數(shù)值分析01-第一章

封建湖、車剛明、聶玉峰編著數(shù)值分析原理科學(xué)出版社主要教材：華長生制作2主要參考書：《數(shù)值分析與實驗》韓旭里、萬忠編著科學(xué)出版社華長生制作3第一章緒論1.3舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定性1.1數(shù)值分析的對象與任務(wù)1.2誤差基礎(chǔ)知識華長生制作4本章重點:1.絕對誤差(限)和相對誤差(限)2.有效數(shù)字位數(shù)及其與誤差的關(guān)系華長生制作51.1數(shù)值分析的對象與任務(wù)實際問題的提出建立數(shù)學(xué)模型提出數(shù)值問題設(shè)計高效、可靠的數(shù)值方法程序設(shè)計上機實踐計算結(jié)果科學(xué)與工程領(lǐng)域中的問題求解一般過程：華長生制作6數(shù)值問題：輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關(guān)系的一個確定而無歧義的描述即：輸入與輸出的都是數(shù)值的數(shù)學(xué)問題如求解線性方程組求解二次方程是數(shù)值問題一、數(shù)值問題華長生制作7求解微分方程不是數(shù)值問題將其變成數(shù)值問題，即將其“離散化”“離散化”是將非數(shù)值問題的數(shù)學(xué)模型化為數(shù)值問題的主要方法華長生制作8二、數(shù)值方法數(shù)值方法:是指解數(shù)值問題的在計算機上可執(zhí)行的系列計算公式在計算機上可執(zhí)行的公式是指只含有加減乘除的公式現(xiàn)在的計算機中幾乎都含有關(guān)于開方的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)sqrt()常見的在計算機上不能直接運行的計算有:開方、極限、超越函數(shù)、微分、積分等等要在計算機上實行上述運算需將其化為可執(zhí)行的等價或近似等價運算華長生制作9應(yīng)化為如求根公式應(yīng)化為公式華長生制作10本課程的主要任務(wù):1.針對所求解的數(shù)值問題尋找在計算機上可執(zhí)行的且有效的數(shù)值方法2.因為可能采用了近似等價運算,故要進(jìn)行誤差分析,即數(shù)值問題的性態(tài)及數(shù)值方法的穩(wěn)定性本課程的重點就是對線性方程組、微積分、微分方程、矩陣特征值及回歸擬合等問題尋找行之有效的數(shù)值方法華長生制作111.2誤差基礎(chǔ)知識一、誤差的種類及來源模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型過程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對問題作一些簡化,因此和實際問題有一定的區(qū)別.觀測誤差在建模和具體運算過程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過觀察和測量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有誤差華長生制作12如:若將前若干項的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差Taylor展開截斷誤差由于計算機只能完成有限次算術(shù)運算和邏輯運算,因此要將有些需用極限或無窮過程進(jìn)行的運算有限化,對無窮過程進(jìn)行截斷,這就帶來誤差.華長生制作13舍入誤差在數(shù)值計算過程中還會遇到無窮小數(shù),因計算機受到機器字長的限制,它所能表示的數(shù)據(jù)只能有一定的有限位數(shù),如按四舍五入規(guī)則取有限位數(shù),由此引起的誤差過失誤差由于模型錯誤或方法錯誤引起的誤差.這類誤差一般可以避免華長生制作14數(shù)值計算中除了過失誤差可以避免外,其余誤差都是難以避免的.數(shù)學(xué)模型一旦建立,進(jìn)入具體計算時所考慮和分析的就是截斷誤差和舍入誤差的估計、傳播和控制二、誤差和誤差限定義1.華長生制作15絕對誤差限或誤差限,顯然或且華長生制作16哪個更精確呢?定義2.relativeerror華長生制作17絕對誤差限相對誤差限往往未知代替相對誤差代替相對誤差限因此華長生制作18例1.解:華長生制作19例2.解:可見,經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對誤差限將不超過其末位數(shù)字的半個單位華長生制作20則稱三、有效數(shù)字華長生制作21有4位有效數(shù)字有6位有效數(shù)字有8位有效數(shù)字華長生制作22例3.實際上只有1個華長生制作23華長生制作24例4.華長生制作25定理1．華長生制作26

例5

已知近似數(shù)的相對誤差界為0.3%，問至少有幾位有效數(shù)字？

解設(shè)有位有效數(shù)字，由于的第一個有效數(shù)沒有具體給定，而我們知道一定是1，2，，9中的一個，由故由定理式知=2，即至少有2位有效數(shù)字。華長生制作27例6.解:則有定理1,相對誤差滿足即應(yīng)取4位有效數(shù)字,近似值的誤差不超過0.1%.華長生制作28四、誤差的傳播與估計(用泰勒公式）即華長生制作29華長生制作30華長生制作31華長生制作32絕對誤差增長因子相對誤差增長因子思考:試分析相近數(shù)相減的誤差傳播規(guī)律華長生制作33特別地，對絕對誤差限的傳播關(guān)系有同樣，可以得到華長生制作34解這里并且有于是有誤差界相對誤差界

例7

設(shè)有長為,寬為的某場地?，F(xiàn)測得的近似值M,d的近似值=90M，并已知它們的誤差界為試估計該場地面積的誤差界和相對誤差界。華長生制作35例8

設(shè)有三個近似數(shù)它們都有三位有效數(shù)字。試計算的誤差界，并問的計算結(jié)果能有幾位有效數(shù)字？

解于是有誤差界

相對誤差界因為所以能有兩位有效數(shù)字。華長生制作36一、浮點數(shù)系及其運算的舍入誤差(略)二、算法的數(shù)值穩(wěn)定性1.3舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定性舍入誤差在一定的條件下能夠得到控制或舍入誤差的增長不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱其數(shù)值不穩(wěn)定。華長生制作37例8.計算定積分解:華長生制作38誤差放大

5千倍!但如果利用遞推公式華長生制作39因此在計算公式選用及算法設(shè)計時,應(yīng)注意以下原則1.四則運算中的穩(wěn)定性問題(1)防止大數(shù)吃小數(shù)這一類問題主要由計算機的位數(shù)引起假如作一個有效數(shù)字為4位的連加運算誤差會放大誤差不會放大華長生制作40而如果將小數(shù)放在前面計算在作連加時,為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進(jìn)行相加,如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別的方法.華長生制作41(2)作減法時應(yīng)避免相近數(shù)相減兩個相近的數(shù)相減,會使有效數(shù)字的位數(shù)嚴(yán)重?fù)p失由于在算法設(shè)計中,若可能出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減,則改變計算公式,如使用三角變換、有理化等等華長生制作42例9.解方程解:由中學(xué)知識韋達(dá)定理可知,方程的精確解為而如果在字長為8,基底為10的計算機上利用求根公式機器吃了因此在計算機上華長生