2023屆數(shù)學二輪復習講練測：專題01 三角函數(shù)的圖象與綜合應用（精講精練）（解析版）

專題01三角函數(shù)的圖象與綜合應用【命題規(guī)律】三角函數(shù)的圖象與性質是高考考查的重點和熱點內容，主要從以下兩個方面進行考查：1、三角函數(shù)的圖象，涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查；2、利用三角函數(shù)的性質求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調區(qū)間等，主要以解答題的形式考查.3、三角恒等變換的求值、化簡是高考命題的熱點，常與三角函數(shù)的圖象、性質結合在一起綜合考查，如果單獨命題，多用選擇、填空題中呈現(xiàn)，難度較低；如果三角恒等變換作為工具，將其與三角函數(shù)及解三角形相結合求解最值、范圍問題，多以解答題為主，中等難度．【核心考點目錄】核心考點一：齊次化模型核心考點二：輔助角與最值問題核心考點三：整體代換與二次函數(shù)模型核心考點四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型核心考點五：的取值與范圍問題核心考點六：三角函數(shù)的綜合性質【真題回歸】1．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A2．（2022·全國·高考真題（理））設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．3．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.4．（2022·全國·高考真題（文））將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為.故選：C.5．（多選題）（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調遞減；對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．6．（2022·全國·高考真題（理））記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．【答案】【解析】因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當時；故答案為：【方法技巧與總結】1、三角函數(shù)圖象的變換（1）將的圖象變換為的圖象主要有如下兩種方法：（2）平移變換函數(shù)圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換只是針對作的變換；（3）伸縮變換①沿軸伸縮時，橫坐標伸長或縮短為原來的（倍）（縱坐標不變）；②沿軸伸縮時，縱坐標伸長或縮短為原來的（倍）（橫坐標不變）．（4）注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應用誘導公式化為同名函數(shù)再平移．2、三角函數(shù)的單調性（1）三角函數(shù)的單調區(qū)間的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；的單調遞增區(qū)間是．（2）三角函數(shù)的單調性有時也要結合具體的函數(shù)圖象如結合，，，的圖象進行判斷會很快得到正確答案．3、求三角函數(shù)最值的基本思路（1）將問題化為的形式，結合三角函數(shù)的圖象和性質求解.（2）將問題化為關于或的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的圖象和性質求解.（3）利用導數(shù)判斷單調性從而求解.4、對稱性及周期性常用結論（1）對稱與周期的關系正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期.（2）與三角函數(shù)的奇偶性相關的結論若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.若為奇函數(shù)，則有．5、已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù)取值范刪的三種方法（1）子集法：求出原函數(shù)相應的單調區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正弦、余弦函數(shù)的某個單調區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．（3）周期性：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過個周期列不等式（組）求解.【核心考點】核心考點一：齊次化模型【規(guī)律方法】齊次分式：分子分母的正余弦次數(shù)相同，例如：（一次顯型齊次化）或者（二次隱型齊次化）這種類型題，分子分母同除以（一次顯型）或者（二次隱型），構造成的代數(shù)式，這個思想在圓錐曲線里面關于斜率問題處理也經(jīng)常用到.【典型例題】例1．（2022·廣東揭陽·高三階段練習）若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，，，，，故選：C.例2．（2022·江蘇省丹陽高級中學高三階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，則,故選:D．例3．（2022·湖南·高三階段練習）已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因為，則則曲線在點處的切線的斜率為，又傾斜角為所以則.故選：C.例4．（2022·湖北·襄陽五中高三開學考試）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，，所以．故選:C．核心考點二：輔助角與最值問題【規(guī)律方法】第一類：一次輔助角:=．（其中）第二類：二次輔助角【典型例題】例5．（2022·內蒙古·赤峰二中高三階段練習（理））已知函數(shù)，當時，取得最大值，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，（其中，）當時，取得最大值，此時，得到，.故選：A.例6．（2022·四川省成都市新都一中高三階段練習（理））若，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，當時，有，當，即時，；當，即時，.即函數(shù)的值域為.故選：A例7．（2022·四川省成都市新都一中高三階段練習（文））若，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，當，即時，，當，即時，，故的值域為，故選：A.例8．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，，，因為，則所以，因為，所以，一個為的最大值，一個為最小值，則，或解得，或所以（i），或（ii）對于（i），當時，的最小值是，對于（ii），當時，的最小值是，綜上，的最小值是，故選：D例9．（2022·浙江省杭州第二中學高三階段練習）已知關于x的方程有實數(shù)解，則最小值是______．【答案】【解析】，因為關于x的方程有實數(shù)解，所以，即，則點的軌跡為以原點為圓心，半徑大于等于的同心圓，設點的軌跡方程為，表示點到點距離的平方，因為，所以點在圓內，點到圓上的點的最小值為，所以最小值時.故答案為：.例10．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】，設，可得，可得，其中，，因為，所以，，解得.因此，的最小值為.故答案為：.例11．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為____.【答案】【解析】因為，所以令，解得，所以.因為，所以的最小值為.核心考點三：整體代換與二次函數(shù)模型【規(guī)律方法】三角函數(shù)和二次函數(shù)交匯也是一種常見題型，我們將其分為三類，第一類是最簡單的，就是，與之間的二次函數(shù)關系，第二類則有一點隱藏，就是與之間的關系，第三類則是與之間的關系.【典型例題】例12．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為___________．【答案】.【解析】，，當時，，故函數(shù)的最小值為．例13．（2022·全國·高考真題（文））函數(shù)的最大值為________.【答案】【解析】===，因為，所以當時，y取最大值，最大時為.【考點】二倍角公式和二次函數(shù)的性質.例14．（2022·全國·高考真題（理））函數(shù)的最大值是_________.【答案】【解析】令，則，由兩邊平方得則，配方得，當時取最大值故答案為例15．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的最大值為___________.【答案】【解析】設，則，，，∴時，，即．故答案為：．例16．（2022·全國·高三專題練習）若是三角形的最小內角，則函數(shù)的最小值是A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因為是三角形的最小內角，所以，設，則，原式，在上遞減，，故選B.核心考點四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型【規(guī)律方法】關于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數(shù)，同理是最小正周期為的函數(shù)；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數(shù).我們可以這樣來表示：，【典型例題】例17．（2022·安徽·銅陵一中高三階段練習（理））已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的最小值為C． D．在上有解【答案】D【解析】，是以為周期的函數(shù)，當時，，則，，∴函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小值為1，故AB錯誤，由，故C錯誤；由，∴在上有解，故D正確.故選：D.例18．（2022·全國·高三專題練習）已知，給出下述四個結論:①是偶函數(shù);

②在上為減函數(shù);③在上為增函數(shù);④的最大值為.其中所有正確結論的編號是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④【答案】D【解析】對于①，易得的定義域為，關于原點對稱，因為，所以是偶函數(shù)，故正確；對于②和③，因為，，且，所以在不是減函數(shù)，在也不是增函數(shù)，故②，③錯誤；對于④，當時，，因為，所以，所以，所以；當時，，因為，所以，所以；當時，；當時，，因為，所以，所以，所以，綜上所述，當時，的最大值為，由于為偶函數(shù)，所以當時，的最大值也為，故的最大值為，故④正確；故選：D例19．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學高三階段練習）已知函數(shù)，以下結論正確的是（

）A．是的一個周期 B．函數(shù)在單調遞減C．函數(shù)的值域為 D．函數(shù)在內有6個零點【答案】C【解析】因為，所以A錯誤；當，，其中，不妨令為銳角，所以，所以，因為，所以B錯誤；因為是函數(shù)的一個周期，可取一個周期上研究值域，當，，，所以，即；因為關于對稱，所以當時，故函數(shù)在上的值域為，故C正確；因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上零點個數(shù)可通過區(qū)間上零點個數(shù)，由，在圖像知由2個零點，所以在區(qū)間上零點個數(shù)為4個，所以D錯誤．故選:C.例20．（多選題）（2022·安徽·碭山中學高三階段練習）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的最大值為C．在上單調遞減 D．在上有4個零點【答案】BD【解析】；當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，觀察可知，函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；函數(shù)的最大值為，故B正確；函數(shù)在上先減再增再減，故C錯誤；與x軸在上有4個交點，故D正確.故選:BD．例21．（2022·湖南省臨澧縣第一中學高三階段練習）函數(shù)的最大值為______.【答案】【解析】因為的定義域為，所以為偶函數(shù)，當時，，，所以當時，函數(shù)取得最大值，綜上可知函數(shù)的最大值，故答案為：例22．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則①在上的最小值是1；②的最小正周期是；③直線是圖象的對稱軸；④直線與的圖象恰有2個公共點.其中說法正確的是________________.【答案】①③④【解析】對于①，當時，且，則當時，函數(shù)取最小值，即，故①正確；對于②，∵，，，則：故函數(shù)的最小正周期不是，②錯誤；對于③，若k為奇數(shù)，則；若k為偶數(shù)，則.由上可知，當時，，所以，直線是圖象的對稱軸，③正確；對于④，因為∵，所以為函數(shù)的周期.當時，；當時，.綜上可知，.當時，，，即函數(shù)與在上的圖象無交點：當時，，，所以，函數(shù)與在上的圖象也無交點.作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖像可知，直線與的圖象恰有2個公共點，故④正確.故答案為：①③④.例23．（2022·陜西·長安一中高一期末）關于函數(shù)有下述四個結論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上遞增；③在上有4個零點；④的最大值為2.其中所有正確結論的編號__________.【答案】①④【解析】定義域為R，，故是偶函數(shù)，①正確；在上單調遞減，在上單調遞減，故在區(qū)間上遞減，②錯誤；當時，，當或時，，結合函數(shù)是偶函數(shù)，故時，，故在上有3個零點，③錯誤；，，則，且存在時，，綜上：的最大值為2，④正確.故答案為：①④例24．（2022·云南省玉溪第一中學高二期中（文））設函數(shù)，下述四個結論正確結論的編號是__________.①是偶函數(shù)；

②的最小正周期為；③的最小值為0；

④在上有3個零點.【答案】①②③【解析】對①，因為函數(shù)的定義域為，，所以是偶函數(shù)，故①正確；對②，因為，最小正周期為，的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故②正確；對③，.因為，當時，取得最小值為，故③正確.對④，令，即，解得或（舍去）.當時，，解得或，所以在上有個零點.故④錯誤.故選：①②③核心考點五：的取值與范圍問題【規(guī)律方法】1、在區(qū)間內沒有零點同理，在區(qū)間內沒有零點2、在區(qū)間內有個零點同理在區(qū)間內有個零點3、在區(qū)間內有個零點同理在區(qū)間內有個零點4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．5、已知單調區(qū)間，則.【典型例題】例25．（2022·河南·模擬預測（文））已知函數(shù)，為的一個零點，為圖象的一條對稱軸，且在內不單調，則的最小值為______.【答案】【解析】是的一個零點，；是的一條對稱軸，；由得：，，，；，；當時，，當時，，在內單調，不合題意；當時，，當時，，，在內不單調，符合題意；的最小值為.故答案為：.例26．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間內既沒有最大值，也沒有最小值，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】當且時，，因為函數(shù)在區(qū)間內既沒有最大值，也沒有最小值，則，其中，所以，，解得，由，可得，因為且，當時，；當時，；當時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例27．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有3個零點，則的最小值是_________．【答案】2【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，且有且僅有3個零點，所以必有一個零點為，所以，得，所以函數(shù)的圖象與直線在上有且僅有3個交點，因為函數(shù)的最小正周期，所以，即，得，所以的最小值是2.故答案為：2例28．（2022·寧夏·平羅中學高三期中（理））已知函數(shù)，若在內單調且有一個零點，則的最大值是______________．【答案】【解析】在內單調,則最小正周期，，,,所以,時，，由得，，而在內恰有一個零點且單調（因為單調有零點則只能有一個零點），所以且，解得，所以的最大值是．故答案為：．例29．（2022·湖南·永州市第一中學高三階段練習）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的最大值為________.【答案】【解析】在上單調遞增，由正弦函數(shù)在某區(qū)間單調時，區(qū)間長度不超過半個周期，即，結合，故，∵，設，，則關于單調遞增，故，而，，故最大可能取值區(qū)間是，根據(jù)復合函數(shù)的單調性，關于單調遞增，故只需求關于單調遞增區(qū)間即可，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性，在上單調遞增，故需滿足，顯然此時只可取，則，解得，又，∴，則的最大值是.故答案為：.例30．（2022·全國·高三階段練習（理））已知函數(shù)的最小正周期為，的一個極值點為.若，則的最大值是_____.【答案】【解析】因為函數(shù)，則且的一個極值點為，則即得又因為，且則所以當時，故答案為:例31．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學高三階段練習（文））將函數(shù)()的圖象向左平移個單位長度,得到曲線.若關于軸對稱,則的最小值是______．【答案】【解析】設曲線所對應的函數(shù)為,則,的圖像關于軸對稱,,,解得:,,的最小值是.故答案為:.例32．（2022·北京師大附中高三階段練習）記函數(shù)的最小正周期為，若，為的零點，則的最小值為_______．【答案】【解析】由題意可知，所以，，因為，則，所以，，由題意可知，則，所以，，，故的最小值為.故答案為：.例33．（2022·云南·高三階段練習）已知函數(shù)，若是圖象的一個對稱中心，在區(qū)間上有最大值點無最小值點，且，記滿足條件的的取值集合為，則______.【答案】【解析】設函數(shù)的最小正周期為，由題得，則，又由在區(qū)間上有最大值無最小值，滿足，則，當時，則，即，所以，又，故，所以，又，所以滿足條件的的取值集合.故答案為：.例34．（2022·四川成都·模擬預測（理））已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．【答案】17【解析】由，且在上有最大值，沒有最小值，可得，所以.由在上有最大值，沒有最小值，可得，解得，又，當時，，則的最大值為17，,故答案為：17例35．（2022·全國·高三專題練習（理））設函數(shù)，其中．且，則的最小值為________．【答案】【解析】由題意，函數(shù)，因為，可得或，因為，要使得取得最小值，且，所以函數(shù)關于對稱，可得，所以，若時，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因為，當時，可得；若時，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因為，當時，可得.故答案為：.例36．（2022·福建省福州教育學院附屬中學高三開學考試）已知，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則______.【答案】【解析】依題意，當時，y有最小值，即，則，所以.因為在區(qū)間上有最小值，無最大值，所以，即，令，得.故答案為：例37．（多選題）（2022·山西·高三階段練習）已知函數(shù)，若在區(qū)間內沒有零點，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由于在區(qū)間內沒有零點，故有，同時需滿足解得,顯然和時符合條件，所以的取值范圍為．故選：AB核心考點六：三角函數(shù)的綜合性質【典型例題】例38．（多選題）（2022·山東德州·高三期中）已知函數(shù)同時滿足下列三個條件：①該函數(shù)的最大值為；②該函數(shù)圖象的兩條對稱軸之間的距離的最小值為；③該函數(shù)圖象關于對稱.那么下列說法正確的是（

）A．的值可唯一確定B．函數(shù)是奇函數(shù)C．當時，函數(shù)取得最小值D．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增【答案】AC【解析】由題可知：，,即∴又∵該函數(shù)圖象關于對稱∴，即又∵∴當時，∴A選項：此時的值可唯一確定，A正確；B選項：當時，∴此時函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯誤；C選項：，此時函數(shù)取得最小值，故C正確；D選項：已知，∴∴在函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，故D錯誤.故選：AC.例39．（多選題）（2022·湖北襄陽·高三期中）函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結論正確的有（

）A．直線是圖象的一條對稱軸B．在上單調遞增C．若在上恰有4個零點，則D．在上的最大值為【答案】AC【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.對于A，當時，，故直線是圖象的一條對稱軸，故A正確.對于B，由，得，則在上不單調，故B錯誤；對于C，由，得，因為在上恰有4個零點，所以，解得，故C正確.對于D，由，得，則在的最大值為，故D錯誤.故選：AC.例40．（多選題）（2022·江蘇南通·高三期中）已知函數(shù)，的定義域均為R，它們的導函數(shù)分別為，．若是奇函數(shù)，，與圖象的交點為，，…，，則（

）A．的圖象關于點對稱 B．的圖象關于直線對稱C．的圖象關于直線對稱 D．【答案】BC【解析】因為為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故選項A錯誤；因為函數(shù)的圖象關于點對稱，則，對其兩邊取導數(shù)：則有，所以的圖象關于直線對稱，故選項正確；令，解得：，所以的圖象關于直線對稱，故選項C正確；又因為，所以為常數(shù)，則的圖象關于對稱，例如：當時，令，則圖象有三個交點，其中和關于對稱，且，此時，，故，所以此時不成立，故選項D錯誤；故選：BC.例41．（多選題）（2022·山東菏澤·高三期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）．A．B．在區(qū)間單調遞減C．在區(qū)間上有且僅有2個零點D．將的圖象向右平移個單位長度后，可得到一個奇函數(shù)的圖象【答案】BC【解析】由圖象可知，，所以，.又在處有最大值，且，則有，且有.則，又，所以.所以，，.所以，.則，，A項不正確；當時，，在上單調遞減，則在區(qū)間單調遞減，B項滿足；當時，，在內有兩個零點，則在區(qū)間上有且僅有2個零點，C項正確；將的圖象向右平移個單位長度后，得到為一個偶函數(shù)，D項不正確.故選：BC.例42．（多選題）（2022·河北·模擬預測）已知函數(shù)，且對任意均有在上單調遞減，則下列說法正確的有（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的最小正周期為C．若的根為，2，，，則D．若在上恒成立，則的最大值為【答案】ACD【解析】由題可知有對稱中心，對稱軸，又在上單調遞減，∴函數(shù)的最小正周期為，故B錯誤；，又，，∴，所以為偶函數(shù)，故A正確；作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知，在上有4個根，且，故C正確；由，可得，所以，所以，所以，即，的最大值為，故D正確.故選：ACD．例43．（多選題）（2022·廣東·深圳實驗學校光明部高三期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖（1）所示，函數(shù)的部分圖象如圖（2）所示，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上有4個零點D．將函數(shù)的圖像向左平移可使其圖像與圖像重合【答案】BCD【解析】由圖象（1）可得，，故，故，而，故，而，故，故，由圖（2）可得，，故，故，而，故，而，故，故，對于A，的最小正周期為，故A錯誤；對于B，，故函數(shù)的圖象關于直線對稱，故B正確；對于C，即為，故或，，故或，.令，故；令，故；故在區(qū)間上有4個零點，故C正確.對于D，函數(shù)的圖像向左平移，其圖象對應的解析式為：.故D正確，故選：BCD.例44．（多選題）（2022·福建·廈門外國語學校高三期中）將函數(shù)圖像上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為πB．圖像的一個對稱中心為C．的單調遞增區(qū)間為D．的圖像與函數(shù)的圖像重合【答案】ABD【解析】由題.對于A選項，，故A正確.對于B選項，令，解得，其中.得圖像的對稱中心為，其中.當時，得圖像的一個對稱中心為，故B正確.對于選項C，令，其中.解得，其中，得的單調遞增區(qū)間為，其中，故C錯誤.對于D選項，由，有，故D正確.故選：ABD例45．（多選題）（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）已知，則下列說法錯誤的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)在上的值域為D．函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為8【答案】ABC【解析】，對A選項，其最小正周期，故A錯誤，對B選項，令，，故其不是奇函數(shù)，故B錯誤，對C選項，，則，故，故C錯誤，對D選項，，顯然其在零點為，共8個零點，故D正確.故選：ABC.【新題速遞】一、單選題1．（2022·河北·張家口市第一中學高三期中）函數(shù)某相鄰兩支圖象與坐標軸分別交于點，，則方程所有解的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設函數(shù)的最小正周期為，因為，所以由題意可知，又因為，又因為，所以，即，因此，由，或，當時，，當時，，當時，，所以，故選：B2．（2022·北京市第十一中學高三階段練習）已知函數(shù)則（

）A．是奇函數(shù) B．函數(shù)的最小正周期為C．曲線關于對稱 D．【答案】D【解析】因為，對于A，，，即，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，即在處取不到最值，故不關于對稱，故C錯誤；對于D，，，則，所以，即，故D正確.故選：D.3．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學校高三期中（理））已知函數(shù)（，），其圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，且對任意，都有，則在下列區(qū)間中，為單調遞減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：由的圖象可知，相鄰兩條對稱軸的距離為周期的一半，∴，∴，∴，∴，（）又∵對任意，都有，∴當時，取最小值，∴，（），∴，（）∵，∴∴，令，（），得，（），∴的單調遞減區(qū)間為（），令，的一個單調遞減區(qū)間為，對于A，區(qū)間內，上單調遞減，其余部分單調遞增，故A不正確；對于B，區(qū)間內，上單調遞減，其余部分單調遞增，故B不正確；對于C，區(qū)間，因此區(qū)間上單調遞減，故C正確；對于D，由區(qū)間上單調遞減可知，區(qū)間上單調遞增，故D不正確.方法二：∵對任意，都有，∴當時，取最小值，又∵圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，∴當時，取最大值，∴的一個單調遞減區(qū)間為，對照選項中的區(qū)間可以判斷，在區(qū)間上是單調遞減函數(shù).故選：C.4．（2022·吉林長春·模擬預測）定義域為的函數(shù)，其值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由可得，，則，由題意可得，解得.故選：D.5．（2022·江蘇南通·高三期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，切化弦得，∴，由且，解得，，∴，∴.故選：B6．（2022·河南·高三階段練習（理））設函數(shù)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論中，正確結論的編號是（

）①在有且僅有3個極大值點②在有且僅有2個極小值點③在單調遞增

④的取值范圍是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】當時，，在有且僅有5個零點，，，故④正確；由，知時，令時取得極大值，①正確；極小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當時，，若在單調遞增，則，即，，故③不正確．故選：A.7．（2022·天津市南開中學濱海生態(tài)城學校高三階段練習）下列關于函數(shù)的命題，正確的有（

）個（1）它的最小正周期是（2）是它的一個對稱中心（3）是它的一條對稱軸（4）它在上的值域為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】，所以，故（1）錯誤；令，解得，當時，，故是函數(shù)的一個對稱中心，故（2）錯誤；令，解得，當時，，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故（3）正確；當時，，，，故（4）正確.故選：C8．（2022·寧夏六盤山高級中學高三期中（理））已知函數(shù)（其中），恒成立，且在區(qū)間上單調，給出下列命題①是偶函數(shù)；②；③是奇數(shù)；④的最大值為3；其中正確的命題有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】C【解析】∵，，∴，，故，，，由，則，故，，，當時，，，∵在區(qū)間上單調，故，故，即，，故，故，綜上所述：或，故③④正確；或，故或，，不可能為偶函數(shù)，①錯誤；由題可知是函數(shù)的一條對稱軸，故成立，②正確.故選：C.二、多選題9．（2022·重慶八中高三階段練習）已知函數(shù)，曲線關于點中心對稱，則（

）A．將該函數(shù)向左平移個單位得到一個奇函數(shù)B．在上單調遞增C．在上只有一個極值點D．曲線關于直線對稱【答案】BC【解析】因為函數(shù)關于點中心對稱，所以，，所以，而，所以，，對于A，將該函數(shù)向左平移個單位得到，因為，，所以為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，所以，因為在在上單調遞增，所以在上單調遞增，故B正確；對于C，由得的單調遞增區(qū)間為，由得的單調遞減區(qū)間為，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處有一個極值點，故C正確；對于D，曲線，時，故D錯誤.故選：BC.10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．直線是的對稱軸B．點是的對稱中心C．在區(qū)間上單調遞減D．的圖象向右平移個單位得的圖象【答案】BCD【解析】因為，所以直線不是的對稱軸，故A錯誤；因為，所以點是的對稱中心，故B正確；當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，故C正確；的圖象向右平移個單位得的圖象，故D正確；故選：BCD11．（2022·山東青島·高三期中）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為2 B．是的圖象的一條對稱軸C．在上單調遞減 D．的圖象關于對稱【答案】AB【解析】即A.明顯的最大值為2，當，即時取最大值，A正確;B.當時，，故是的圖象的一條對稱軸，B正確；Ｃ.當時，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞增，C錯誤；D.當時，，的圖象不關于對稱，D錯誤.故選：AB.12．（2022·湖北·荊門市龍泉中學高三階段練習）設（其中為正整數(shù)，），且的一條對稱軸為；若當時，函數(shù)在單調遞增且在不單調，則下列結論正確的是（

）A．B．的一個對稱中心為C．函數(shù)向右平移個單位后圖象關于軸對稱D．將的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫降膱D象，則的單調遞增區(qū)間為【答案】ACD【解析】當時，函數(shù)在單調遞增且在不單調,故的周期滿足,由于為正整數(shù)，所以，故A正確，由于是的對稱軸，所以,解得，由于，所以取則，故，所以，故B錯誤，向右平移個單位后得到，為偶函數(shù)，為C正確，將的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到，?解得則的單調遞增區(qū)間為，故D正確，故選：ACD三、填空題13．（2022·甘肅·蘭州市外國語高級中學高三階段練習（文））已知函數(shù)的相鄰對稱軸之間的距離為，且圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是___________.（寫出所有正確的題號）A．該函數(shù)解析式為；B．函數(shù)的一個對稱中心為C．函數(shù)的定義域為D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關于原點對稱，則的最小值為.【答案】ABC【解析】因為相鄰對稱軸之間的距離為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以.所以.因為圖象經(jīng)過點，所以,所以因為.所以.所以A正確；令，所以，所以函數(shù)的對稱中心為.當時，對稱中心為所以B正確；，令，所以，解之得函數(shù)的定義域為，所以C正確；將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到是奇函數(shù)，所以因為的最小值為.所以D不正確.故答案為：ABC14．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預測（文））正割（Secant，sec）是三角函數(shù)的一種，正割的數(shù)學符號為sec，出自英文secant．該符號最早由數(shù)學家吉拉德在他的著作《三角學》中所用，正割與余弦互為倒數(shù)，即．若函數(shù)，則下列結論正確的有__①函數(shù)的圖像關于直線對稱；②函數(shù)圖像在處的切線與軸平行，且與軸的距離為；③函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；④為奇函數(shù)，且有最大值，無最小值．【答案】②③【解析】對于①，由題知，，顯然，故函數(shù)的圖像不關于直線對稱，故①錯誤；對于②，，，所以，，所以，函數(shù)圖像在處的切線方程為，所以，函數(shù)圖像在處的切線與軸平行，且與軸的距離為，故正確；對于③，因為，令，則恒成立，所以，在上單調遞增，因為，所以，時，；時，，因為函數(shù)的定義域為所以，當時，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故正確；對于④，函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為奇函數(shù)；由③知，當和時，函數(shù)為增函數(shù)，所以，當從趨近于時，函數(shù)值趨近于，故函數(shù)無最大值，當從趨近于時，函數(shù)值趨近于，故函數(shù)無最小值，故④錯誤.所以，正確的結論有：②③故答案為：②③15．（2022·河南·駐馬店市第二高級中學高三階段練習（理））若，則______．【答案】【解析】，則，則，.故答案為：.16．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測）已知函數(shù)，若關于x的方程在上有三個不同的實根，則實數(shù)m的取值范圍是_________．【答案】【解析】當時，，故為偶函數(shù)，當時，，圖象可由向右平移個單位得到.根據(jù)偶函數(shù)圖象關于軸對稱畫出在上的圖象如圖所示，要想保證方程在上有三個不同的實根，則，故答案為：四、解答題17．（2022·江西·豐城九中高三開學考試（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)