振動力學第二章第二節(jié)單自由度系統(tǒng)的受迫振動

第2章單自由度系統(tǒng)的受迫振動

第2章單自由度系統(tǒng)的受迫振動目錄2.1簡諧激勵作用下的受迫振動

2.2周期激勵作用下的受迫振動

2.3任意激勵作用下的受迫振動

2.4響應譜

2.1簡諧激勵作用下的受迫振動

第2章單自由度系統(tǒng)的受迫振動2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.1振動微分方程2.1.2受迫振動的振幅B、相位差的討論2.1.3受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系2.1.4受迫振動系統(tǒng)的能量關系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段

天津大學受迫振動激勵形式－系統(tǒng)在外界激勵下產生的振動。

－外界激勵一般為時間的函數，可以是周期函數，也可以是非周期函數。簡諧激勵是最簡單的激勵。2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.1振動微分方程簡諧激振力H為激振力的幅值，w為激振力的圓頻率。以平衡位置O為坐標原點，x軸鉛直向下為正，物塊運動微分方程為具有粘性阻尼的單自由度受迫振動微分方程，是二階常系數線性非齊次常微分方程。

2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 簡諧激勵的響應－全解有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的運動微分方程

微分方程全解：齊次方程的解加非齊次方程的特解齊次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解2.1.1振動微分方程2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解

x2(t)-有阻尼系統(tǒng)簡諧激勵響應中的特解是指不隨時間衰減的穩(wěn)態(tài)響應：2.1.1振動微分方程2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 這表明：穩(wěn)態(tài)受迫振動是與激勵頻率相同的諧振動。

穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅與滯后相位差均與初始條件無關，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵的特性。2.1.1振動微分方程2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.2受迫振動的振幅B、相位差的討論

在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當<<1時，由于阻尼影響不大，為了簡化計算，可將有阻尼系統(tǒng)簡化為無阻尼系統(tǒng)。2.1.2受迫振動的振幅B、相位差的討論2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 幅頻特性與相頻特性1、＝0

的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，＝0，響應與激勵同相；對于不同的值，曲線密集，阻尼影響不大。2、>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，，，響應與激勵反相；阻尼影響也不大。3、＝1的附近區(qū)域(共振區(qū))，急劇增大并在

＝1略為偏左處有峰值。通常將＝1，即＝

pn稱為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小，＝1時，總有，＝

/2,這也是共振的重要現(xiàn)象。2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.2受迫振動的振幅B、相位差的討論例題例質量為M的電機安裝在彈性基礎上。由于轉子不均衡，產生偏心，偏心距為e，偏心質量為m。轉子以勻角速w轉動如圖示，試求電機的運動。彈性基礎的作用相當于彈簧常量為k的彈簧。設電機運動時受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數為c。解：取電機的平衡位置為坐標原點O，x軸鉛直向下為正。作用在電機上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 根據達朗貝爾原理，有=h例題2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 電機作受迫振動的運動方程為當激振力的頻率即電機轉子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時，該振動系統(tǒng)產生共振，此時電機的轉速稱為臨界轉速。例題2.1簡諧激勵作用下的受迫振動

阻尼比z較小時，在l

=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值me2與2成正比。當→0時，≌0，B→0；當>>1時，→1，B→b，即電機的角速度遠遠大于振動系統(tǒng)的固有頻率時，該系統(tǒng)受迫振動的振幅趨近于。

幅頻特性曲線和相頻特性曲線例題2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 例題2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 例2.2在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘性欠阻尼作用，其阻尼系數為c，物塊的質量為m，彈簧的彈性常量為k。設物塊和支撐只沿鉛直方向運動，且支撐的運動為,試求物塊的運動規(guī)律。建立物塊的運動微分方程例題2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 利用復指數法求解，用代換

并設方程的解為放大系數例題2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.3受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系已知簡諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動的響應為現(xiàn)將各力分別用B、的旋轉矢量表示。應用達朗貝爾原理，將彈簧質量系統(tǒng)寫成式2-11不僅反映了各項力之間的相位關系，而且表示著一個力多邊形圖2-7。慣性力阻尼力彈性力激振力（a）力多邊形

(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞12.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.3受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.4受迫振動系統(tǒng)的能量關系從能量的觀點分析，振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動的實現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結果?，F(xiàn)將討論簡諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動中的能量關系。受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為周期

1.激振力在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差，激振力在一周期內做功為，做功最多。對于無阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差。因此，每一周期內激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動?；?.粘性阻尼力做的功上式表明，在一個周期內，阻尼做負功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動在共振區(qū)內振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實現(xiàn)的。2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.4受迫振動系統(tǒng)的能量關系3.彈性力做的功能量曲線表明彈性力在一個振動周期內做功之和為零。在一個振動周期內激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.4受迫振動系統(tǒng)的能量關系2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.5等效粘性阻尼在工程實際中，振動系統(tǒng)存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的數學描述比較復雜。為了便于振動分析，經常應用能量方法將非粘性阻尼簡化成等效粘性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內消耗的能量。假設在簡諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應仍然是簡諧振動，即非粘性阻尼在一個周期內做的功粘性阻尼在一周期內消耗的能量相等等效粘性阻尼系數利用式得到在該阻尼作用下受迫振動的振幅2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.5等效粘性阻尼庫侖阻尼阻尼力表示為一周期內庫侖阻尼消耗的能量為等效粘性阻尼系數

得到穩(wěn)態(tài)振動的振幅表達式相等2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.5等效粘性阻尼結構阻尼

一周期內結構阻尼消耗的能量為相等等效粘性阻尼系數

具有結構阻尼系統(tǒng)的運動微分方程可寫為2.1簡諧激勵作用下的受迫振動 2.1.5等效粘性阻尼2.1簡諧激勵作用下的受迫振動2.1.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段

系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵響應是瞬態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應疊加。先考慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應,系統(tǒng)的運動微分方程和初始條件寫在一起為通解是相應的齊次方程的通解與特解的和,即根據初始條件確定C1、C2。于是得到全解為

特點是:振動頻率為系統(tǒng)的固有頻率,但振幅與系統(tǒng)本身的性質及激勵因素都有關。無激勵時的自由振動系統(tǒng)對初始條件的響應穩(wěn)態(tài)強迫振動伴隨激勵而產生自由振動,稱為自由伴隨振動2.1簡諧激勵作用下的受迫振動2.1.6簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段

無阻尼系統(tǒng)受簡諧激勵產生的受迫振動，一般總是pn和兩個不同頻率簡諧振動的疊加。

2.2周期激勵作用下的受迫振動

第2章單自由度系統(tǒng)的受迫振動

周期振動的諧波分析周期振動展成傅氏級數一個周期T中的平均值n=1,2,3,……n=1,2,3,……基頻

2.2周期激勵作用下的受迫振動

一個周期振動可視為頻率順次為基頻及整倍數的若干或無數簡諧振動分量的合成振動過程。在振動力學中將傅氏展開稱為諧波分析周期函數的幅值頻譜圖，相位頻譜圖。周期函數的譜線是互相分開的，故稱為離散頻譜。周期振動的諧波分析

2.2周期激勵作用下的受迫振動

周期振動的諧波分析

2.2周期激勵作用下的受迫振動

函數的頻譜，說明了組成該函數的簡諧成分，反映了該周期函數的特性。由于自變量由時間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實際上是由時間域轉入頻率域。這是將周期振動展開為傅里葉級數的另一個物理意義。

周期振動的諧波分析以無窮級數出現(xiàn)，但一般可以用有限項近似表示周期振動。例已知一周期性矩形波如圖所示，試對其作諧波分析。解∶矩形波一個周期內函數F(t)可表示為表示F(t)的波形關于t軸對稱，故其平均值為零。周期振動的諧波分析

2.2周期激勵作用下的受迫振動

n=1，2，3……于是，得F(t)的傅氏級數F(t)是奇函數，在它的傅氏級數中也只含正弦函數項。在實際的振動計算中，根據精度要求，級數均取有限項。F(t)的幅值頻譜如圖所示。周期振動的諧波分析

2.2周期激勵作用下的受迫振動

2.2周期激勵作用下的受迫振動

先對周期激勵作諧波分析，將它分解為一系列不同頻率的簡諧激勵。然后，求出系統(tǒng)對各個頻率的簡諧激勵的響應。再由線性系統(tǒng)的疊加原理，將每個響應分別疊加，即得到系統(tǒng)對周期激勵的響應。設粘性阻尼系統(tǒng)受到周期激振力諧波分析方法，得到系統(tǒng)的運動微分方程為周期基頻由疊加原理，并考慮欠阻尼情況，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應

2.2周期激勵作用下的受迫振動

例2.3彈簧質量系統(tǒng)，受到周期性矩形波的激勵。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。(其中)解：周期性矩形波的基頻為矩形波一個周期內函數將矩形波分解為固有頻率

2.2周期激勵作用下的受迫振動

可得穩(wěn)態(tài)響應將矩形波分解為從頻譜圖中看，系統(tǒng)只對激勵所包含的諧波分量有響應。對于頻率靠近系統(tǒng)固有頻率的那些諧波分量，系統(tǒng)響應的振幅放大因子比較大，在整個穩(wěn)態(tài)響應中占主要成分。畫出系統(tǒng)的響應頻譜圖奇數

2.2周期激勵作用下的受迫振動

2.3任意激勵作用下的受迫振動

第2章單自由度系統(tǒng)的受迫振動2.3任意激勵作用下的受迫振動 2.3.1系統(tǒng)對沖量的響應2.3.2系統(tǒng)對單位脈沖力的響應2.3.3單位脈沖響應函數的時-頻變換2.3.4系統(tǒng)對任意激振力的響應2.3.5傳遞函數2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3.1系統(tǒng)對沖量的響應物塊受到沖量的作用時，物塊的位移可忽略不計。但物塊的速度卻變化明顯。根據力學中的碰撞理論，可得物塊受沖量作用獲得的速度設沖量的大小為作用在單自由度系統(tǒng)中，求響應。對作用時間短、變化急劇的力常用它的沖量進行描述。1.用沖量描述瞬態(tài)作用如果取為沖量作用的瞬時等價于對初始條件的響應初位移初速度得到單自由度無阻尼振動系統(tǒng)對沖量的響應如果作用在的時刻，未加沖量前，系統(tǒng)靜止，則物塊的響應為2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3.1系統(tǒng)對沖量的響應同理，如果在t=0時，沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對欠阻尼的情形，得其響應如果作用在的時刻，則物塊的響應為2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3.1系統(tǒng)對沖量的響應用

(t)函數表示作用在極短時間內沖擊力2.3.2系統(tǒng)對單位脈沖力的響應2.3任意激勵作用下的受迫振動表明只在近旁極其短暫的時間內起作用，其數值為無限大。但它對時間積分是有限數1。函數的定義是從積分式可見，如果時間以秒計，

(t)函數的單位是1/s。用單位脈沖(unitimpulse)函數

(t)表示沖擊力沖量表示施加沖量的瞬時如果在t=0的瞬時施加沖量，則相應的沖擊力當，即施加單位沖量時，沖擊力為F是沖擊力,(t)函數又稱單位脈沖函數，就是由此而得名。單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時，其振動微分方程為2.3.2系統(tǒng)對單位脈沖力的響應2.3任意激勵作用下的受迫振動單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時，其振動微分方程為單位脈沖力作用等價于沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對欠阻尼的情形，根據初始條件可確定A和。最后得其響應2.3.2系統(tǒng)對單位脈沖力的響應2.3任意激勵作用下的受迫振動為了應用方便，單位脈沖函數的響應用h(t)表示。得單自由度無阻尼系統(tǒng)對單位脈沖函數的響應有粘性阻尼系統(tǒng)對單位脈沖函數的響應稱為單自由度系統(tǒng)的時域響應函數2.3.2系統(tǒng)對單位脈沖力的響應2.3任意激勵作用下的受迫振動h(t)有以下特性不難發(fā)現(xiàn)h(t)的表達式包含系統(tǒng)的所有的動特性參數，它實質上是系統(tǒng)動特性在時域的一種表現(xiàn)形式。h(t)是單位脈沖沖量的響應，其量綱為[位移/沖量]。2.3.2系統(tǒng)對單位脈沖力的響應2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3.4系統(tǒng)對任意激振力的響應作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物塊的運動微分方程將激振力看作是一系列元沖量的疊加元沖量為得到系統(tǒng)的響應由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對任意激振力的響應等于系統(tǒng)在時間區(qū)間內各個元沖量的總和，即得到系統(tǒng)的響應2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3.4系統(tǒng)對任意激振力的響應上式的積分形式稱為卷積。因此，線性系統(tǒng)對任意激振力的響應等于它脈沖響應與激勵的卷積。這個結論稱為博雷爾(Borel)定理，也稱杜哈梅(Duhamel)積分。對無阻尼的振動系統(tǒng)，得到任意激振力的響應用單位脈沖函數響應表示，得到單自由度系統(tǒng)對任意激振力響應的統(tǒng)一表達式2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3.4系統(tǒng)對任意激振力的響應系統(tǒng)有初始位移和初始速度，則系統(tǒng)對任意激振力的響應為對于無阻尼振動系統(tǒng)的響應為t＞t1即激振力停止作用后，物塊的運動稱為剩余運動。以為初始條件的運動2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3.4系統(tǒng)對任意激振力的響應例無阻尼彈簧質量系統(tǒng)受到突加常力F0的作用，試求其響應。積分后得響應為代入在突加的常力作用下，物塊的運動仍是簡諧運動，只是其振動中心沿力F0的方向移動一距離解：取開始加力的瞬時為t=0，受階躍函數載荷的圖形如圖所示。設物塊處于平衡位置，且。也是彈簧產生的靜變形。2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3.4系統(tǒng)對任意激振力的響應若階躍力從t=a開始作用，則系統(tǒng)的響應為t＜a2.3任意激勵作用下的受迫振動2.3.4系統(tǒng)對任意激振力的響應解：在階段，系統(tǒng)的響應顯然與上例的相同，即例無阻尼彈簧質