電磁學通論 Chapter1 課程導言

電磁學通論電磁學課程導言

1、電磁學歷史紀要2、本課程的篇章結構3、面對一種新的研究對象——空間分布的矢量場4、經典電磁學系宏觀電磁學電磁學歷史紀要起始于1785年庫侖確定了磁極間及電荷間的相互作用定律完成于1864年麥克斯韋建立了電磁場動力學方程組

重大事件1820年奧斯特實驗揭示了電流的磁效應，進而形成了磁的電學說，即一切磁性源于電荷的運動，從而實現(xiàn)了電與磁的統(tǒng)一；1831年法拉第發(fā)現(xiàn)感應電流，進而形成了電磁感應定律，從而揭示了在變化情形下電與磁相互激勵的場景經典電磁學理論2.

本課程的篇章結構第1章

靜電場

第2章

靜電場中的導體和電介質

第3章

恒定電流場&直流電路

第4章

恒定磁場主要內容為“場”和“路”理論體系基本上遵循電磁學發(fā)展的歷史軌跡，是歸納型理論體系，區(qū)別于經典牛頓力學體系（演繹型理論體系）注重從“場”的觀點來理解“路”，比如，電路中的電流，它是電場推動自由電荷作定向運動所致第5章

磁介質第6章

電磁感應第7章

交流電路第8章

麥克斯韋電磁理論3.

面對一種新的研究對象

——空間分布的矢量場

作為電磁學理論研究的主要對象電場與磁場，是一種空間分布的矢量場，表示為和，與先前學習過的力學研究對象是離散的質點或質點組或剛體相比較，它們是一種嶄新的客體。

圖0.1兩個典型的電場和磁場的空間圖象研究矢量場的理論目標，就是揭示該矢量場這9個變元的內在關系，從而由空間一處的場導出另一處的場。這反映在數(shù)學上：通量定理

環(huán)路定理對應的微分方程為散度方程旋度方程對于磁場

我們依然去探求：4.經典電磁學系宏觀電磁學經典電磁學屬于宏觀電磁學，相對于量子電動力學而言在經典電磁學中，在論述帶電狀態(tài)時，一直采用電荷連續(xù)分布的概念，這是怎么回事？

我們知道，帶電體上荷電均來自組成物質的分子和原子內部的電性.原子和分子的尺度為納米nm量級.故以nm尺度來審視，物質的荷電量是離散的不連續(xù)的.觀測尺度VS分析精度探針尺度、位移精度——微米量級——尖端約106個原子、分子或離子——平均場或平均電荷量宏觀電磁學的一層含義，即，在宏觀尺度上考量物質的荷電狀態(tài)，相應地采用體電荷分布，面電荷分布等術語給予描述.宏觀電磁學的另一層含義與帶電粒子的波粒二象性相關電磁學要研究的基本問題有兩方面研究電荷電流產生電磁場的規(guī)律研究電荷電流所受電磁力的規(guī)律及其運動的規(guī)律

對于電子這類輕粒子，當其運動范圍在宏觀尺度，比如米量級，則其波動性是次要的，而粒子性是顯要的，其行為可以用經典粒子的語言描述之

電磁場和電磁波，當其存在于宏觀尺度的空間范圍，則其粒子性即其光子性是次要的，而波動性是顯要的，其行為可以用經典波動的語言描述之?？傊?，宏觀電磁學采用經典粒子概念，來考量帶電粒子在電磁場中的運動；采用經典波場概念，去看待電磁場和電磁波.第1章靜電場1.1物質的電性

1.2庫侖定律1.3電場強度矢量&場強疊加原理

1.4靜電場的通量定理1.5三類高度對稱性的靜電場

1.6靜電場的環(huán)路定理&電勢場1.7電偶極子在外場中

1.8靜電場的散度&旋度1.9靜電場的邊值關系&余弦型球面電荷的電場本章概述由庫侖定律得到點電荷的靜電場，并將它選定為一般靜電場的基元場；基于這基元場和場強疊加原理，確立了靜電場的通量定理和環(huán)路定理，以及相應的靜電場散度方程和旋度方程；求解了一系列典型電荷分布時的空間場強分布和電勢分布，特別關注這些典型結果所顯示的靜電場的種種個性。本章最后，饒有興趣地討論了余弦型球面電荷的電場，由其內部的均勻場，應用靜電場邊值關系導出其外部為偶極場；本章是電磁場通論的首章，從中不僅學習到靜電場的基本規(guī)律和眾多典型結果，而且感悟到與場打交道時，應當具備的認識眼光、分析能力和相應的數(shù)理方法。1.1物質的電性物質的電性&電中性概念宏觀物質的電性源于微觀上原子的電性■物質的電性&電中性概念■幾種起電方式原子核帶正電，其電量;

核外電子帶負電，其電量;

Z為原子序數(shù)，只能取整數(shù)值e為基元電量，一個電子的荷電量整個原子是電中性的，即：物質，亦即電磁學中常說的介質，它是由大量的原子按一定秩序或規(guī)則凝聚而成的。以宏觀的眼光看，在體積元

ΔV中，含有正電量Δq+，且含負電量Δq-.不妨在此引入體電荷密度ρ+，ρ

-來描述ΔV處介質的電性，若(ρ

++ρ-)=0

，呈電中性;若(ρ++ρ

-)≠0

，電中性遭到破壞，呈帶電狀態(tài)或荷電性.體積元ΔV

，可以取在介質體內，也可以推移至介質表面層，宏觀電磁學忽略這nm尺度的表面層厚度，隨之以面電荷密度

替代體電荷密度ρ，來描述介質表面的帶電狀態(tài).幾種起電方式摩擦起電——摩擦雙方電子交換的不對等導體感應起電——自由電荷的重新分布介質極化起電——束縛電荷的有序取向空間電荷——不依附于導體或介質凡使物體或介質不再維持電中性而帶電的手段，統(tǒng)稱為起電.1.2庫侖定律庫侖定律■庫侖定律■對庫侖定律的進一步闡釋■庫侖定律成立條件和適用范圍■四個重要物理常數(shù)庫侖扭秤實驗裝置F12∝q1,q2

，與電量成正比；F12∝1∕r2

，與距離平方成反比——平方反比律；F12∕∕r12，當q1,q2同號，即同號電荷相斥F12∕∕(-r12)，當q1,q2異號，即異號電荷相吸.這些關系被概括為一個表達式，即庫侖定律的數(shù)學表達式為在MKSA制中，庫侖定律的表達式寫成以下形式：，即在比例常數(shù)中竟引入一個無理數(shù)π

，一時令人費解.也許現(xiàn)今憑借電腦的巨大運算能力，人們對含π

的數(shù)值演算也并不發(fā)怵了；若是聯(lián)想到圓周長為2πR

，圓面積為πR2

，球面積為4πR2

，閉合面對其內一點的立體角為4π，也許在與這些幾何量相關的電學問題中，可能出現(xiàn)消π

的結果.稱為真空介電常數(shù)或真空電容率，對應的比例常數(shù)為：在MKSA制中，電量q

的單位為庫侖，符號為C.一庫侖電量定義為1安培電流在

1秒鐘時間內通過的電量，即1C電量是一個很大的荷電量比如，各帶1C

的兩個點電荷，相距1m時的庫侖力為8.99×109N（牛頓），這相當于10個10萬噸級航母的重量.物體內存的負電量或正電量的數(shù)值都是很大的一般約為105C/cm3

量級，這是因為原子的線度實在太小了，雖然基元電量即電子電量僅為

1.6×

10-19C

.C

=

A·s對庫侖定律的進一步闡釋（1）關于庫侖力正比于電量的問題.庫侖定律是靜電學理論賴以建立和發(fā)展的巨大基石.試圖驗證庫侖力F∝Q,q的實驗方案如圖所示，保持源電荷Q值不變，在距離為

處先后放置試探電荷

q1與

q2，分別測得庫侖力

F1與

F2

的數(shù)值，爾后對實驗數(shù)據(jù)予以分析，審視（2）關于庫侖力為徑向力的問題庫侖力的空間特性之一是.其方向沿兩個點電荷的連線方向即徑向方向，稱其為徑向力.這一點無需由實驗證認，它是點模型及其對稱性制約下的邏輯必然.一個點源在無實物空間中所產生的任何物理效應或物理特性，皆呈現(xiàn)空間各向同性，亦即球對稱性。表現(xiàn)為兩方面：以點源Q為中心的同一球面上，試探電荷q所受庫侖力的數(shù)值是相等的；各處庫侖力的方向必然沿其矢徑方向，不可能出現(xiàn)與矢徑方向正交的橫向力，亦即不可能出現(xiàn)偏離矢徑方向的力。（3）庫侖力遵從距離平方反比律

在點模型及其對稱性要求下，庫侖力具有球對稱性，就數(shù)值而言其函數(shù)形式可表達為：在此并不排斥n=1.98,2.06,3,4

等等取值.庫侖扭秤實驗的核心價值就在于確定了n=2，即庫侖力遵從距離平方反比律。既然是實驗，就必有誤差.因此將F(r)寫成以下形式更為恰當，年代|δ|17722×10-218705×10-519363×10-919713×10-162003待估算人們?yōu)楹稳绱溯^真偏差δ值？因為它可能并非單純的實驗誤差，它也許內涵規(guī)律性的偏差，即庫侖力真的并非準確地遵從r2

反比律.如是，這將導致光子的靜質量m0不為零。庫侖定律成立條件和適用范圍庫侖定律的成立與電荷種類無關.不論導體中的自由電荷或介質中的極化電荷或空間電荷，其相互作用的電力皆遵從.

庫侖定律中出現(xiàn)的電荷

q1

和q2不涉及電荷的來源與機制，與電荷的身份無關.在觀測者參考系中，兩個靜止電荷之間的相互作用力遵從庫侖定律.不過這里強調的靜止條件可以放寬些.四個重要物理常數(shù)或者

電磁學中常見四個物理常數(shù)。首先見到的是庫侖定律中那個ε0

，稱其為真空介電常數(shù)，其值已被準確認定，它與另外兩個物理常數(shù)，即真空中光速

c

和真空磁導率

μ0之間有一個確定的關系.名稱符號數(shù)值&單位不確定度真空中光速c2.99792458×108m/s準確真空磁導率μ0

4π×10-7N/A2準確真空介電常數(shù)ε8.85418781762…×10-12F/m準確電子電荷e1.602176462×10-19C10-111.3電場強度矢量&場強疊加原理電場概念■

電場概念■

電場強度矢量

■

靜電場的基元場■

場強疊加原理

■

電偶極子的場強&偶極矩■

長直帶電細線的場強

■

帶電圓環(huán)軸線上的場強場點P，試探電荷q0

，電場施予q0

的庫侖力為F，

則定義該處的電場強度矢量為電場強度矢量

E(r)

電場強度矢量定義為,

單位正電荷在該處所受到的庫侖力，它反映了電場

E(x,y,z)的空間分布，簡稱其為場強。若某一區(qū)域的場強方向一致，且數(shù)值相等，則稱其為均勻場。靜電場的基元場——點電荷產生的場強試探電荷q0受力為：除以q0，便得到點電荷q

產生的場強公式為：場強疊加原理點電荷組（q1，q2，，qn）

一般情況下：各自在同一場點貢獻的場強分別為：總場強等于各分場強的線性疊加，稱其為場強疊加原理

應用疊加原理求解具體的場強分布問題時，有幾點值得注意：應當注意到場強的矢量性，亦即方向性。常常采用坐標分量疊加形式來表達總場強的結果

。對場強空間分布的對稱性分析，有助于簡約演算負擔。

電偶極子的場強&偶極矩概念

點電荷電偶極子指稱一對點電荷其帶等量異號且相距很近的體系，用

(±q,l)示之。

這里所謂距離l

很小，是與場點P

的距離r

相比較而言的，即，r>>l

。偶極子模型是電磁學中一個重要的研究對象。這里先討論其在遠處產生的場（遠場）。場點

，場強

：徑向分量

，橫向分量

。（1）延長線上。此時，場點為

，則

，試演算泰勒級數(shù)展開，僅保留一級小量這里于是，延長線上電偶極子的場強：（2）中垂線上，此時場點為，則

，試演算于是，中垂線上電偶極子的場強

（3）場點位置任意，即。此時，應用場強疊加原理和l

<<

r

條件下的近似計算可以得到以下結果，目前若采用場強矢量疊加導出以上公式較為麻煩，留待今后基于電勢標量疊加得到此結果?？梢詫⑸鲜礁膶憺橹苯亲鴺诵问?，取（-q,q）連線為

x

軸，其中垂線為

y

軸，坐標原點設在中點，于是，(4)電偶極子遠場的兩個特點值得強調一是其場強

E∝p，

。在電偶極子的所有電學性質，q與

l兩者宛如一個原子團，總是以乘積（ql）形式出現(xiàn)。為此定義電偶極子的電偶極矩為

這里，偶極間距方向約定為（-q）指向（q）.二是其場強E∝1/r3

，即呈現(xiàn)r3

反比關系，故其場強隨距離而減少要比庫侖力的

r2

反比律顯得更快。（5）電四極子和電八極子電四極子

，電四極矩

電八極子

，電八極矩

庫侖力遵從r2

反比律是長程力的話，則電力呈現(xiàn)

r5

反比關系就是一種短程力長直帶電細線產生的場強

一均勻帶電的直線，長為2l

其線電荷密度為η(C/m)借助圖中顯示的幾何三角關系:,,.討論：當帶電線無限長，則

，

，于是均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強一個半徑為

R

的圓環(huán)，均勻帶電量為

Q，它不可能有垂直對稱軸的橫向場，即：dEx是圓環(huán)上任意帶電線元ηdl在

P點貢獻的場強

dE的軸向分量，即：討論：（1）當

x=0，則

E=0；

當

x>>R，即遠場區(qū)，則

（2）關于均勻帶電圓環(huán)軸外場強。1.4靜電場的通量定理■概述——靜電場理論的目標

■電通量概念

■靜電場的通量定理■討論——一個非球對稱且

r2

反比律的徑向場的通量性質■討論——求出某些非閉合面的電通量概述——-靜電場理論的目標任意電荷分布的場強積分表達式：

靜電場理論的目標是，探求各式各樣的那些靜電場的共性，即，靜電場

E(r)所遵從的基本規(guī)律——通量定理和環(huán)路定理。電通量概念

在電場空間中，通過面元

dS

的電通量

dΦ定義為，該處場強

E與

dS的標積，即(dΦ可取正值或負值)

通過任意宏觀曲面

(Σ)的電通量被表達為:對于孤立面元或非閉合曲面，其法線有兩種自由選擇；對于閉合曲面，約定，取其外法線為其上面元的方向。

閉合面電通量為正或負或零的場線圖像靜電場的通量定理靜電場通量定理也常稱為靜電場高斯定理，其數(shù)學表達式為或者：其語言表述為，靜電場對任意閉合曲面所貢獻的電通量等于面內所有電荷之和，再除以恒定常數(shù)ε0（在MKSA制中）

以下分兩步證明此定理：單一點電荷情形。試選取閉合曲面為一球面，它以q點為球心，則點電荷q

產生的基元場對半徑為r1的球面(Σ1)

貢獻的電通量為(任意單位制)(MASK制)這電通量與閉合球面的半徑值無關，當r∞

時，雖然場強

E0

，其電通量既不等于零，也不趨向無窮大，而是一個定數(shù)，再考察閉合面

(Σ)為包圍

q的任意曲面時的電通量立體角元

dΩ與

(r,ds)的關系表示為:基元場通過

ds1

和

ds2的電通量分別為:由此及彼，擴展到整個閉合面，

這表明，通過包圍點電荷q

的任意閉合面的電通量均為q/ε0點電荷組或電荷連續(xù)分布的情形。

待考察電通量的閉合面(Σ)

將點電荷組分為兩部分，內部每個點電荷qi

對

(Σ)貢獻的電通量為

(qi)/ε0

，而外部所有電荷對貢獻的電通量均為零。故E是指總場強:這兩部分的場強通量表達式:由點電荷組表達的通量定理可以自然地過渡到體電荷分布的情形:研究一個特殊的矢量場，其中

K為比例常數(shù)。試分析該矢量場對閉合球面的通量是否與球面半徑有關，即

是否成立。其中Σ1

，Σ2分別系半徑為r1，r2

的球面。進一步給出該矢量場對包圍原點的任意閉合面

(Σ)的通量表達式【討論】一個非球對稱的r2

反比律的徑向場的通量性質【討論】求出某些非閉合面的電通量

試求出電偶極子中垂面

Σ0

上的電通量

Φ0

試求出電偶極子在曲面Σ0’

上的電通量Φ0’試求出非等量且異號的兩個點電荷在中曲面

Σ1

上的電通量

Φ1

1.3三類高度對稱性的靜電場球對稱性■球對稱性■高度軸對稱性■高度平面對稱性■評述均勻帶電球殼

(Q,R)

由于球對稱，通過場點P

且半徑為

r

的閉合球面電通量就被簡化為靜電場通量定理表明：

今后我們將多次看到，凡是經面電荷處其場強不連續(xù)，或場強數(shù)值有突變，或場強方向有突變。如果要問，球殼表面的場強究竟為多少；這個問題并非沒有意義。經深入分析，可以導出球殼表面上的場強均勻帶電球體

(Q,R)

在

r≤R的閉合球面內，含有電量:通過場點P

且半徑為

r

的閉合球面電通量為靜電場通量定理表明：

高度軸對稱性

這里將涉及三種特殊的電荷分布,即，均勻帶電無限長細線、均勻帶電無限長圓筒和均勻帶電無限長圓柱體。

以無限長帶電細線為例，它產生的場強具有高度的軸對稱性，其含義有兩點:

在軸距為

r的柱面上各點場強數(shù)值相等，即場強

E與場點位置高度和轉角無關，僅是軸距

r的函數(shù)

E(r)，換言之，這場強具有以細線為軸旋轉對稱性和沿軸線方向的平移對稱性。這場強E方向沿軸距矢量r方向，這也是一種徑向場。求解均勻帶電無限長細線的場強分布。

設其線電荷密度為η(C/m)。過場點

P

作一個半徑為

r的圓柱面，其上底與下底之間距離

Δl

為可長可短。該閉合圓柱面

(Σ)的電通量為：靜電場通量定理表明：

高度平面對稱性一個無限大的均勻帶電平面，其產生的場強具有以下對稱性：

E

方向沿軸線即E

垂直帶電平面。在與帶電平面距離r相同的平面上，各點場強數(shù)值相等，即，E=E(r)

，這是一種平移平面對稱性。左側空間與右側空間的兩個場強E互為鏡像對稱，其鏡面為帶電平面。

作一個細長的柱面作為閉合面考察其電通量：靜電場通量定理表明

σ表示面電荷密度，帶電平面法線方向

約定為從左側指向右側。

場強

E

與面距

r無關，左半空間和右半空間各自皆為均勻場，只是經過帶電平面時場強方向倒轉而發(fā)生突變，而恰在帶電平面上各點場強

E=0

評述憑借高度對稱性而應用靜電場通量定理，我們成功地求解了相應電場的空間分布。如果場強沒有這類高度對稱性，單憑通量定理是不可能求解電場的，這并非此場合通量定理不成立。原本通量定理并不單獨承擔求解場強空間分布的任務，它與環(huán)路定理一起才全面反映了一個矢量場的性質。在這三類高度對稱性中，球對稱因其無邊界而顯示出其對稱程度最高、最實際，因而它也更完美。而高度軸對稱性尚須無限長的理想條件予以保證。若是有限長或有限大，則，對于帶電細線就有兩個端點，對于帶電圓筒就有兩個端環(huán)，對于帶電圓柱就有兩個端面，對于帶電平面就有一圈周邊，這些邊界點、線、面的存在，將導致其附近區(qū)域的場線發(fā)生彎曲而失去了高度對稱性，這種現(xiàn)象俗稱邊緣效應。對于無限大均勻帶電平面，其場強

E(P)主要來自場點

P所正視的那個中心區(qū)域電荷的貢獻，而外圍的電荷面積雖然很大，因其距離遠，更由于其傾角

θ大故傾斜因子

cosθ小，而對

E(P)的貢獻反而是小的，尤其當場點靠近帶電面時這種“正中效應”更為明顯作一個定量考察:當

z>0，考察幾個頗有意思的特例：1.6靜電場的環(huán)路定理電勢場■靜電場環(huán)路定理■靜電場的勢函數(shù)——電勢

U(r)

■基元電勢場電勢疊加原理■球對稱的電勢場■電偶極子的電勢場■由電勢場U(r)導出場強E(r)■電偶極子的場強公式由其電勢場導出■討論——無源空間電勢分布無極值靜電場的環(huán)路定理

搬運一單位正電荷從

a點沿路徑到達點

b，這基元靜電場力

E1(r)所做的功為

其中，上述路徑積分可簡化為：庫侖場的路徑積分值與路徑形態(tài)無關，僅決定于其起點和終點的位置。

若從a

點出發(fā)沿不同路徑(

l1

)、(

l2

)和

(

l

)而到達點b，則三者的場強路徑積分值無異。等價的表述為：

推廣到任意點電荷組的情形。設點電荷組為(q1,q2,…，qn)，他們將產生一個復雜的靜電場E(r)，它滿足場強疊加原理:

于是其閉合環(huán)路的積分為:即這就是靜電場環(huán)路定理的數(shù)學表達式。

表述為，任意靜電場的環(huán)路積分值恒等于零。靜電場是一個保守力場，如同萬有引力場也是一個保守力場。

靜電場為保守力場這一點，根源于基元場是一個球對稱徑向場或稱之為有心力場，即1/r2并非必要條件。泛論之，設某矢量場

A(r)為一球對稱的徑向場，則

A場的環(huán)路積分值必為零，當

或其它球函數(shù)。靜電場的勢函數(shù)——電勢U(r)

鑒于靜電場是一保守力場，其場強的路徑積分值與起點和終點位置直接對應，而與路徑形態(tài)無關，從而可以引入一個勢函數(shù)

U(r)來反映靜電場，這勢函數(shù)簡稱為電勢，先前也曾稱其為電位。定義靜電場中任意兩點的電勢差為:即，靜電場中兩點之電勢差定義為搬運單位正電荷，從一點到另一點過程中電場力所做的功。

如果要問靜電場中每一場點的電勢值，則這涉及電勢零點位置的選擇。通常選擇無窮遠處為電勢零點。于是，靜電場中任意場點的電勢定義為:

即，任意場點的電勢定義為，搬運單位正電荷從該點至無窮遠處過程中靜電場力所做的功。

其功若正，則該點電勢

U(P)>0；

其功若負，則該點電勢

U(P)<0。在MKSA國際單位制中，電勢或電勢差的單位為

[U]=焦耳/庫侖，即伏特；[U]=J/C，即

V。因為電勢是場強的線積分值，故導出場強在MKSA制中的單位為：

[E]=伏特/米，[E]=V/m面對一個靜電場，其中每一場點有一場強E(r)

，同時有一勢函數(shù)

U(r)

；場強

E(r)是一個矢量場，電勢場U(r)

是一個標量場也稱為標量勢；兩者反映或刻劃了同一個靜電場，電勢的定義式表達了兩者的一種關系?；妱輬鲭妱莜B加原理基元電勢場公式:

等勢面任意點電荷組或電荷分布時的總電勢

U(r)

，等于各個點電荷或元電荷在該處產生的分電勢Ui

(r)

的線性疊加，即，電勢滿足疊加原理，其理論根據(jù)是場強滿足疊加原理：對于點電荷組對于電荷連續(xù)分布的體電荷區(qū)

當E(r)已知或易知，這里的積分路徑可自由選擇。由場強線積分求出電勢場有兩種途徑可能求出空間電勢場：由電勢疊加原理求出電勢場當Ui

(p)已知或易知。

球對稱的電勢場均勻帶電球殼的電勢場一個均勻帶電球殼

(Q,R)，其電勢場可由其場強E(r)的線積分求得:在這球殼內部E

=

0

，故其內部是一個等電勢區(qū)域，不是電勢為零；經球殼表面時，兩側電勢值是相等的，并無突變，雖然這表面電荷兩側場強E

有突變。均勻帶電球體的電勢場一個均勻帶電球殼

(Q,R)，其電勢場同樣的可由其場強E(r)的線積分求得:其中第一項是

rR區(qū)間積分所貢獻，第二項是

R∞區(qū)間積分所貢獻。在球心即

r=0處其電勢值為最高，設

Q>0，雖然此處場強為零，同心且均勻帶電球殼的電勢場兩個同心且均勻帶電的球殼

(

q1

,R1

)

和(

q2

,R2

)，其電勢場可由場強E(r)的分區(qū)線積分求出，但借助單球殼的電勢場，再應用電勢疊加原理求解，則顯得較為簡明。三個同心且均勻帶電的球殼

(

q

,R1

),

(

-q

,R2

)

和(

Q

,R3

)，這一情形將不時地出現(xiàn)于導體靜電學中。同樣地直接借用單球殼的電勢公式，并應用電勢疊加原理求解，其結果為:

(等勢區(qū))(等勢區(qū))兩者差別：與(

Q

,R3

)

無關。電偶極子的電勢場由于軸對稱性，選擇平面極坐標(r,θ)來標定場點位置，即P(r,θ),

該點電勢等于(q)

貢獻的電勢U+

與(-q)貢獻的電勢U-之疊加，偶極子模型有r>>l，取近似最后得電偶極子的電勢場公式為：零電勢面為球面的情形對于兩個非等量而異號的點電荷，其零等勢面Σ0

變?yōu)橐粋€特定的球面，在二維平面上它為一特定的圓周，令q’/q=K<1，由電勢場

U(r)導出場強E(r)

既然電勢場

U(r)和場強

E(r)描述的是同一個靜電場，這兩者之間必有一個確定的定量關系。過渡到微分位移

采用偏微分，即在

oxyz正交直角坐標系中，由電勢場

U(x,y,z)便可導出場強

E(x,y,z)的三個正交分量，或引入三個基矢

(i,j,k)而將上式寫成一個矢量表達式，引入一個劈形算符▽

，它定義為算符▽

具有微商性和矢量性的雙重功能。它在數(shù)學場論中普遍使用。比如，一個標量場u(x,y,z)，其沿三個正交方向分別有三個空間變化率，以此構成一個新矢量，稱為該標量場的梯度，用濃縮符號▽u

示之，即其梯度表達為：據(jù)此，反映場強E

與電勢U

關系的表達式濃縮為：對于一個等勢面，其上每一點切線方向的微分位移皆在等勢面上，故

。場強的切向分量皆為零，即，場強E(P)沿等勢面在該處的法線方向n,

其中”-”號表明，當

，則E//n；當

，則E//(-n)電場線與等勢面處處正交，且指向電勢降落的方向

在等勢面密集區(qū)域，值較大，在等勢面疏散區(qū)域，值較小。普遍而言，在等勢面相對密集區(qū)域，場強E值相對增強從實驗測定和數(shù)理方法的角度來評價，電勢場的地位和價值決不低于場強。

電偶極子的場強公式由其電勢場導出電偶極子的電勢場為：

其場強的徑向分量

Er

和橫向分量

Eθ，可求出電勢之偏微商而得到：【討論】無源空間中電勢分布無極值

若干離散的帶電體在空間產生了一個復雜的靜電場，我們將不存在電荷的區(qū)域簡稱為無源空間。試證明，在無源空間中電勢分布無極值。

1.7電偶極子在外場中■單一點電荷在外場中的電勢能■電偶極子在外場中的電勢能■電偶極子在外場中受力和力矩■用電勢能表達電偶極子受力■討論——兩個電偶極子間的電力

電偶極子是電磁學中一個重要研究對象。它自身產生的靜電場，即其場強公式和電勢公式均已導出，本節(jié)討論它在外電場中的勢能、所受力和力矩，并得到若干重要公式。單一點電荷在外場中的電勢能

搬運一點電荷

q從無窮遠至

P處，克服或反抗庫侖力所做的功

A，正是

q在

P處的電勢能，即點電荷在外電場中具有電勢能，它等于點電荷量與該處電勢之乘積

比如，醫(yī)療上常用的

X光機，其核心部件是一個

X射線管，其中熱電子陰極發(fā)射的電子束，在陽極直流高壓的作用下，以一定動能沖擊陽極板，而發(fā)射出極短波長的

X射線。

設某

X射線管的直流高壓U+

為三萬伏，即其陽極板與陰極之電勢差為30kV，據(jù)此可以估算出達到陽極板的電子動能Ek，它等于電子

(-e)從陰極至陽極的電勢能之降落，最終得到一簡明結果，

其中，電偶極子在外場中的電勢能一電偶極子其偶極矩為

p，處于均勻外場

E中，則其電勢能

Wp

等于兩極點電荷的電勢能之代數(shù)和，即得到電偶極子在外場中的電勢能公式：

當其電勢能最低，此系穩(wěn)定平衡狀態(tài)；

當其電勢能最高，此乃非穩(wěn)定平衡狀態(tài)；

總之，在外場作用下，電偶極子有著順向外電場的運動趨勢。在非均勻外場中，偶極子的電勢能近似公式為：這是因為偶極子模型中的偶極間距l(xiāng)

很小，以至上述E

的線積分過程中，依然可以將E

看為一常矢量，這是個很好的近似考量。電偶極子在外電場中受力和力矩在均勻外場中，電偶極子的兩極所受庫侖力

f+

和

f_，其數(shù)值相等而方向相反，故其合力為零，然而，這電偶極子所受力矩一般不為零，這是一個力偶矩

M，試選

a點為參考點，則

f+力貢獻的力矩為零，于是，即，電偶極子在均勻外場中所受力矩的公式為：在非均勻外場中，電偶極子所受力矩的近似公式為：電偶極子在外電場中受力和力矩

處于非均勻外場中的電偶極子其兩極受力分別為

f+和f-

，它們數(shù)值不等，其方向也非相反，若取合力為零的近似就不合時宜。以下采用電勢能概念表達電偶極子的受力。先討論點電荷情形。重溫三個相關公式，

于是，即點電荷所受庫侖力等于其電勢能的負梯度

推廣到點電荷組(q1,q2,…，qn)情形，

將上式應用于特殊的點電荷組——電偶極子，并注意到其在外場中的電勢能公式

，最終得到電偶極子在非均勻外場中的受力公式，

試將這一濃縮的表達式展開以顯示其內容：注意到：

然而，采用上式求解電偶極子在外場中受力的途徑，并非唯一的選擇，雖然它是普遍適用的，在某些特定場合，或許有更為直截了當?shù)那蠼馔緩?，尤其當外?/p>

E(r)比較單純且有某種對稱性的情形。綜上所述，電偶極子在非均勻場中，不僅受一力矩而轉動，且受一個力而平動；其轉動趨勢依然為使其偶極矩順向外場，即

p//E，而其平動趨勢沿其電勢能降落的方向，即趨向電場線較為密集的區(qū)域。【討論】兩個電偶極子間的電力

有兩個電偶極子，其偶極矩分別為

p1與

p2，彼此相距

R甚遠。對于圖(a)，p1//p2，且共軸；對于圖

(b)，p1//p2，且與軸正交。試針對這兩種情況，分別求出

p1產生的電場施于

p2的電力

F12.1.8靜電場的散度&旋度■靜電場的積分方程■靜電場的散度■靜電場的旋度■小結■討論1——論證場強一致的無源區(qū)域是一個均勻場區(qū)■討論2——試以點電荷產生的基元場E0，U0

為對象，原始地考量其▽·E0，▽×E

和▽U0靜電場的積分方程

靜電場遵從的兩條基本規(guī)律，即其通量定理和環(huán)路定理，均以積分形式表達:

靜電場中不存在閉合的

E場線。

E場線總是有起點與終點的，總是有頭有尾的。而靜電場通量定理表明，E場線起始于正電荷區(qū)，終止于負電荷區(qū)。上述兩條積分方程適用于任意形狀的閉合曲面

(Σ)和閉合環(huán)路

(L)。若將(Σ)或(L)無限收縮而逼近一場點，則由此可以導出靜電場的微分方程，即散度方程和旋度方程，它們充分地顯示了靜電場E(r)在空間逐點變化所遵從的關系。靜電場的散度借助數(shù)學場論中的高斯定理：對于任意矢量場

A(r)或

A(x,y,z)，有這里，劈形算符的定義已在前面引入，即:

常直稱為矢量場的散度（divergency）。換言之，高斯定理表明，一個矢量場的閉合面通量等于其散度的體積分，其積分區(qū)域(V)

為閉合面

(Σ)所包圍的容積。

將場論高斯定理應用于靜電場，有:

以此聯(lián)立物理上的靜電場通量定理，遂得

稱其為靜電場的散度方程，它是靜電場通量定理的微分方程。它表明了靜電場強的三個正交分量Ex(x,y,z)、Ey(x,y,z)

和Ez(x,y,z)，分別沿三個基矢方向的空間變化率之間有一個確定的互相制約關系，即

凡某處體電荷密度

ρ=0，則該處散度

▽·E=0，雖然此處場強并非為零。對于那些由局域電荷產生的電場，其在廣大的無源空間中，散度皆為零。這里最典型的實例就是由點電荷產生的基元場，它僅在源電荷所在點有散度，除此點以外的全空間，其散度皆為零。反過來考量，凡散度不為零的區(qū)域，必存在源電荷；這些源電荷的存在，影響到廣大無源空間的電場分布。從這個意義上，人們常稱靜電場是一個有源場，或一個有散場。在靜電場的全空間里，必將存在一個散度不為零的源電荷。

在數(shù)學場論中采取了另一種方式引入一矢量場的散度div

A，它被定義為單位體積的通量值，即通量的體密度，圍繞場點做一個小小長方體，其邊長為

(Δx,Δy,Δz)，其通量值：法線指向

±x軸的一對平面的通量法線指向

±y軸的一對平面的通量法線指向

±z軸的一對平面的通量證明場論中的高斯定理

一宏觀閉合曲面

(Σ)，其所包圍的容積

(V)被切割為無數(shù)個體積元

(ΔV)。這體積元也有一個閉合表面

(ΔΣ)，按散度的定義，其通量表示為:內部所有體積元的面通量，因“緊鄰效應”而彼此抵消，最終的通量就是緊挨宏觀表面的那些體積元所貢獻的，即靜電場的旋度借助數(shù)學場論中的斯托克斯定理：對于任意矢量場A(x,y,z)，有這里

(Σ)是以閉合環(huán)路(L)

為邊界的任意曲面，人們常直稱▽×A為矢量場的旋度（rotation）。旋度是個矢量場，其含義為：茲將其應用于靜電場，有：以此聯(lián)立物理上的靜電場環(huán)路定理，遂得：稱其為靜電場的旋度方程，它是靜電場環(huán)路定理的微分形式。靜電場的旋度恒為零，故常稱靜電場為非旋場。這也意味著其旋度的三個分量恒為零，即該式鮮明地顯示了靜電場強

E的其他六個空間變化率之間的相互制約關系。

在數(shù)學場論中采取另一種方式，引入一矢量場的旋度rot

A，它系一個矢量，其三個正交分量被定義為，

定義式給出了旋度的幾何意義，即，一矢量場的旋度反映了該場點鄰近環(huán)量的面密度——單位面積的環(huán)路積分值（環(huán)量）。經微分數(shù)學推演得到以下結果，以此類推，得：故即本章致力于研究靜電場所遵從的基本規(guī)律，茲將其結果歸集于下積分形式微分形式定性有源場非旋場這四個方程均以場強

E為對象，然而靜電場是一個非旋場亦即保守場，可用標量勢即電勢場U

作等價描述之，于是，可以將表中的兩個微分方程結合為一個以U

為對象的微分方程，得其中算符上面的方程稱為泊松方程，它是一個二階偏微商方程。

若在無源空間，處處體電荷密度為零，于是有

它就是著名的拉普拉斯方程。通常源電荷區(qū)是局域的，在廣大無源空間中，電勢場遵從拉普拉斯方程。

雖然，不同的源電荷分布，就有相應不同的電勢場，而其方程都是一樣的。這表明，無源空間的邊界狀態(tài)是至關重要的，拉普拉斯方程結合邊界條件，才能最終定解電勢場，這就是所謂“無源空間邊值定解”。

興起于十九世紀后半葉的英國劍橋學派，致力于研究各類邊條件下，求解拉普拉斯方程的各種數(shù)學方法，從而創(chuàng)立了一個數(shù)學物理方法的研究方向，以及相應的一門數(shù)學物理方法課程?！居懻?】論證場強方向一致的無源區(qū)域是一個均勻場區(qū)