2023年九年級中考數(shù)學(xué)頻考點突破 勾股定理的應(yīng)用（含解析）

2023年中考數(shù)學(xué)頻考點突破--勾股定理的應(yīng)用一、綜合題1．已知Rt△ABC中，∠C=90?，AC=4，BC=8.動點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線CB方向運(yùn)動，連接AP.設(shè)運(yùn)動時間為ts.（1）求斜邊AB的長.（2）當(dāng)t為何值時，△PAB的面積為6？（3）若t＜4，請在所給的圖中畫出△PAB中AP邊上的高BQ，問：當(dāng)t為何值時，BQ長為4？并直接寫出此時點Q到邊BC的距離.2．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，點F在DC的延長線上，AF交⊙O于G．（1）求證：∠FGC＝∠ACD；（2）若AE=CD=8，試求⊙O的半徑．3．?dāng)?shù)學(xué)中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數(shù)等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關(guān)系，我們把這種思想叫“算兩次”．“算兩次”也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，由它可以推導(dǎo)出很多重要的公式．（1）如圖1，是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖2①用“算兩次”的方法計算圖2中陰影部分的面積：第一次列式為▲，第二次列式為▲，因為兩次所列算式表示的是同一個圖形的面積，所以可以得出等式▲；②在①中，如果a+b=7，ab=10（2）如圖3，兩個邊長分別為a，b，c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個梯形，用“算兩次”的方法，探究a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系．4．關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．5．如圖，在等邊△ABC的AC，BC上各取一點D，E，使AD=CE，AE，BD相交于點M，過點B作直線AE的垂線BH，垂足為H.（1）求證：△ACE≌△BAD；（2）若BE=2EC=4.①求△ABC的面積；②求MH的長.6．如圖1，有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形．（1）拼成的正方形的面積是，邊長是．（2）把10個小正方形組成的圖形紙（如圖2），剪開并拼成正方形．①請在4×4方格圖內(nèi)畫出這個正方形．②以小正方形的邊長為單位長度畫一條數(shù)軸，并在數(shù)軸上畫出表示-10的點．（3）這種研究和解決問題的方式，主要體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想方法．A．?dāng)?shù)形結(jié)合 B．代入 C．換元 D．歸納7．如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，AC=BC，連接OC，DF是AC的垂直平分線，交OC于點F，垂足為點E，連接AD、（1）求證：AD是⊙O（2）若CD=6，OF=4，求8．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=8，AD=10，點E在線段BC上且BE=6，連接DE，作FE（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB=8，點C到AB的距離為10，∠C=90°，且BC=2CD．當(dāng)四邊形ABCD9．如圖，AD是?ABDE的對角線，∠ADE=90°，延長ED至點C，使DC=ED，連接AC交BD于點O，連接（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）連接OE，若AD=4，AB=2，求OE10．閱讀與計算，請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題．角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABAC＝BDCD證明：如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長線于E．…任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，則△ABD的周長是．11．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC、AC上，若CD=3，DE∥AB，過點E作EF⊥DE（1）求證：△CDE（2）求EF的長．12．如圖，（1）作△ABC的外接⊙O（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半徑．13．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD=6，BC=10，AC=8，∠ABC=∠BCD.過點D作DE⊥BC，垂足為點E，延長DE至點F，使EF=（1）求證：四邊形ABFC是矩形；（2）求DE的長．14．（1）如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，點D是斜邊BC的中點，連接AD，求AD的長．（2）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別是E、F．求證：△ADE≌△CBF15．平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝12x﹣1的圖象如圖所示，它與直線y＝﹣2x+4的圖象都經(jīng)過A（2，0），且兩直線與y軸分別交于B、C兩點（1）直接畫出一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象；（2）直接寫出B、C兩點的坐標(biāo)；（3）判斷△ABC的形狀，并說明理由.16．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，作CE⊥AB于點E，AB=6OE，延長AB至點D，使得BD=AB，P是弧AB（異于A，B）上一個動點，連接AC，BC，CD，（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AO=3，求AC的長度．

答案解析部分1．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90?，AC=4，BC=8，AB（2）解：AC=4，BC=8，∵△PAB的面積為6，∴PB=3.∵CP=2t，∴當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，PB=8?2t；當(dāng)點P在點B的右側(cè)時，PB=2t，∴t=52（3）解：作△PAB中AP邊上的高BQ，在△ACP與△BQP中，∠∴△∴AP=BP.在∵CP2+CA2=∴當(dāng)t=32根據(jù)等面積法求出點Q到邊BC的距離：PQ【知識點】三角形的面積；勾股定理；一元一次方程的實際應(yīng)用-幾何問題；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求出.（2）分點P在B點左側(cè)與右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論即可；（3）作△PAB中AP邊上的高BQ，先根據(jù)AAS定理得出△ACP≌△BQP，再由勾股定理得出2．【答案】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AB垂直平分CD，∴AC=AD，∴∠ACD=∠D，∵四邊形AGCD內(nèi)接于⊙O，∴∠AGC+∠D=180°，∵∠AGC+∠FGC=180°，∴∠D=∠FGC，∴∠ACD=∠FGC；（2）解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，AE=CD=8，∴CE=ED=4，設(shè)OA=OC=r，則OE=8-r，在Rt△COE中，OE即(8-r解得r=5，即⊙O的半徑為5.【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【解析】【分析】（1）利用垂徑定理可證得AB垂直平分CD，利用垂直平分線的性質(zhì)可得到AC=AD；利用等邊對等角可知∠ACD=∠D；再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及補(bǔ)角的性質(zhì)可證得∠D=∠FGC，由此可證得結(jié)論.

（2）連接OC，利用垂徑定理求出CE的長；設(shè)OA=OC=r，可表示出OE的長；在Rt△COE，利用勾股定理可得到關(guān)于r的方程，解方程求出r的值.3．【答案】（1）解：①因為小正方形的邊長為：a所以第一次計算的面積為：(a-第二次計算的面積為：(a+所以：(a-b或(a+b)2-4ab②∵a+b=7∴(=（2）解：第一次利用梯形的面積公式圖形面積為：1第二次利用圖形的面積和計算為：2×∴1整理得：a∴a【知識點】列式表示數(shù)量關(guān)系；完全平方公式的幾何背景；勾股定理的證明【解析】【分析】（1）①利用所給圖形，再結(jié)合完全平方公式求解即可；

②根據(jù)a+b=7，ab=10，計算求解即可；

（2）先求出4．【答案】（1）解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形（2）解：∵當(dāng)△ABC是等邊三角形，∴a=b=c，∵（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，∴2ax2+2ax=0，∴x1=0，x2=﹣1【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理【解析】【分析】（1）利用根的判別式進(jìn)而得出關(guān)于a，b，c的等式，進(jìn)而判斷△ABC的形狀；（2）利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進(jìn)而代入方程求出即可．5．【答案】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，在△BAD和△ACE中，AD∴△ACE≌△BAD（SAS）；（2）解：如圖所示，作AF⊥BC于F點，①由“三線合一”知，∠BAF=30°，∵BC=BE+EC=4+2=6，∴AB=6，BF=3，由勾股定理可得：AF=33∴S△ABC②由①可知，AF=33，∴根據(jù)勾股定理可得，AE=A∵S△ABE∴BH=2由（1）可得，∠ABD=∠CAE，∴∠ABD+∠BAM=∠CAE+∠BAM=60°，即：∠BMH=∠ABD+∠BAM=60°，則在Rt△BHM中，∠MBH=30°，∴BH=3∴MH=【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，然后利用全等三角形的判定定理進(jìn)行證明；

（2）①作AF⊥BC于F點，由“三線合一”的性質(zhì)可知：∠BAF=30°，易得BC=6，AB=6，BF=3，由勾股定理求出AF，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計算；

②由AF、FE的值結(jié)合勾股定理可得AE，利用三角形的面積公式可得BH，由（1）可得∠ABD=∠CAE，則可得∠BMH=∠ABD+∠BAM=60°，然后在Rt△BHM中，根據(jù)三角函數(shù)的概念就可求出MH.6．【答案】（1）5；5（2）解：①10個小正方形組成的圖形紙剪開并拼成正方形的邊長為10，如圖所示：②表示-10的點如圖所示：（3）A【知識點】實數(shù)在數(shù)軸上的表示；勾股定理；正方形的性質(zhì)【解析】【解答】解：（1）拼成的正方形的面積是5，邊長是5，故答案為：5，5；（3）這種研究和解決問題的方式，主要體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．故答案為：A．【分析】（1）利用勾股定理求出構(gòu)成的正方形的邊長，就可求出構(gòu)成的正方形的邊長。

（2）①由題意可知10個小正方形組成的圖形紙剪開并拼成正方形的邊長為10，因此畫出邊長為10的正方形即可；②利用在數(shù)軸上畫無理數(shù)的方法，利用勾股定理作出圖形。

（3）此題主要體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。7．【答案】（1）證明：∵O為圓心，∴OA=OB，∵AC=BC，∴CO⊥AB，∵DF是AC的垂直平分線，∴AD∴∠DAC∵∠DCA∴∠DAC∴AD∴∠DAO=∠COB又AB是圓O的直徑，∴AD是⊙O（2）解：連接AF，如圖，由（1）知，AD∵∠DCA∴CD∴AF在RtΔAOF中，AF∴AO在RtΔAOC中，AOA∴AC∴AE∴cos【知識點】平行線的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；切線的判定；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三線合一，平行線的判斷與性質(zhì)和圓的的切線的判定定理解答即可；

（2）利用權(quán)等三家性的判定與性質(zhì)得到AF=AD=CD=8．【答案】（1）4（2）解：如圖，過點D作DH⊥BC于H，∴四邊形ADHB是矩形，∴DH=AB=8，BH=AD=10，∵BE=6，∴HE=4，∵∠B=∠DEF=90°，∴∠BFE=∠DEH，又∵∠B=∠DHE=90°，∴△BFE∽△HED，∴BEDH∴68∴BF=3，∴S=8×10?12×6×3=55；（3）解：過點C作EF∥AB，過點D作EF的垂線交EF于點E，交BA的延長線于點H，過點B作BF⊥EF于點F，則FB=EH=10，由（1）知△ECD∽△FBC，∴CDCB∴EC=5，設(shè)ED=x，則CF=2x，HD=(10-x)，HA=(2x+5-8)=(2x-3)，∴S=10×(2x+5)-1=x2解得：x1=∴ED=2，∴CD=CE【知識點】三角形的面積；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：（1）∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠DPA+∠CPB=90°，∵∠DPA+∠ADP=90°，∴∠ADP=∠CPB，∴△ADP∽△BPC，∴APBC∵AP=2，PC=2DP，∴2BC∴BC=4；【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠ADP=∠CPB，證明△ADP∽△BPC，然后結(jié)合AP=2，PC=2DP以及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算；

（2）過點D作DH⊥BC于H，則四邊形ADHB是矩形，DH=AB=8，BH=AD=10，由同角的余角相等可得∠BFE=∠DEH，證明△BFE∽△HED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BF，然后根據(jù)S四邊形ADEF=S四邊形ADHB-S△BFE-S△DHE進(jìn)行計算；

（3）過點C作EF∥AB，過點D作EF的垂線交EF于點E，交BA的延長線于點H，過點B作BF⊥EF于點F，則FB=EH=10，由（1）知△ECD∽△FBC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得EC=5，設(shè)ED=x，則CF=2x，HD=10-x，HA=2x-3，然后根據(jù)S四邊形ABCD=S矩形BFEH-S△BFC-S△CED-S△AHD=61結(jié)合矩形、三角形的面積公式可得x，再利用勾股定理進(jìn)行計算.9．【答案】（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB//DE，∵DC=∴DC=AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ADE=∴∠ADC=∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：過O作OF⊥CD于F∵四邊形ABCD是矩形，AD=4，∴DE=CD=AB=2，AD=BC=4，AC=∴OD=∵OF⊥∴DF=∴OF是△BCD的中位線，∴OF=12BC=∴OE=【知識點】勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定【解析】【分析】（1）先求出AB//DE，再求出AB=ED，最后證明求解即可；

（2）先求出OD=OC10．【答案】（1）證明：過C作CE∥DA．交BA的延長線于E，∵CE∥AD，∴BDCD＝BAEA，∠2＝∠ACE，∠1＝∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴ABAC＝BDCD（2）9+3【知識點】勾股定理；平行線分線段成比例【解析】【解答】解：（2）∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5，∵AD平分∠BAC，∴ACAB＝CDBD，即53＝∴BD＝32∴AD＝BD2+AB2＝(∴△ABD的周長＝32+3+352＝故答案為：9+352【分析】（1）過C作CE∥DA．交BA的延長線于E，利用平行線分線段成比例定理得到BDCD＝BAEA，利用平行線的性質(zhì)得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有ABAC＝BDCD；（2）先利用勾股定理計算出AC=5，再利用（1）中的結(jié)論得到ACAB＝CDBD，即53＝CDBD，則可計算出BD=3211．【答案】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°．∵∠ACB=60°，∴∠EDC=∠ACB=60°，∴∠EDC=∠ACB=∠DEC=60°，∴（2）解：∵EF⊥DE，∠ACB=∠DEC=60°，∴∠CEF=30°，∴∠F=30°．∵△DCE是等腰三角形，CD=3，∴DE=CD=3．在Rt△DEF中，∠F=30°，∴【知識點】等邊三角形的判定；勾股定理【解析】【分析】（1）利用兩個角是60°的三角形是等邊三角形的判定方法求解即可；

（2）先利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出DF的長，再利用勾股定理求出EF的長即可。12．【答案】（1）解：如圖，⊙O即為所求；（2）解：∵AB=6cm，AC=BC=5cm，∴AD=12AB=3cm∴CD=AC2-A設(shè)OC=OA=r，則OD=4﹣r，在Rt△AOD中，∵AD2+OD2=OA2，即32+（4﹣r）2=r2，解得r=25【知識點】勾股定理；三角形的外接圓與外心【解析】【分析】（1）作線段AB于BC的垂直平分線相交于點O，則點O即為圓心，OA為半徑，作△ABC的外接圓即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出CD的長，設(shè)OC=OA=r，則OD=CD﹣r，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．13．【答案】（1）證明：∵DE=EF，EC=EC，∴△∴CF=CD=∵∠ABC=∠∴∠ABC=∠∴AB//∴四邊形ABFC是平行四邊形，又∵AB2+∴∠BAC=90°∴四邊形ABFC是矩形；（2）解：設(shè)CE=x，則BE=10-則有BF2即82-解得：x=3.6∴EF=∴DE=【知識點】勾股定理；矩形的判定【解析】【分析】（1）先求出∠ABC=∠FCB，再求出∠BAC=90°，14．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，由勾股定理得，BC=AC2∵點D是BC的中點，BC是Rt△ABC