《走向清華北大》高考總復習 基本不等式及其應用

第三十四講基本不等式及其應用回歸課本1.算術平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個正數(shù)的算術平均數(shù).2.幾何平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個正數(shù)的幾何平均數(shù).3.重要不等式如果a,b∈R,則a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時,取“=”);均值定理:如果a,b∈R+,那么

(當且僅當a=b時,取“=”).均值定理可以敘述為:兩個正實數(shù)的算術平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù).5.已知x、y都是正數(shù),則(1)若x+y=S(和為定值),則當x=y時,積xy取最大值(2)若xy=P(積為定值),則當x=y時,和x+y取得最小值即兩個正數(shù)的和為定值,則可求其積的最大值;積為定值,則可求其和的最小值.應用此結論要注意三個條件;“一正二定三相等”,即:①各項或各因式為正;②和或積為定值;③各項或各因式都能取得相等的值.考點陪練1.函數(shù)y=log2x+logx2的值域是()A.(-∞,-2] B.[2,+∞)C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案:D2.已知x+3y=2,則3x+27y的最小值為()答案:A答案:C答案:B答案:D類型一 證明不等式解題準備:證明不等式是均值不等式的一個基本應用,注意分析不等式的左右兩邊的結構特征,通過拆(添)項創(chuàng)設一個應用均值不等式的條件.在解決本類問題時注意以下幾點:(1)均值不等式成立的前提條件;(2)通過加減項的方法配湊成算術平均數(shù)、幾何平均數(shù)的形式;(3)注意“1”的代換;(4)靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運用.【典例1】證明:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).[分析]利用a2+b2≥2ab(a,b∈R)求證即可.[證明]∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).即原命題可得證.類型二求最值解題準備:1.利用基本不等式可以求一些函數(shù)或代數(shù)式的最值.2.應用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:類型三 利用均值不等式解應用題解題準備:均值不等式作為求最值的常用工具,經常在有關最優(yōu)解的實際問題中應用.應用均值不等式解決實際問題的基本步驟是:①仔細閱讀題目,透徹理解題意;②分析實際問題中的數(shù)量關系,引入未知數(shù),并用它表示其它的變量,把要求最值的變量設為函數(shù);③應用均值不等式求出函數(shù)的最值;④還原實際問題,作出解答.【典例3】某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級污水處理池(平面圖如圖所示).如果池四周圍墻建造單價為400元/m,中間兩道隔墻建造單價為248元/m,池底建造單價為80元/m2,水池所有墻的厚度忽略不計.(1)試設計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價;(2)若由于地形限制,該池的長和寬都不能超過16m,試設計污水池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價. [反思感悟]不等式應用的特點是:(1)問題的背景是人們關心的社會熱點問題,如“物價?稅收?銷售?市場信息”等,題目往往篇幅較長.(2)建立函數(shù)模型常見的有“正(反)比例函數(shù)?一次函數(shù)?二次函數(shù)?指數(shù)函數(shù)?對數(shù)函數(shù)?三角函數(shù),以及”等形式.解函數(shù)應用題中的最值問題一般利用二次函數(shù)的性質或基本不等式來解決.錯源一忽視等號成立的條件[剖析]解法一和解法二的錯誤原因是等號同時成立的條件不具備,因此使用基本不等式一定要驗證等號成立的條件,只有等號成立時,所求出的最值才是正確的.錯源二忽視均值不等式應用條件致誤[答案](-∞,-1]∪[3,+∞)技法一快速解題(三角換元)【典例1】已知a、b、c、d∈R,x、y∈R+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2.求證:xy≥ac+bd.[快解]聯(lián)想到圓的參數(shù)方程,設a=xcosθ,b=xsinθ,c=ycosφ,d=ysinφ,則ac+bd=xycosθcosφ+xysinθsinφ=xycos(θ-φ)≤xy.[另解切入點]有a2+b2、c2+d2的形式出現(xiàn),就可以用a2+b2≥2ab.由于a、b、c、d∈R,故ac+bd可能為正,也可能為負.當ac+bd<0時,顯然不需證明,只需考慮ac+bd>0的情況.[證明]證法一:當ac+bd<0時,顯然有xy≥ac+bd成立.當ac+bd≥0時,x2y2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,即xy≥ac+bd.證法二:當ac+bd<0時,顯然有xy≥ac+bd成立;當ac+bd≥0時,欲證xy≥ac+bd,只需證x2y2≥a2c2+b2d2+2abcd.∵x2=a2+b2,y2=c2+d2,∴(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd.即x2y2≥a2c2+b2d2+2abcd成立,因此,原不等式成立.[方法與技巧]證法一與證法二基本相同,只是形式不同而已.而快解聯(lián)想到圓的參數(shù)方程,進行三角代換,又不必考慮ac+bd的正負問題,僅注意到xy>0、-1≤cos(θ-φ)≤1就行了.[得分主要步驟]本題證明步驟簡單,但需考慮ac+bd或正或負的兩種情況.若ac+bd<0,則(ac+bd)2與x2y2的大小不能確定,證題時需注意此處.[易丟分原因]沒有考慮到ac+bd≥0還是ac+bc<0.技法二如何解決含有多個變量的條件最值問題求解含有多個變量的條件最值問題,一般方法是利用給出的條件,通過代換減少變量的個數(shù),將問題轉化為只含有一個變量的函數(shù)的最值問題進行解決.如果條件等式中含有兩個變量的和與積的形式,