山東省煙臺市龍口第十中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山東省煙臺市龍口第十中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知△ABC的兩邊長分別為2，3，這兩邊的夾角的余弦值為，則△ABC的外接圓的直徑為（）A． B． C． D．8參考答案：B【考點】正弦定理；余弦定理．

【專題】解三角形．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得三角形邊長分別為2、3的夾角的正弦值為，由余弦定理可求第三邊的長，根據(jù)正弦定理即可求得外接圓的直徑．【解答】解：△ABC的兩邊長分別為2、3，其夾角的余弦為，故其夾角的正弦值為，由余弦定理可得第三邊的長為：=3，則利用正弦定理可得：△ABC的外接圓的直徑為=．故選：B．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．2.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A，令，得：，∴單調(diào)遞減區(qū)間為

3.下列命題中，正確結(jié)論有（）（1）如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等（2）如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等（3）如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補（4）如果兩條直線同平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行Ａ．1個

Ｂ．2個

Ｃ．3個

Ｄ．4個

參考答案：B略4.已知A（2，4）與B（3，3）關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為(

)A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0參考答案：D【考點】與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程．【專題】計算題．【分析】先求出線段AB的中點坐標(biāo)，線段AB的斜率，可得直線l的斜率，用點斜式求得直線l的方程．【解答】解：由題意得直線l是線段AB的中垂線．線段AB的中點為D（，），線段AB的斜率為k==﹣1，故直線l的斜率等于1，則直線l的方程為y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，故選D．【點評】本題考查求線段的中垂線所在的直線方程的方法，求出所求直線的斜率，是解題的關(guān)鍵．5.一個命題與它的逆命題、否命題、逆否命題這4個命題中

（

）A.真命題與假命題的個數(shù)相同

B.真命題的個數(shù)一定是奇數(shù)C.真命題的個數(shù)一定是偶數(shù)

D.真命題的個數(shù)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)

參考答案：C略6.函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是(

)A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B7.已知等邊三角形的一個頂點位于拋物線的焦點，另兩個頂點在拋物線上，則這樣的等邊三角形的個數(shù)是（A）4

（B）3

（C）2

（D）1參考答案：C8.設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是，若Z+=4,Z·=8,則=A．i

B．-i

C．±1

D．±i參考答案：D略9.若一元二次不等式的解集為，則的解集為A．

B．C．

D．參考答案：C10.函數(shù)的定義域為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，的大小為

參考答案：120度略12.已知傾斜角為α的直線l與直線x+2y﹣3=0垂直，則=．參考答案：【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由直線垂直的性質(zhì)求出tanα=2，由此利用同角三角函數(shù)關(guān)系式能求出的值．【解答】解：∵傾斜角為α的直線l與直線x+2y﹣3=0垂直，∴tanα=2，∴===．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運用．13.已知直線和，若∥，則的值為

參考答案：114.點（x，y）在直線x+3y-2=0上，則最小值為

；參考答案：915.的否定是

．（原創(chuàng)題）參考答案：16.如果等差數(shù)列中，，那么

參考答案：2817.若對一切，不等式恒成立,則的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M.平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢圓C于A、B兩個不同點.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的取值范圍；y

（3）求證：直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形.參考答案：解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（＞＞0）

由題意

解得

C的方程為

………………4分

（2）

設(shè)：由消去得

直線與橢圓有兩個不同的交點

式有兩個不等實根

則＞0

解得＜＜2

又

的取值范圍為

………………8分

（3）設(shè)，則、為（）式的兩根，設(shè)MA交軸于點P，MB交軸于點Q

MA的方程為：

令，可得P（）=

同理可得Q

設(shè)PQ的中點為N，則

由②知

又

MPQ的中線MNPQ

MPQ為等腰三角形

………………12分19.已知定點A（1，0），定直線l:x=5，動點M（x,y）

(1)若M到點A的距離與M到直線l的距離之比為,試求M的軌跡曲線C1的方程；

（2）若曲線C2是以C1的焦點為頂點，且以C1的頂點為焦點，試求曲線C2的方程；

（3）是否存在過點F(,0)的直線m，使其與曲線C2交得弦|PQ|長度為8呢？若存在，則求出直線m的方程;若不存在，試說明理由。參考答案：提示:C1方程為;C2方程為或x+m的方程為x=或y=(x－)

20.(本小題滿分14分)已知中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓E,它的離心率為,一個焦點和拋物線y2=-4x的焦點重合,過直線l:x=4上一點M引橢圓E的兩條切線,切點分別是A,B.(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)若在橢圓(a>b>0)上的點(x0,y0)處的橢圓的切線方程是.求證:直線AB恒過定點C；并出求定點C的坐標(biāo).(Ⅲ)是否存在實數(shù)λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC||BC|恒成立？(點C為直線AB恒過的定點)若存在,求出λ的值；若不存在,請說明理由.參考答案：(I)設(shè)橢圓方程為(a>b>0).∵拋物線的焦點是,∴故,又,所以,所以所求的橢圓方程為

…………4分(II)設(shè)切點坐標(biāo)為,,直線上一點M的坐標(biāo).則切線方程分別為,.又兩切線均過點M,即,即點A,B的坐標(biāo)都適合方程,而兩點之間確定唯一的一條直線,故直線AB的方程是,顯然對任意實數(shù)t,點(1,0)都適合這個方程,故直線AB恒過定點.………9分(III)將直線AB的方程,代入橢圓方程,得,即所以不妨設(shè)，,同理………12分所以即.故存在實數(shù),使得.

……………14分21.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC=4，BC=3，AB=5，AA1=4，點D是AB的中點．（1）求證：AC1∥平面CDB1；（2）求直線AB1與平面BB1C1C所成角的正切值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角．【分析】（1）設(shè)BC1∩CB1于點O，連結(jié)OD，則OD，由此能證明AC1∥平面CDB1．（2）推導(dǎo)出AC⊥BC，AC⊥C1C，從而∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成角，由此能求出直線AB1與平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】證明：（1）如圖，設(shè)BC1∩CB1于點O，連結(jié)OD，∵O、D分別是BC1和AB的中點，∴OD，又∵OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（2）∵AC=4，BC=2，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∴AC⊥C1C，又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，∴直線B1C是斜線AB1在平面B1BCC1上的射影，∴∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成角，在Rt△AB1C中，B1C=5，AC=