阿貝爾群和循環(huán)群

一、阿貝爾群（Abel

群）定義5-5.1

設(shè)<G,>為一群,若

運算滿足交換律,則稱G為交換群或阿貝爾群(Abelgroup)。阿貝爾群又稱加群，常表示為<G，+>

（這里的+

不是數(shù)加，而泛指可交換二元運算）。加群的幺元常用0來表示，元素x的逆元常用-x來表示。5-5阿貝爾群和循環(huán)群例題1設(shè)S={a,b,c,d}，在S上定義一個雙射函數(shù)

f:f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a,對于任一xS，構(gòu)造復(fù)合函數(shù)

f2(x)=fof(x)=f(f(x))f3(x)=fof2(x)=f(f2(x))f4(x)=fof3(x)=f(f3(x))如果用f0表示S上的恒等映射，即f0(x)=xxS很明顯地有f4(x)=f0(x)，記f1=f，構(gòu)造集合F={f0,f1,f2,f3}，那么<F，o>是一個阿貝爾群。解對于F中任意兩個函數(shù)的復(fù)合，可以由表5-5.1給出of0f1f2f3f0f1f2f3f0

f1f2f3f1

f2f3f0f2

f3f0f1f3

f0f1f2可見，復(fù)合運算o關(guān)于F是封閉的，并且是可結(jié)合的。由表5-5.1的對稱性，可知復(fù)合運算o是可交換的。因此<F，o>是一個阿貝爾群。

f0的逆元就是它本身，f1和f3互為逆元，f2的逆元也是它本身。再看5-4節(jié)例題1已經(jīng)驗證了<R，★>是群。由運算表的對稱性知運算★是可交換的，因此<R，★>是阿貝爾群。練習(xí)200頁（1）設(shè)<G，*>是一個獨異點，并且對于G中的每一個x都有x*x=e，其中e是幺元，證明<G，*>是一個阿貝爾群。證明

x*x=e說明G中的每一個元素x都是自身的逆元，所以<G，*>是一個群。任取x，y∈G，則x*y∈G因為x*y=（x*y）-1=y-1*x-1=y*x所以<G，*>是一個阿貝爾群。此題的推論：若群中每個元素的逆元都是它自己，則該群必是可交換群。例題2設(shè)G為所有n階非奇（滿秩）矩陣的集合，矩陣乘法運算ο作為定義在集合G上的二元運算，則<G,ο>是一個不可交換群。解任意兩個n階非奇矩陣相乘后，仍是一個非奇矩陣，所以運算ο是封閉的。矩陣乘法運算ο是可結(jié)合的。N階單位陣E是G中的幺元。任意一個非奇矩陣A存在唯一的逆陣A-1，使

A-1οA=AοA-1=E。但矩陣乘法運算ο是不可交換的，因此<G,ο>是一個不可交換群。定理5-5.1

設(shè)<G,>為一群,<G,>是阿貝爾群的充要條件是對任意的a,bG，有

（ab）（ab）=（aa）（bb）

證明:1）先證充分性從條件“（ab）（ab）=（aa）（bb）”出發(fā)，推出“<G,>是阿貝爾群”的結(jié)論：對于元素a,bG，有(ab)(ab)=(aa)(bb)

因為

右端=a(ab)b=(aa)(bb)=(ab)(ab)

=a(ba)b

即

a(ab)b=a(ba)b

由可約性得，用a-1左上式，再用b-1右上式，

(ab)=(ba)

2）再證必要性從“<G,>是阿貝爾群”的結(jié)論出發(fā)

，推出

“(ab)(ab)=(aa)(bb)”條件：略二、循環(huán)群定義5-5.2

設(shè)<G,>為群，如果在G中存在元素a,使G以{a}為生成集，G的任何元素都可表示為a

的冪（約定e=a0）,稱<G,>為循環(huán)群(cyclicgroup)，這時a稱為循環(huán)群G的生成元（generater）。例如，60o就是群<{0o,60o,120o,180o,240o,300o},★>的生成元，因此，該群是循環(huán)群。定理5-5.2

設(shè)任何一個循環(huán)群必定是阿貝爾群。

證明思路:循環(huán)群是阿貝爾群設(shè)<G,>是一個循環(huán)群，a是該群的生成元，則對于任意的x,yG

，必有r,sI，使得

x=ar

和y=as

而且xy=aras=ar+s=as+r=asar

=yx因此，運算可交換，是阿貝爾群。定義5-5.3設(shè)<G,>為群，aG，如果an=

e,

且n為滿足此式的最小正整數(shù),則稱a的階(order)為n，如果上述n不存在時,則稱a有無限階.定理5-5.3設(shè)<G,>為循環(huán)群，aG是該群的生成元，如果G的階數(shù)是n

，即|G|=n

，則an=e,且

G={a,a2,a3,...,an-2,an-1,an=e}其中，e是群<G,>的幺元。n是使an=e的最小正整數(shù)。證明思路:先證a的階為n

設(shè)對于某個正整數(shù)m,m<n,有am=e。那么，由于

<G,>是一個循環(huán)群，所以對于G中任意的元素都能寫為ak(kI),而且k=mq+r,其中q是某個整數(shù),0≤r<m,則有

ak=amq+r=(am)qar

=(e)qar

=ar因此，G中每一元素都可寫成ar(0≤r<m)，G中最多有m個元素。與|G|=n矛盾。所以am=e是不可能的。再用反證法證明a

，a2

，...

，an互不相同。設(shè)ai=aj，其中1≤i<j≤n

，就有aj-i=e

，而且1≤j-i<n

，這已經(jīng)有上面證明是不可能的。所以a

，a2

，...

，an都不相同。

因此G={a,a2,a3,...,an-2,an-1,an=e}

又如整數(shù)加群<I，+>，任取i∈I，若i>0，則i=1+1+…+1