1不與{e1,…,ei}的任何子集構(gòu)成回路。2、破圈法:在G0(即G),G1,G2,…中去掉e1,e2,e3,…eiGi-1即把G中的所有回路均挑若Gi無(wú)圈,則TG←Gi并終止;否則轉(zhuǎn)+1←Gi- 圖論 圖,G′G 長(zhǎng)度之和稱為G′ 長(zhǎng)度設(shè)G是連通無(wú)向圖,〈G,W〉 圖G的所有生成樹(shù) 長(zhǎng)度最小者稱為〈G,W〉的最小生成樹(shù) MinimumSpanningTreeAminimumspanningtreeisasubgraphofanundirectedweightedgraphG,suchthatitisatree(i.e.,itisitcoversallthevertices–contains|V|-1thetotalcostassociatedwithtreeedgesisminimumamongallpossiblespanningnotnecessarily圖論MinimumSpanningTreesProblem: ephoneCentral NaveCentralCentralWiring:BetterCentralMinimizethetotallengthofwireconnectingtheMinimumSpanningThequestioncanbesolvedbymanyalgorithms,hereisthreeclassicalminimum-spanningtreealgorithms:Prim's圖論圖論Kruskal'sAlgorithm(JosephBernardKruskal,Kruskal–SelecttheminimumweightedgethatdoesnotformacycleKruskal算法(避圈法) 設(shè)G是n個(gè)頂點(diǎn)的帶權(quán)連通無(wú)向圖設(shè)已選取的邊為e1e2,…,ei,在G中選取不同于e1e2…,ei的邊ei+1,使ei+1與{e1e2,…,ei中的邊不構(gòu)成圈,并且(4)ii+1,轉(zhuǎn) Kruskal'sAlgorithm- Kruskal'sAlgorithm- Prim’sAlgorithm(RobertClayPrim,Input:Anon-emptyconnectedweightedgraphwithverticesVedgesEInitialize:Vnew={x},wherexisanarbitrarynode(root)fromV,Enew=RepeatuntilVnew=Chooseanedge(u,v)withminimalweightsuchthatuisinVnewandvis(iftherearemultipleedgeswiththesameweight,anyofthemmaybeAddvtoVnew,and(u,v)toOutput:VnewandEnewdescribeaminimalspanningPrim'sAlgorithm-99136Prim'sAlgorithm-99136Prim'sAlgorithm-99136Prim'sAlgorithm-99136Prim'sAlgorithm-99136Prim'sAlgorithm-99136Prim'sAlgorithm-966 Prim'sAlgorithm-966 Prim'sAlgorithm-99136圖論圖論Boruvka'sOtakarInventorofCzechIntroducedtheTheoriginalpaperwaswritteninCzechThepurposewastoefficientlyprovidecoverageofPrim“in圖論圖論設(shè)TG的生成樹(shù)T的邊為枝G的不屬于T的邊稱為弦與給定的TeG的任何生成樹(shù),枝的數(shù)目弦的數(shù)目圖論定設(shè)G是有m條邊的n階連通無(wú)向圖,則對(duì)于G的任何生成樹(shù)T,都有n–1個(gè)枝和m–n+1個(gè)弦。 圖論圖論基本回路(圈由定理7.6.1知,如果在生成樹(shù)中增加一條弦,則恰產(chǎn)生一個(gè)G的只包含一條弦的回路稱為基本回路 所有基本圈構(gòu)成的集合,稱為關(guān)于生成樹(shù)TG的基本圈組e e5 e e3C1=(e1,e2,e6,eC2=(e5,e6,C3=(e4,e3,e6,eG234基本圈C4=(e7,e3,G234基本圈11
,C,
C} 問(wèn)(n,m圖的生成樹(shù)
有多圖論圖論課后實(shí)驗(yàn)?zāi)俊?2.4定義12.2(根樹(shù))若一個(gè)有向樹(shù)有一個(gè)引入次數(shù)為0的頂點(diǎn),根樹(shù)是一種特殊的有樹(shù)葉:在根樹(shù)中,稱引出次數(shù)為0的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的級(jí)是從樹(shù)根出發(fā)到該頂點(diǎn)的通路的長(zhǎng)度。所有結(jié)點(diǎn)的級(jí)的最大值稱為有向樹(shù)的高 圖論圖論有向每個(gè)弱分支都是有向樹(shù)的有向圖稱為有向森林 圖論常用譜系中的一些術(shù)語(yǔ)來(lái)描述根樹(shù)中的頂點(diǎn):稱從頂點(diǎn)u出發(fā)可以到達(dá)的每一個(gè)頂點(diǎn)為u的后裔,稱u為其后裔的祖先;稱u親;稱同一個(gè)父親的頂點(diǎn)互為兄弟。 Tree: internalinternalancestorancestorofdescendantsofparentparentofchildofsiblingsiblingof有序樹(shù):給根樹(shù)的頂點(diǎn)或弧都指定了次序的根有序林:每個(gè)連通分支都是有序樹(shù)的的有序樹(shù)。例如,圖12.2的b和c表示的是同一根樹(shù),但是不Definition2Arootedtreeiscalledanm-arytree(m元樹(shù))ifeveryinternalvertexhasnomorethanmchildrenThetreeiscalledafullm-arytreeifeveryinternalvertexhasexactlymchildren(完全n元樹(shù))Anm-arytreewithm2iscalledabinarytree.Arethesefullm-aryTheoremTheorem.Afullm-arytreewithiinternalverticesn=mi+1Everyvertex(exceptroot)isthechildofaninternalEachoftheiinternalverticeshasmTherearemivertices(otherthantheThereforen=mi+ii=4internalm=n=3×4+1=最優(yōu)二元(叉)樹(shù)及其t為帶權(quán)二元樹(shù)T的權(quán)
樹(shù)中,稱權(quán)最小的帶權(quán)二元樹(shù)為最優(yōu)二元樹(shù)。3
2圖論圖論7A57A5B2C4D2C4D7A5B7A5B2C (a)帶權(quán)路徑長(zhǎng)度為 (b)帶權(quán)路徑長(zhǎng)度為 最優(yōu)二叉樹(shù)的Huffman輸入:正實(shí)數(shù)序列w1,w2,…,wtT棵根樹(shù)(森林),其根的權(quán)分別是w1,w2,…,wt )2重復(fù)第2步,直至形成一注意結(jié)果可能不唯一(如果“當(dāng)前”權(quán)最小頂點(diǎn)對(duì)不唯一)位置m元樹(shù):每一個(gè)頂點(diǎn)的兒子都分別有確定的位置的m元
圖12.3a是二元樹(shù),b是完當(dāng)m2時(shí),分別稱為二元樹(shù),二元樹(shù),c是位置二元樹(shù)完全二元樹(shù)和位置二元樹(shù)
雖然d與a是同構(gòu)根位置二元樹(shù)的前綴編碼表示樹(shù)根的左兒子的字符串為a0,u的位置二元樹(shù)的前綴編碼|a是樹(shù)葉對(duì)應(yīng)的字符串}給定一個(gè)位置二元樹(shù),可以得到一個(gè)前綴編碼。反之,給出一個(gè)前綴編碼,也能夠畫出對(duì)應(yīng)的位置二元樹(shù)。最優(yōu)二元樹(shù)的例:設(shè)在通訊中7個(gè)字母出現(xiàn)的頻率如 0 55數(shù)位為:((5+5)×4+(10+10+15)
0
1
5
5
思考 證明:假設(shè)P是T中最長(zhǎng)的基本鏈,P的起點(diǎn)或終點(diǎn)的次數(shù)不為,即它的次數(shù)至少是2,則至少有一個(gè)頂點(diǎn)與P的起點(diǎn)或終點(diǎn)鄰接,因存更長(zhǎng)與是中的本鏈 因樹(shù)T中最長(zhǎng)基本鏈的起點(diǎn)和終點(diǎn)次數(shù)必為1?;A(chǔ)圖是完全無(wú)向圖的有向圖有 路徑,試證明假設(shè)n個(gè)頂點(diǎn)時(shí)成立,設(shè)G是n+1個(gè)頂點(diǎn),且滿足上述條件從G中刪去頂點(diǎn)v及其關(guān)聯(lián)邊,得到G’,由歸納假設(shè), (v1,v2,…,vn),G在G中有一條弧(v,v1),則 有向路(v,v1,v2,…,在G中沒(méi)有弧(v,v1),則必有弧(v1,v)。若存在vi,vi是v1之后第一個(gè)到并且有弧 vi)的頂點(diǎn),則顯然得到一 有向路 …,vi-1,v,vi,在G中沒(méi)有弧(vvi),而對(duì)所有vi,均有弧(viv),i=12n,則若G是簡(jiǎn)單連通圖,邊數(shù)為e,結(jié)點(diǎn)數(shù)為n。若e>=n,G至少有3棵生成樹(shù)/*只需證明e=n時(shí),命題成立證明:若e=n-1,因?yàn)镚是連通的,所以為一棵樹(shù)(樹(shù)的定一個(gè)長(zhǎng)度大于等于3的回路,則在這個(gè)回任意證明:證明恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)的次數(shù)為1的樹(shù)必為一基本證明:假設(shè)T是任意一個(gè)恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)的次數(shù)為1的樹(shù),如果T不是一基本鏈則至少有一個(gè)分支頂點(diǎn)的次數(shù)大于2。設(shè)T有n個(gè)頂點(diǎn),則T有n-2個(gè)分頂點(diǎn)(去除兩片葉子),n-1條邊。根據(jù)握手定理,T的頂點(diǎn)的度數(shù)之等于T的邊數(shù)的2倍,可>2+2(n-2)(兩片葉子次數(shù)+所有次數(shù)為2的分支結(jié)點(diǎn)的次數(shù)因此得到2n-2>2n-2, nt),它等于邊的總數(shù)m。又因?yàn)閙=n-1,故有2(n-nt)=n-1,解得n2nt-1。因此mn-12(nt-1)證明:設(shè)完全二元樹(shù)T有n個(gè)頂點(diǎn),條邊,它有n片樹(shù)葉,由上題知:m=1=2nt()m=。另:有(的路C’為G中的最長(zhǎng)路,則C是圖G 回路/*反證法證明令C的長(zhǎng)度為m。若C不 回路,則圈外必存在一圈上與v關(guān)聯(lián)的一邊為e,則C-e的長(zhǎng)度為m-而C-e+uv的長(zhǎng)度為m;得C-e不是最長(zhǎng)路 Foralln≥3,thenumberofdistinctHamiltoncyclesinthecompletegraphKnis(n?1)!/2.Proof:Inacompletegraph,everyvertexisadjacenttoeveryothervertex.Therefore,ifweweretotakealltheverticesinacompletegraphinanyorder,therewillbeapaththroughthoseverticesinthatorder.JoiningeitherendofthatpathgivesusaHamiltoncy
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