復(fù)變函數(shù)與積分變換

復(fù)變函數(shù)與積分變換1主要意義數(shù)學(xué)理論解決實際問題信號與系統(tǒng)（復(fù)變函數(shù)）數(shù)字信號處理（積分變換）電磁場理論（數(shù)理方程）培養(yǎng)推理、歸納、演繹和創(chuàng)新能力2復(fù)變函數(shù)與積分變換主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)相對應(yīng)復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù)、復(fù)導(dǎo)數(shù)、復(fù)積分、級數(shù)新添內(nèi)容留數(shù)和保形映射積分變換高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容傅立葉變換新添內(nèi)容離散傅立葉變換、離散沃而什變換、梅林變換、z變換3主要要求按時完成作業(yè)學(xué)習(xí)態(tài)度認真深入領(lǐng)會數(shù)學(xué)理論掌握并能運用數(shù)學(xué)理論和方法解決實際問題成績平時30％－40％期末考試60％－70％4復(fù)變函數(shù)5復(fù)變函數(shù)發(fā)展史十六世紀引入十七和十八世紀，復(fù)變函數(shù)得到了發(fā)展J.達朗貝爾（1717－1783）和L.歐拉（1707－1783）逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究流體力學(xué)十九世紀，奠定了復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)A.L.柯西（1789－1857）和K.外爾斯特拉斯（1815－1897）應(yīng)用積分和級數(shù)來研究復(fù)變函數(shù)G.F.B.黎曼（1826－1866）研究了復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)二十世紀，復(fù)變函數(shù)稱為數(shù)學(xué)的重要分支應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴展電學(xué)、熱學(xué)、理論物理、空氣動力學(xué)、流體力學(xué)數(shù)學(xué)的其他分支（如微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等等）6主要內(nèi)容第一章、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章、解析函數(shù)第三章、復(fù)變函數(shù)的積分第四章、級數(shù)第五章、留數(shù)7第一章、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)8主要內(nèi)容1.1復(fù)數(shù)的概念與運算1.2復(fù)變函數(shù)91.1復(fù)數(shù)的概念與運算主要內(nèi)容：1、復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算2、復(fù)數(shù)的幾何表示3、復(fù)數(shù)四則運算的幾何意義4、復(fù)球面5、復(fù)數(shù)的乘冪與方根101、復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算什么是復(fù)數(shù)？稱為復(fù)數(shù)實部虛部虛數(shù)單位x=Re(z)y=Im(z)稱為純虛數(shù)稱為實數(shù)111、復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算兩個復(fù)數(shù)相等的條件；當(dāng)且僅當(dāng)實部與虛部分別相等一個復(fù)數(shù)等于零的條件：當(dāng)且僅當(dāng)實部與虛部同時等于零共軛復(fù)數(shù)：x+iy和x–iy記做12代數(shù)運算復(fù)數(shù)的和、差、積、商對復(fù)數(shù)和：和、差：乘法：除法：13代數(shù)運算算律：交換律：結(jié)合律：分配律：142、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算復(fù)數(shù)的常用運算（1）（2）（3）若，則與至少有一個為零證明：若（4）15代數(shù)運算舉例：例1：例2：求證：16代數(shù)運算共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）172、復(fù)數(shù)的幾何表示實數(shù)（x,y）與x軸和y軸構(gòu)成的二維實數(shù)平面一一對應(yīng)那么復(fù)數(shù)呢？復(fù)數(shù)由一對有序?qū)崝?shù)（x，y）唯一確定x軸上的點對應(yīng)實數(shù)，因此x軸被稱為實軸y軸上的點對應(yīng)虛數(shù)，因此y軸被稱為虛軸

表示復(fù)數(shù)z的平面被稱為復(fù)平面或z平面復(fù)數(shù)的第一種表示方法182、復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z與從原點O到z=x+iy

所引向量構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)的第二種表示方法Oxyz＝x+iyargz|z||z|：向量z的長度，稱為復(fù)數(shù)z的模Argz：由實軸的正向到向量之間的夾角，稱為復(fù)數(shù)z的幅角19復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)模|z|的性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）Oxy|z1+z2||z1-z2|z1z220復(fù)數(shù)的模求證所以：21復(fù)數(shù)的模求證當(dāng)時：有：當(dāng)時，同理有：所以：22復(fù)數(shù)的幅角Argz有無窮多個值，每兩個值相差2的整數(shù)倍只有一個值在（，]的范圍內(nèi)，該值被稱為主值，記做argzArgz＝argz＋2k（）tan(Argz)=當(dāng)z＝0時，z的模值為0，幅角不定23復(fù)數(shù)的幅角例5：求Arg（2－2i）和Arg（－3＋4i）243、復(fù)數(shù)四則運算的幾何意義根據(jù)直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的關(guān)系可得復(fù)數(shù)z的三角表達式：根據(jù)歐拉公式：可得復(fù)數(shù)z的指數(shù)表達式：253、復(fù)數(shù)四則運算的幾何意義定理1－1：兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們模的乘積； 兩個復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和即：例7：z1=-1,z2=i,求Arg（z1z2）＝？表示集合的相等，即對等式左端的任一值，等式右端必有一值與之對應(yīng)，反之亦然對兩個非零復(fù)數(shù)：Oxy|z1+z2|z1z2263、復(fù)數(shù)四則運算的幾何意義定理1－2：兩個復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商； 兩個復(fù)數(shù)商的幅角等于它們被除數(shù)與除數(shù)的幅角差即：對兩個非零復(fù)數(shù)：用指數(shù)表達式計算復(fù)數(shù)的乘積與商，可得：273、復(fù)數(shù)四則運算的幾何意義例8：z1=1+i,z2＝－1－i,求z1z2，z1/z2283、復(fù)數(shù)四則運算的幾何意義由于因此：當(dāng)增加或減少時，z點沿圓周移動一圈回到出發(fā)點，因此，兩者表示同一個復(fù)數(shù)OxyOxyzz029O4、復(fù)球面（1）復(fù)數(shù)的球面表示NzPZ：復(fù)平面上任意一點N：球面與垂直于復(fù)平面的射線的交點P：z和N的連線與球面的交點（異于N）或者說，過N和球面上異于N的任意一點P的直線，與復(fù)平面交與一點z因此，球面上點P與復(fù)平面上點z一一對應(yīng)，即 復(fù)數(shù)可以用球面上的點表示304、復(fù)球面（2）擴充復(fù)平面當(dāng)P點無限逼近于N點時復(fù)平面上沒有復(fù)數(shù)與之對應(yīng)z點無限遠離原點：該點就被稱為“無窮遠點”包含了無窮遠點在內(nèi)的平面稱為擴充復(fù)平面為了使擴充復(fù)平面的點與球面上的點一一對應(yīng)，規(guī)定“無窮遠點”是唯一的無特殊情況，只考慮有限復(fù)數(shù)及復(fù)平面314、復(fù)球面（3）復(fù)數(shù)不等于0的有限復(fù)數(shù)與的運算為：那么關(guān)于，，以及的運算呢？無意義！325.復(fù)數(shù)的乘冪與方根主要內(nèi)容：復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的方根33（1）復(fù)數(shù)的乘冪n為正整數(shù)n為正整數(shù)約定，因此n為負整數(shù)定義，因此：數(shù)學(xué)歸納法34（1）復(fù)數(shù)的乘冪

當(dāng)r=1時，則上述公式變?yōu)椋杭矗洪δィ―eMoivre)公式352、復(fù)數(shù)的方根稱滿足方程的復(fù)數(shù)為該方程的n次方根 記做，即，或是記做，此時求解該方程：設(shè)，則：362、復(fù)數(shù)的方根所以，復(fù)數(shù)的方根為：復(fù)數(shù)方根的幾何意義當(dāng)時可以得到n個單根n個單根在幾何上表現(xiàn)為以原點為中心，以為半徑的圓中，內(nèi)接正n邊形的n個頂點