湖南省岳陽縣一中2023屆高三第四次階段考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷

湖南省岳陽縣一中2023屆高三第四次階段考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷時(shí)量：120分鐘 分值：150分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．設(shè)集合P={－1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定義P*Q=，則P*Q的元素的個(gè)數(shù)為（） A．4個(gè) B．7個(gè) C．10個(gè) D．12個(gè)2、已知平面上三個(gè)點(diǎn)A、B、C滿足，則的值等于 （） A．25 B．24 C．-25 D．-243、一個(gè)算法的程序框圖如下圖所示，若執(zhí)行該程序輸出的結(jié)果為，則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）A.B.C.D.4、在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為 （） A．-5 B．1 C．2 D．35、如果直線與圓C：有2個(gè)不同的交點(diǎn)，那么點(diǎn)P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是（）A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外D．不確定6、當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．7、已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）（）（A）（B）（C）（D）8、定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)，其圖像是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對任意實(shí)數(shù)都成立，則稱是一個(gè)“—伴隨函數(shù)”．有下列關(guān)于“—伴隨函數(shù)”的結(jié)論：①是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“—伴隨函數(shù)”；②“—伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．；③是一個(gè)“—伴隨函數(shù)”；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)；B．2個(gè)；C．3個(gè)；D．0個(gè)；二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分）9、已知是方程的兩根，，則10、如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的體積為11、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若等于12、若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則b的取值范圍13、已知點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓上，則|AM|+|MF|的最小值為14、設(shè)是從-1，0，1這三個(gè)整數(shù)中取值的數(shù)列，若，則中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為．15、將正整數(shù)1，2，3，4，…，n2（n≥2）任意排成n行n列的數(shù)表，對于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)a，b（a>b）的比值，稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”，記為f（n）．若表示某個(gè)n行n列數(shù)表中第i行第j列的數(shù)（1≤i≤n，1≤j≤n），且滿足則（1）f（3）=；（2）f（2023）=。三、解答題（16、17、18題各12分，19、20、21題各13分）16、（滿分12分）△ABC中，角A、B、C對邊分別是a、b、c，滿足．（1）求角A的大?。唬?）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角B、C的大小．17、（滿分12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．PABCDQPABCDQ（2）線段BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，求二面角A－PD－Q的余弦值。18、（滿分12分）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．且分別是等比數(shù)的．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)均有：成立．求的值．19、（滿分13分）某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個(gè)對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補(bǔ)，且AB＝BC．（1）設(shè)AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；(第21題圖）CAB(第21題圖）CABDl20、（滿分13分）已知F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足；（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）⊙O是以F1F2為直徑的圓，一直線l:y=kx+m與⊙O兩點(diǎn)A、B.當(dāng)，且滿足時(shí)，求△AOB面積S的取值范圍.21、（滿分13分）設(shè)函數(shù)在上的最大值為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對任何正整數(shù)，都有成立；（3）若數(shù)列的前之和為，證明：對任意正整數(shù)都有成立.參考答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合P={－1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定義P*Q=，則P*Q的元素的個(gè)數(shù)為（C） A．4個(gè) B．7個(gè) C．10個(gè) D．12個(gè)2、已知平面上三個(gè)點(diǎn)A、B、C滿足，則的值等于 （C） A．25 B．24 C．-25 D．-243、一個(gè)算法的程序框圖如下圖所示，若執(zhí)行該程序輸出的結(jié)果為，則判斷框中應(yīng)填入的條件是（B）A.B.C.D.4、在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為 （D） A．-5 B．1 C．2 D．35、如果直線與圓C：有2個(gè)不同的交點(diǎn)，那么點(diǎn)P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是（C）A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外D．不確定6、當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）A．B．C．D．7、已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）（A）（A）（B）（C）（D）[解析]：由得，即，∴∴，∴切線方程為，即選A(也可以不求解析式直接做出來,會(huì)更容易些!)8、定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)，其圖像是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對任意實(shí)數(shù)都成立，則稱是一個(gè)“—伴隨函數(shù)”．有下列關(guān)于“—伴隨函數(shù)”的結(jié)論：①是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“—伴隨函數(shù)”；②“—伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．；③是一個(gè)“—伴隨函數(shù)”；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（A）A．1個(gè)；B．2個(gè)；C．3個(gè)；D．0個(gè)；二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分35分．9、已知是方程的兩根，，則10、如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的體積為.【解析】該幾何體是如圖所示的三棱錐ABCD，可將其補(bǔ)形成一個(gè)長方體，半徑為，體積為.（也可直接找到球心，求出半徑解決問題）11、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若等于10512、若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則b的取值范圍（5，7）13、已知點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓上，則|AM|+|MF|的最小值為414、設(shè)是從-1，0，1這三個(gè)整數(shù)中取值的數(shù)列，若，則中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11．15、將正整數(shù)1，2，3，4，…，n2（n≥2）任意排成n行n列的數(shù)表，對于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)a，b（a>b）的比值，稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”，記為f（n）．若表示某個(gè)n行n列數(shù)表中第i行第j列的數(shù)（1≤i≤n，1≤j≤n），且滿足則（1）f（3）=；（2）f（2023）=。16、（滿分12分）△ABC中，角A、B、C對邊分別是a、b、c，滿足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角B、C的大?。獯穑á瘢┯梢阎?， 2分由余弦定理得，∴， 4分∵，∴． 6分（Ⅱ）∵，∴，.． 8分∵，∴，∴當(dāng)，取最大值，解得． 12分17、（滿分12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．PABCDQPABCDQ（2）線段BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，求二面角A－PD－Q的余弦值。解法1：（Ⅰ）如圖，連，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有．設(shè)，則，NMPABCNMPABCDQ在中，有．在中，有．即，即．∴故的取值范圍為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)，時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q（Q為BC邊的中點(diǎn)），使PQ⊥QD，過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．xyzPABCDxyzPABCDQ在等腰直角三角形中，可求得，又，進(jìn)而．∴．故二面角A－PD－Q的余弦值為．解法2：（Ⅰ）以為x．y．z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），P（0，0，4），設(shè)Q（t，2，0）（），則＝（t，2，－4），＝（t－a，2，0）．∵PQ⊥QD，∴＝0．即．

∴．故的取值范圍為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)，時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD．此時(shí)Q（2，2，0），D（4，0，0）．設(shè)是平面的法向量，由，得．取，則是平面的一個(gè)法向量．而是平面的一個(gè)法向量，．∴二面角A－PD－Q的余弦值為．18、（滿分12分）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．且分別是等比數(shù)的．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)均有：成立．求的值．解：（1）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d且a2、a5、a14成等比數(shù)列∴∴…3分又∵.∴……6分（2）∵①∴即又②①－②：∴∴…10分∴…12分19、（滿分13分）某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個(gè)對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補(bǔ)，且AB＝BC．（1）設(shè)AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；(第21題圖）CAB(第21題圖）CABDl解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC．因?yàn)椤螦和∠C互補(bǔ)，所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA．…………3分即x2+(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2+(5－x)2＋2x(5－x)cosA．解得cosA＝eq\f(2,x)，即f(x)＝eq\f(2,x)．其中x∈(2，5)．………6分（2）四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)(AB·AD+CB·CD)sinA＝eq\f(1,2)[x(5－x)+x(9－x)]eq\r(,1－cos2A)．＝x(7－x)eq\r(,1－(eq\f(2,x))2)＝eq\r(,(x2－4)(7－x)2)＝eq\r(,(x2－4)(x2－14x＋49))．…………9分記g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5)．由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4(x＝7和x＝－eq\f(1,2)舍)．………11分所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(2，4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4，5)內(nèi)單調(diào)遞減．因此g(x)的最大值為g(4)＝12×9＝108．所以S的最大值為EQ\r(,108)＝6eq\R(,3)．答：所求四邊形ABCD面積的最大值為6eq\R(,3)m2．………13分20、（滿分13分）已知F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足；（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）⊙O是以F1F2為直徑的圓，一直線l:y=kx+m與⊙O兩點(diǎn)A、B.當(dāng)，且滿足時(shí)，求△AOB面積S的取值范圍.解：（Ⅰ）∴點(diǎn)M是線段PF2的中點(diǎn)∴OM是△PF1F2的中位線又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=15分（Ⅱ）∵圓O與直線l相切由∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，,設(shè)，則，解得：8分13分21、（滿分13分）設(shè)函數(shù)在上的最大值為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對任何正整數(shù)，都有成立；（3）若數(shù)列的前之和為，證明：對任意正整數(shù)都有成立.【解析】（1）由