勾股定理的應(yīng)用

數(shù)學(xué)來源于生活服務(wù)于生活第十八章勾股定理18.1勾股定理(二）勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊長為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．復(fù)習(xí)1abcABC如果在Rt△ABC中，∠C=90°那么結(jié)論變形c2

=

a2

+

b2abcABC（1）求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB練習(xí)30°2245°回答：①在解決上述問題時，每個直角三角形需知道幾個條件？②直角三角形哪條邊最長？（2）在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m

，求AC長．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：探究

1.

小明家裝修時需要一塊薄木板，已知小明家的門框尺寸是寬1m，高2m，如圖所示，那么長3m，寬2.2m的薄木板能否順利通過門框呢？

探究2例2如圖，一架2.6米長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4米．（1）求梯子的底端B距墻角O多少米？（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？探究3:在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題這個問題意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？DABC

探究4.一個圓柱形紙筒的底面周長是40cm，高是30cm，一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃到上底與下底面中間與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的蜜糖，試問螞蟻爬行的最短的路程是多少？.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)的最短路程是_________這節(jié)課你有什么收獲？

數(shù)學(xué)中的思想：

轉(zhuǎn)化的思想方程的思想數(shù)形結(jié)合的思想歸納總結(jié)實際問題數(shù)學(xué)問題如何運(yùn)用勾股定理解決實際問題？

1.審題分析題目中的已知條件

2.把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題3.利用勾股定理建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化練習(xí)1.（1）如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上的一點(diǎn)，測得CB=60m，AC=20m

，你能求出A、B兩點(diǎn)間的距離嗎？（結(jié)果保留整數(shù)）練習(xí)2有一個邊長為50dm

的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？（結(jié)果保留整數(shù)）50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：如圖，受臺風(fēng)“麥莎”影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹折斷前有多高？練習(xí)34米3米例2：如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設(shè)AE=xkm，根據(jù)勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵

DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站應(yīng)建在離A站10km處?！郮=10則BE=（25-x）km1510例4:矩形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。ABCDFE解:設(shè)DE為X,X(8-X)則CE為(8－

X).由題意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－

X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5例6：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是（）.

（A）3（B)√

5

（C）2（D）1ABABC21分析：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.B活動3（3）如圖，分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之間有的關(guān)系式為

．活動3（3）變式：你還能求出S1、S2、S3之間的關(guān)系式嗎？S1S2S3補(bǔ)充練習(xí)及書后部分習(xí)題1．在Rt△ABC中,∠C=90°,已知:a=5,b=12,求c;已知:b=6,c=10,求a;已知:a=7,c=25,求b;已知:a=7,c=8,求b

．2．一直角三角形的一直角邊長為7,另兩條邊長為兩個連續(xù)整數(shù)，求這個直角三角形的周長．8.一架5長的梯子，斜立靠在一豎直的墻上，這是梯子下端距離墻的底端3，若梯子頂端下滑了1,則梯子底端將外移（）9.如圖，要在高3m,斜坡5m的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需（）米10.把直角三角形兩條直角邊同時擴(kuò)大到原來的3倍，則其斜邊（）A.不變B.擴(kuò)大到原來的3倍C.擴(kuò)大到原來的9倍D.減小到原來的1/3ABC17B4．如圖:是一個長方形零件圖，根據(jù)所給的尺寸,求兩孔中心A、B之間的距離．ABC409016040應(yīng)用知識回歸生活5．小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機(jī)．小明量了電視機(jī)的屏幕，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬．他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？應(yīng)用知識回歸生活在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深是________m。

小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。小東拿著一根長竹竿進(jìn)一個寬為3米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來拿，結(jié)果竹竿比城門高1米，當(dāng)他把竹竿斜著時，兩端剛好頂著城門的對角，問竹竿長多少米？解:設(shè)竹竿長X米,則城門高為(X－1)米.根據(jù)題意得:32+(X－1)

2=X29+X2

－2X+1=X210－2X=02X=10X=5答:竹竿長5米有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.解:設(shè)竹竿高X尺,則門高為(X－1)尺.根據(jù)題意得:42+(X－1)

2=X216+X2

－2X+1=X217－2X=02X=17X=8.5答:竹竿高8.5尺,門高為7.5尺.13．在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_(dá)________________________米。

15ABCDEF如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F處,已知CE=3,AB=8,則BF=___________。如圖，有一個直角三角形紙片，兩直直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿∠CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？AECDB一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是5cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長是____________cm。AB.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)的最短路程是_________如圖，一個圓柱形紙筒的底面周長是40cm，高是30cm，一只小螞蟻在圓筒底的A處，它想吃到上底與下底面中間與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的蜜糖，試問螞蟻爬行的最短的路程是多少？◆在長30cm、寬50cm、高40cm的木箱中，如果在箱內(nèi)的A處有一只昆蟲，它要在箱壁上爬