數(shù)學(xué)發(fā)展簡介(國培計(jì)劃)

數(shù)學(xué)發(fā)展簡介國培計(jì)劃1主要內(nèi)容

一、數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性

二、數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域介紹

三、應(yīng)用類數(shù)學(xué)分支介紹

四、數(shù)學(xué)問題介紹

2高斯說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后。”伽利略說：“數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字。”愛因斯坦說：“這個(gè)世界可以由音樂組成，也可以由數(shù)學(xué)公式組成?！币粩?shù)學(xué)的本質(zhì)屬性3數(shù)學(xué)是一種語言，是一切科學(xué)的共同語言。數(shù)學(xué)是一把鑰匙，一把打開科學(xué)大門的鑰匙。數(shù)學(xué)是一種工具，一種思維的工具。數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，一門創(chuàng)造性藝術(shù)。

浙江師范大學(xué)張維忠教授和東南大學(xué)王元明教授的觀點(diǎn)：4數(shù)學(xué)與哲學(xué)的區(qū)別數(shù)學(xué)與科學(xué)的區(qū)別數(shù)學(xué)與藝術(shù)的區(qū)別中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所胡作玄教授則給出數(shù)學(xué)與其它科學(xué)的本質(zhì)區(qū)別5在人類的知識(shí)寶庫中有三大類科學(xué)，即自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、認(rèn)識(shí)和思維的科學(xué)。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的一種，是其它科學(xué)的基礎(chǔ)和工具。從本質(zhì)上看，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，或簡單講，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)。數(shù)學(xué)究竟是什么呢？6新世紀(jì)的數(shù)學(xué)，已不甘于站在后臺(tái)，而是大步地從科學(xué)技術(shù)的幕后直接走到了前臺(tái)。數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)技術(shù)和信息技術(shù)的支柱，而計(jì)算機(jī)也為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供新工具。

新世紀(jì)的數(shù)學(xué)7二數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域介紹根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展及研究的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)又可分代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和分析學(xué)三大領(lǐng)域。數(shù)學(xué)中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學(xué)的范疇；研究形的部分，屬于幾何學(xué)的范籌；溝通形與數(shù)且涉及極限運(yùn)算的部分，屬于分析學(xué)的范圍。這三大類數(shù)學(xué)構(gòu)成了整個(gè)數(shù)學(xué)的本體與核心。81.代數(shù)學(xué)范疇代數(shù)學(xué)范疇包含算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論和抽象代數(shù)等幻方問題例:把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入下表中使每行每列及兩對角線上的三數(shù)之和均相等:(行數(shù)減1列數(shù)加1).1234567899例:把1,3,5,7,……,49這25個(gè)數(shù)填入下表使每行每列及兩對角線上的5個(gè)數(shù)的和均相等.13579111315171921232527293133353739414345474910●數(shù)論整除問題被2、3、4、5、7、8、9、11等整除的整數(shù)有什么特征？完全數(shù)梅森素?cái)?shù):可以寫成形式的素?cái)?shù)，p也是素?cái)?shù)。11

三人同行七十稀，五樹梅花二十一，七子團(tuán)圓正半月，減百零五便得知。

N＝70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23在公元4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)千古名題，“今有物，不知其數(shù)。三、三數(shù)之剩二；五、五數(shù)之剩三；七、七數(shù)之剩二。問物幾何？”同余問題：如果兩個(gè)整數(shù)被同一個(gè)數(shù)除余數(shù)一樣就叫同余。12例：一個(gè)數(shù)被3除余2，被5除余3，求這個(gè)數(shù)。解：m=3，n=5，a=2，b=3.n和m互素，存在整數(shù)p>0,q<0使得：np+mq=1，即5×2+3×(-3)=1，p=2，q=-3中國剩余定理同理，m和n互素，存在整數(shù)p’>0,q’<0使得：mp’+nq’=1，即3×2+5×(-1)=1，p’=2，q’=-113所求之?dāng)?shù)為N=npa+mp’b，故

N=5×2×2+3×2×3=38相差mn的倍數(shù)的數(shù)也滿足要求，即

N=38+kmn所求的最小整數(shù)為38-15-15=8.142.幾何學(xué)范疇

初等幾何、射影幾何、解析幾何、非歐幾何、拓?fù)鋵W(xué)等屬于幾何學(xué)范疇●非歐幾何●拓?fù)鋵W(xué)ＡＢＣＤＡＣＢ15哥尼斯堡七橋問題16一筆畫問題ABCD17一個(gè)簡單圖形中，把與單數(shù)條線相連的點(diǎn)叫單數(shù)點(diǎn)，與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫雙數(shù)點(diǎn)。AB0個(gè)單數(shù)點(diǎn)ACBD4個(gè)單數(shù)點(diǎn)18結(jié)論1：一個(gè)簡單圖形中，如果有0個(gè)或2個(gè)單數(shù)點(diǎn)，就能一筆畫成，否則就不能一筆畫成。結(jié)論2：如果有2個(gè)單數(shù)點(diǎn)，從其中一個(gè)出發(fā)，回到另一個(gè)結(jié)束；如果沒有單數(shù)點(diǎn)，從任一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，回到該點(diǎn)結(jié)束。19AB有0個(gè)單數(shù)點(diǎn)，從A點(diǎn)出發(fā)，回到A點(diǎn)20GDHIEAFBC

4個(gè)單數(shù)點(diǎn)，不能一筆畫GDHIEAFBC

2個(gè)單數(shù)點(diǎn)能一筆畫成，從B出發(fā)，到F結(jié)束21歐拉定理和正多面體的分類歐拉定理：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是e、棱數(shù)是k、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：

e+f-k=2。

根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。22設(shè)一個(gè)正多面體的各面有相同的邊(棱)數(shù)n,它的各頂點(diǎn)有相同的棱數(shù)m,于是又把m,n看成已知數(shù),上述三個(gè)方程解出e,f,k得,,

23故當(dāng)m=3時(shí)，分母是6-n，因此同樣，當(dāng)n=3時(shí)，我們把一切可能的m和n的取值列成下表：nmefk正多面體33446正四面體346812正八面體35122030正二十面體438612正六面體53201230正十二面體243.分析學(xué)范疇微積分、微分方程、微分幾何、函數(shù)論和泛函分析等屬于分析學(xué)范疇

●學(xué)習(xí)函數(shù)什么是最重要的？●什么是初等函數(shù)？●什么是無窮小、無窮大？254.三次數(shù)學(xué)危機(jī)從哲學(xué)上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數(shù)學(xué)也不例外。在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，還有許多深刻的矛盾。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。當(dāng)矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。而危機(jī)的解決，往往能給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。

數(shù)學(xué)的發(fā)展就經(jīng)歷過三次關(guān)于基礎(chǔ)理論的危機(jī)。26●第一次數(shù)學(xué)危機(jī)有理數(shù)的表示在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長，如果令它的定端點(diǎn)和右端點(diǎn)分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點(diǎn)的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點(diǎn)表示。于是，每一個(gè)有理數(shù)都對應(yīng)著直線上的一個(gè)點(diǎn)。

．O．127這條直線上存在點(diǎn)p不對應(yīng)于有理數(shù)，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。必須發(fā)明新的數(shù)對應(yīng)這樣的點(diǎn)，因?yàn)檫@些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱它們?yōu)闊o理數(shù)，這就導(dǎo)致了無理數(shù)的產(chǎn)生。28●第二次數(shù)學(xué)危機(jī)“兩分法”：向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點(diǎn)，然而要經(jīng)過這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過路程的1/4點(diǎn)……，如此類推以至無窮?！Y(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運(yùn)動(dòng)是不可能的。

“飛矢不動(dòng)”：意思是箭在運(yùn)動(dòng)過程中的任一瞬時(shí)間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2917世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者，他們的功績主要在于：把各種有關(guān)問題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；有明確的計(jì)算步驟；微分法和積分法互為逆運(yùn)算。

30羅素悖論：某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只給不自己刮胡子的人刮胡子。當(dāng)人們試圖答復(fù)下列疑問時(shí)，就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì)：“理發(fā)師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那么他就不符合他的原則；如果他不給自己刮胡子，那么他按原則就該為自己刮胡子。

●第三次數(shù)學(xué)危機(jī)31歐伯利得悖論：“我現(xiàn)在正在做的這個(gè)陳述是假的”

埃皮門尼德(公元前6世紀(jì)，克利特人)悖論：“克利特人總是說謊的人”

１．集合論建立在公理化的基礎(chǔ)上２．邏輯基礎(chǔ)的研究在集合論的基礎(chǔ)上，誕生了抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析與測度論，數(shù)理邏輯也興旺發(fā)達(dá)成為數(shù)學(xué)有機(jī)體的一部分。

32三應(yīng)用類數(shù)學(xué)分支介紹應(yīng)用類數(shù)學(xué)是相對純粹數(shù)學(xué)而言的。純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用類數(shù)學(xué)從來就沒有嚴(yán)格的界限。一般說來，純粹數(shù)學(xué)是指數(shù)學(xué)中的這樣一部分，它暫時(shí)不考慮對其它知識(shí)領(lǐng)域或生產(chǎn)實(shí)踐上的直接應(yīng)用。當(dāng)然這并不意味著它沒有應(yīng)用價(jià)值。而應(yīng)用類數(shù)學(xué)，則可以說是純粹數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)的橋梁，通常包括數(shù)學(xué)技術(shù)和成果。

331.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。例：甲、乙二人賭博，各出賭注30元，共60元，每局甲、乙勝的機(jī)會(huì)均等，都是1/2。約定：誰先勝滿3局則他贏得全部賭注60元?，F(xiàn)已賭完3局，甲2勝1負(fù)，而因故中斷賭情，問這60元賭注該如何分給2人，才算公平。初看覺得應(yīng)按2：1分配，即甲得40元，乙得20元。

34正確的分法應(yīng)考慮到如在這基礎(chǔ)上繼續(xù)賭下去，甲、乙最終獲勝的機(jī)會(huì)如何。至多再賭2局即可分出勝負(fù)，這2局有4種可能結(jié)果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情況才是乙取勝，二者之比為3：1，故賭注的公平分配應(yīng)按3：1的比例，即甲得45元，乙15元。

35數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)并據(jù)以對所研究的問題作出一定的結(jié)論的科學(xué)和藝術(shù)。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)所考察的數(shù)據(jù)都帶有隨機(jī)性（偶然性）的誤差。這給根據(jù)這種數(shù)據(jù)所作出的結(jié)論帶來了一種不確定性，其量化要借助于概率論的概念和方法。362.運(yùn)籌學(xué)

運(yùn)籌學(xué)是用定量化方法對運(yùn)行系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃，為管理決策提供科學(xué)依據(jù)的學(xué)科。它把有關(guān)的運(yùn)行系統(tǒng)首先歸結(jié)成數(shù)學(xué)模型，然后用科學(xué)方法（特別是數(shù)學(xué)方法）進(jìn)行定量分析和比較，求得合理運(yùn)用人力、物力和財(cái)力的系統(tǒng)運(yùn)行最優(yōu)方案。37運(yùn)籌學(xué)的主要內(nèi)容：規(guī)劃論（包括線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和動(dòng)態(tài)規(guī)劃）、圖論、決策論、對策論、排隊(duì)論、存儲(chǔ)論、可靠性理論等。383.計(jì)算數(shù)學(xué)

研究數(shù)值計(jì)算方法的設(shè)計(jì)、分析和有關(guān)理論基礎(chǔ)與軟件實(shí)現(xiàn)問題的一門學(xué)科，就叫做計(jì)算數(shù)學(xué)，它是一門兼具基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和邊緣性的數(shù)學(xué)學(xué)科。

計(jì)算數(shù)學(xué)也叫做數(shù)值計(jì)算方法或數(shù)值分析。主要內(nèi)容包括代數(shù)方程、線性代數(shù)方程組、微分方程的數(shù)值解法，函數(shù)的數(shù)值逼近問題，矩陣特征值的求法，最優(yōu)化計(jì)算問題，概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算問題等等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問題。

394.模糊數(shù)學(xué)

模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法。研究內(nèi)容：

第一，研究模糊數(shù)學(xué)的理論，以及它和精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)的關(guān)系。

第二，研究模糊語言學(xué)和模糊邏輯。

第三，研究模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用。

40四數(shù)學(xué)問題介紹立方倍積：要求用尺規(guī)法作一立方體，使其體積為已知立方體體積的兩倍。

１．世界四大數(shù)學(xué)難題三等分任意角：要求用尺規(guī)法三等分一個(gè)任意角。

化圓為方：要求用尺規(guī)法作出一個(gè)正方形，其面積與一已知圓的面積相等。

哥德巴赫猜想：任意大于２的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。

41２．近代三大數(shù)學(xué)難題四色猜想：每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。

費(fèi)馬大定理：方程式，（n>2）沒有非平凡的整數(shù)解(即)。

哥德巴赫猜想：任意大于２的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。

42３．七大千年數(shù)學(xué)難題●NP完全問題●霍奇（Ｈodge）猜想●龐加萊（Ｐoincare）猜想●黎曼（Riemannian）假設(shè)●楊－米爾斯（Yang-Mills

）理論●納衛(wèi)爾－斯托可（Navier-Stokes

）方程●貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-

Dyer)猜想

434．球裝問題如何把乒乓球裝箱，才可以裝到最多乒乓球呢？這就是有名的“球體填充問題”，也稱“開普勒猜想”。4445