電磁學(xué)通論 Chapter1 課程導(dǎo)言

電磁學(xué)通論電磁學(xué)課程導(dǎo)言

1、電磁學(xué)歷史紀(jì)要2、本課程的篇章結(jié)構(gòu)3、面對(duì)一種新的研究對(duì)象——空間分布的矢量場(chǎng)4、經(jīng)典電磁學(xué)系宏觀電磁學(xué)電磁學(xué)歷史紀(jì)要起始于1785年庫(kù)侖確定了磁極間及電荷間的相互作用定律完成于1864年麥克斯韋建立了電磁場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方程組

重大事件1820年奧斯特實(shí)驗(yàn)揭示了電流的磁效應(yīng)，進(jìn)而形成了磁的電學(xué)說(shuō)，即一切磁性源于電荷的運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)了電與磁的統(tǒng)一；1831年法拉第發(fā)現(xiàn)感應(yīng)電流，進(jìn)而形成了電磁感應(yīng)定律，從而揭示了在變化情形下電與磁相互激勵(lì)的場(chǎng)景經(jīng)典電磁學(xué)理論2.

本課程的篇章結(jié)構(gòu)第1章

靜電場(chǎng)

第2章

靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)

第3章

恒定電流場(chǎng)&直流電路

第4章

恒定磁場(chǎng)主要內(nèi)容為“場(chǎng)”和“路”理論體系基本上遵循電磁學(xué)發(fā)展的歷史軌跡，是歸納型理論體系，區(qū)別于經(jīng)典牛頓力學(xué)體系（演繹型理論體系）注重從“場(chǎng)”的觀點(diǎn)來(lái)理解“路”，比如，電路中的電流，它是電場(chǎng)推動(dòng)自由電荷作定向運(yùn)動(dòng)所致第5章

磁介質(zhì)第6章

電磁感應(yīng)第7章

交流電路第8章

麥克斯韋電磁理論3.

面對(duì)一種新的研究對(duì)象

——空間分布的矢量場(chǎng)

作為電磁學(xué)理論研究的主要對(duì)象電場(chǎng)與磁場(chǎng)，是一種空間分布的矢量場(chǎng)，表示為和，與先前學(xué)習(xí)過(guò)的力學(xué)研究對(duì)象是離散的質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)組或剛體相比較，它們是一種嶄新的客體。

圖0.1兩個(gè)典型的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的空間圖象研究矢量場(chǎng)的理論目標(biāo)，就是揭示該矢量場(chǎng)這9個(gè)變?cè)膬?nèi)在關(guān)系，從而由空間一處的場(chǎng)導(dǎo)出另一處的場(chǎng)。這反映在數(shù)學(xué)上：通量定理

環(huán)路定理對(duì)應(yīng)的微分方程為散度方程旋度方程對(duì)于磁場(chǎng)

我們依然去探求：4.經(jīng)典電磁學(xué)系宏觀電磁學(xué)經(jīng)典電磁學(xué)屬于宏觀電磁學(xué)，相對(duì)于量子電動(dòng)力學(xué)而言在經(jīng)典電磁學(xué)中，在論述帶電狀態(tài)時(shí)，一直采用電荷連續(xù)分布的概念，這是怎么回事？

我們知道，帶電體上荷電均來(lái)自組成物質(zhì)的分子和原子內(nèi)部的電性.原子和分子的尺度為納米nm量級(jí).故以nm尺度來(lái)審視，物質(zhì)的荷電量是離散的不連續(xù)的.觀測(cè)尺度VS分析精度探針尺度、位移精度——微米量級(jí)——尖端約106個(gè)原子、分子或離子——平均場(chǎng)或平均電荷量宏觀電磁學(xué)的一層含義，即，在宏觀尺度上考量物質(zhì)的荷電狀態(tài)，相應(yīng)地采用體電荷分布，面電荷分布等術(shù)語(yǔ)給予描述.宏觀電磁學(xué)的另一層含義與帶電粒子的波粒二象性相關(guān)電磁學(xué)要研究的基本問(wèn)題有兩方面研究電荷電流產(chǎn)生電磁場(chǎng)的規(guī)律研究電荷電流所受電磁力的規(guī)律及其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

對(duì)于電子這類(lèi)輕粒子，當(dāng)其運(yùn)動(dòng)范圍在宏觀尺度，比如米量級(jí)，則其波動(dòng)性是次要的，而粒子性是顯要的，其行為可以用經(jīng)典粒子的語(yǔ)言描述之

電磁場(chǎng)和電磁波，當(dāng)其存在于宏觀尺度的空間范圍，則其粒子性即其光子性是次要的，而波動(dòng)性是顯要的，其行為可以用經(jīng)典波動(dòng)的語(yǔ)言描述之?？傊?，宏觀電磁學(xué)采用經(jīng)典粒子概念，來(lái)考量帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)；采用經(jīng)典波場(chǎng)概念，去看待電磁場(chǎng)和電磁波.第1章靜電場(chǎng)1.1物質(zhì)的電性

1.2庫(kù)侖定律1.3電場(chǎng)強(qiáng)度矢量&場(chǎng)強(qiáng)疊加原理

1.4靜電場(chǎng)的通量定理1.5三類(lèi)高度對(duì)稱(chēng)性的靜電場(chǎng)

1.6靜電場(chǎng)的環(huán)路定理&電勢(shì)場(chǎng)1.7電偶極子在外場(chǎng)中

1.8靜電場(chǎng)的散度&旋度1.9靜電場(chǎng)的邊值關(guān)系&余弦型球面電荷的電場(chǎng)本章概述由庫(kù)侖定律得到點(diǎn)電荷的靜電場(chǎng)，并將它選定為一般靜電場(chǎng)的基元場(chǎng)；基于這基元場(chǎng)和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，確立了靜電場(chǎng)的通量定理和環(huán)路定理，以及相應(yīng)的靜電場(chǎng)散度方程和旋度方程；求解了一系列典型電荷分布時(shí)的空間場(chǎng)強(qiáng)分布和電勢(shì)分布，特別關(guān)注這些典型結(jié)果所顯示的靜電場(chǎng)的種種個(gè)性。本章最后，饒有興趣地討論了余弦型球面電荷的電場(chǎng)，由其內(nèi)部的均勻場(chǎng)，應(yīng)用靜電場(chǎng)邊值關(guān)系導(dǎo)出其外部為偶極場(chǎng)；本章是電磁場(chǎng)通論的首章，從中不僅學(xué)習(xí)到靜電場(chǎng)的基本規(guī)律和眾多典型結(jié)果，而且感悟到與場(chǎng)打交道時(shí)，應(yīng)當(dāng)具備的認(rèn)識(shí)眼光、分析能力和相應(yīng)的數(shù)理方法。1.1物質(zhì)的電性物質(zhì)的電性&電中性概念宏觀物質(zhì)的電性源于微觀上原子的電性■物質(zhì)的電性&電中性概念■幾種起電方式原子核帶正電，其電量;

核外電子帶負(fù)電，其電量;

Z為原子序數(shù)，只能取整數(shù)值e為基元電量，一個(gè)電子的荷電量整個(gè)原子是電中性的，即：物質(zhì)，亦即電磁學(xué)中常說(shuō)的介質(zhì)，它是由大量的原子按一定秩序或規(guī)則凝聚而成的。以宏觀的眼光看，在體積元

ΔV中，含有正電量Δq+，且含負(fù)電量Δq-.不妨在此引入體電荷密度ρ+，ρ

-來(lái)描述ΔV處介質(zhì)的電性，若(ρ

++ρ-)=0

，呈電中性;若(ρ++ρ

-)≠0

，電中性遭到破壞，呈帶電狀態(tài)或荷電性.體積元ΔV

，可以取在介質(zhì)體內(nèi)，也可以推移至介質(zhì)表面層，宏觀電磁學(xué)忽略這nm尺度的表面層厚度，隨之以面電荷密度

替代體電荷密度ρ，來(lái)描述介質(zhì)表面的帶電狀態(tài).幾種起電方式摩擦起電——摩擦雙方電子交換的不對(duì)等導(dǎo)體感應(yīng)起電——自由電荷的重新分布介質(zhì)極化起電——束縛電荷的有序取向空間電荷——不依附于導(dǎo)體或介質(zhì)凡使物體或介質(zhì)不再維持電中性而帶電的手段，統(tǒng)稱(chēng)為起電.1.2庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律■庫(kù)侖定律■對(duì)庫(kù)侖定律的進(jìn)一步闡釋■庫(kù)侖定律成立條件和適用范圍■四個(gè)重要物理常數(shù)庫(kù)侖扭秤實(shí)驗(yàn)裝置F12∝q1,q2

，與電量成正比；F12∝1∕r2

，與距離平方成反比——平方反比律；F12∕∕r12，當(dāng)q1,q2同號(hào)，即同號(hào)電荷相斥F12∕∕(-r12)，當(dāng)q1,q2異號(hào)，即異號(hào)電荷相吸.這些關(guān)系被概括為一個(gè)表達(dá)式，即庫(kù)侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為在MKSA制中，庫(kù)侖定律的表達(dá)式寫(xiě)成以下形式：，即在比例常數(shù)中竟引入一個(gè)無(wú)理數(shù)π

，一時(shí)令人費(fèi)解.也許現(xiàn)今憑借電腦的巨大運(yùn)算能力，人們對(duì)含π

的數(shù)值演算也并不發(fā)怵了；若是聯(lián)想到圓周長(zhǎng)為2πR

，圓面積為πR2

，球面積為4πR2

，閉合面對(duì)其內(nèi)一點(diǎn)的立體角為4π，也許在與這些幾何量相關(guān)的電學(xué)問(wèn)題中，可能出現(xiàn)消π

的結(jié)果.稱(chēng)為真空介電常數(shù)或真空電容率，對(duì)應(yīng)的比例常數(shù)為：在MKSA制中，電量q

的單位為庫(kù)侖，符號(hào)為C.一庫(kù)侖電量定義為1安培電流在

1秒鐘時(shí)間內(nèi)通過(guò)的電量，即1C電量是一個(gè)很大的荷電量比如，各帶1C

的兩個(gè)點(diǎn)電荷，相距1m時(shí)的庫(kù)侖力為8.99×109N（牛頓），這相當(dāng)于10個(gè)10萬(wàn)噸級(jí)航母的重量.物體內(nèi)存的負(fù)電量或正電量的數(shù)值都是很大的一般約為105C/cm3

量級(jí)，這是因?yàn)樵拥木€度實(shí)在太小了，雖然基元電量即電子電量?jī)H為

1.6×

10-19C

.C

=

A·s對(duì)庫(kù)侖定律的進(jìn)一步闡釋?zhuān)?）關(guān)于庫(kù)侖力正比于電量的問(wèn)題.庫(kù)侖定律是靜電學(xué)理論賴(lài)以建立和發(fā)展的巨大基石.試圖驗(yàn)證庫(kù)侖力F∝Q,q的實(shí)驗(yàn)方案如圖所示，保持源電荷Q值不變，在距離為

處先后放置試探電荷

q1與

q2，分別測(cè)得庫(kù)侖力

F1與

F2

的數(shù)值，爾后對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)予以分析，審視（2）關(guān)于庫(kù)侖力為徑向力的問(wèn)題庫(kù)侖力的空間特性之一是.其方向沿兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線方向即徑向方向，稱(chēng)其為徑向力.這一點(diǎn)無(wú)需由實(shí)驗(yàn)證認(rèn)，它是點(diǎn)模型及其對(duì)稱(chēng)性制約下的邏輯必然.一個(gè)點(diǎn)源在無(wú)實(shí)物空間中所產(chǎn)生的任何物理效應(yīng)或物理特性，皆呈現(xiàn)空間各向同性，亦即球?qū)ΨQ(chēng)性。表現(xiàn)為兩方面：以點(diǎn)源Q為中心的同一球面上，試探電荷q所受庫(kù)侖力的數(shù)值是相等的；各處庫(kù)侖力的方向必然沿其矢徑方向，不可能出現(xiàn)與矢徑方向正交的橫向力，亦即不可能出現(xiàn)偏離矢徑方向的力。（3）庫(kù)侖力遵從距離平方反比律

在點(diǎn)模型及其對(duì)稱(chēng)性要求下，庫(kù)侖力具有球?qū)ΨQ(chēng)性，就數(shù)值而言其函數(shù)形式可表達(dá)為：在此并不排斥n=1.98,2.06,3,4

等等取值.庫(kù)侖扭秤實(shí)驗(yàn)的核心價(jià)值就在于確定了n=2，即庫(kù)侖力遵從距離平方反比律。既然是實(shí)驗(yàn)，就必有誤差.因此將F(r)寫(xiě)成以下形式更為恰當(dāng)，年代|δ|17722×10-218705×10-519363×10-919713×10-162003待估算人們?yōu)楹稳绱溯^真偏差δ值？因?yàn)樗赡懿⒎菃渭兊膶?shí)驗(yàn)誤差，它也許內(nèi)涵規(guī)律性的偏差，即庫(kù)侖力真的并非準(zhǔn)確地遵從r2

反比律.如是，這將導(dǎo)致光子的靜質(zhì)量m0不為零。庫(kù)侖定律成立條件和適用范圍庫(kù)侖定律的成立與電荷種類(lèi)無(wú)關(guān).不論導(dǎo)體中的自由電荷或介質(zhì)中的極化電荷或空間電荷，其相互作用的電力皆遵從.

庫(kù)侖定律中出現(xiàn)的電荷

q1

和q2不涉及電荷的來(lái)源與機(jī)制，與電荷的身份無(wú)關(guān).在觀測(cè)者參考系中，兩個(gè)靜止電荷之間的相互作用力遵從庫(kù)侖定律.不過(guò)這里強(qiáng)調(diào)的靜止條件可以放寬些.四個(gè)重要物理常數(shù)或者

電磁學(xué)中常見(jiàn)四個(gè)物理常數(shù)。首先見(jiàn)到的是庫(kù)侖定律中那個(gè)ε0

，稱(chēng)其為真空介電常數(shù)，其值已被準(zhǔn)確認(rèn)定，它與另外兩個(gè)物理常數(shù)，即真空中光速

c

和真空磁導(dǎo)率

μ0之間有一個(gè)確定的關(guān)系.名稱(chēng)符號(hào)數(shù)值&單位不確定度真空中光速c2.99792458×108m/s準(zhǔn)確真空磁導(dǎo)率μ0

4π×10-7N/A2準(zhǔn)確真空介電常數(shù)ε8.85418781762…×10-12F/m準(zhǔn)確電子電荷e1.602176462×10-19C10-111.3電場(chǎng)強(qiáng)度矢量&場(chǎng)強(qiáng)疊加原理電場(chǎng)概念■

電場(chǎng)概念■

電場(chǎng)強(qiáng)度矢量

■

靜電場(chǎng)的基元場(chǎng)■

場(chǎng)強(qiáng)疊加原理

■

電偶極子的場(chǎng)強(qiáng)&偶極矩■

長(zhǎng)直帶電細(xì)線的場(chǎng)強(qiáng)

■

帶電圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)點(diǎn)P，試探電荷q0

，電場(chǎng)施予q0

的庫(kù)侖力為F，

則定義該處的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量

E(r)

電場(chǎng)強(qiáng)度矢量定義為,

單位正電荷在該處所受到的庫(kù)侖力，它反映了電場(chǎng)

E(x,y,z)的空間分布，簡(jiǎn)稱(chēng)其為場(chǎng)強(qiáng)。若某一區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)方向一致，且數(shù)值相等，則稱(chēng)其為均勻場(chǎng)。靜電場(chǎng)的基元場(chǎng)——點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)試探電荷q0受力為：除以q0，便得到點(diǎn)電荷q

產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)公式為：場(chǎng)強(qiáng)疊加原理點(diǎn)電荷組（q1，q2，，qn）

一般情況下：各自在同一場(chǎng)點(diǎn)貢獻(xiàn)的場(chǎng)強(qiáng)分別為：總場(chǎng)強(qiáng)等于各分場(chǎng)強(qiáng)的線性疊加，稱(chēng)其為場(chǎng)強(qiáng)疊加原理

應(yīng)用疊加原理求解具體的場(chǎng)強(qiáng)分布問(wèn)題時(shí)，有幾點(diǎn)值得注意：應(yīng)當(dāng)注意到場(chǎng)強(qiáng)的矢量性，亦即方向性。常常采用坐標(biāo)分量疊加形式來(lái)表達(dá)總場(chǎng)強(qiáng)的結(jié)果

。對(duì)場(chǎng)強(qiáng)空間分布的對(duì)稱(chēng)性分析，有助于簡(jiǎn)約演算負(fù)擔(dān)。

電偶極子的場(chǎng)強(qiáng)&偶極矩概念

點(diǎn)電荷電偶極子指稱(chēng)一對(duì)點(diǎn)電荷其帶等量異號(hào)且相距很近的體系，用

(±q,l)示之。

這里所謂距離l

很小，是與場(chǎng)點(diǎn)P

的距離r

相比較而言的，即，r>>l

。偶極子模型是電磁學(xué)中一個(gè)重要的研究對(duì)象。這里先討論其在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)（遠(yuǎn)場(chǎng)）。場(chǎng)點(diǎn)

，場(chǎng)強(qiáng)

：徑向分量

，橫向分量

。（1）延長(zhǎng)線上。此時(shí)，場(chǎng)點(diǎn)為

，則

，試演算泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，僅保留一級(jí)小量這里于是，延長(zhǎng)線上電偶極子的場(chǎng)強(qiáng)：（2）中垂線上，此時(shí)場(chǎng)點(diǎn)為，則

，試演算于是，中垂線上電偶極子的場(chǎng)強(qiáng)

（3）場(chǎng)點(diǎn)位置任意，即。此時(shí)，應(yīng)用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理和l

<<

r

條件下的近似計(jì)算可以得到以下結(jié)果，目前若采用場(chǎng)強(qiáng)矢量疊加導(dǎo)出以上公式較為麻煩，留待今后基于電勢(shì)標(biāo)量疊加得到此結(jié)果?？梢詫⑸鲜礁膶?xiě)為直角坐標(biāo)形式，取（-q,q）連線為

x

軸，其中垂線為

y

軸，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在中點(diǎn)，于是，(4)電偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)的兩個(gè)特點(diǎn)值得強(qiáng)調(diào)一是其場(chǎng)強(qiáng)

E∝p，

。在電偶極子的所有電學(xué)性質(zhì)，q與

l兩者宛如一個(gè)原子團(tuán)，總是以乘積（ql）形式出現(xiàn)。為此定義電偶極子的電偶極矩為

這里，偶極間距方向約定為（-q）指向（q）.二是其場(chǎng)強(qiáng)E∝1/r3

，即呈現(xiàn)r3

反比關(guān)系，故其場(chǎng)強(qiáng)隨距離而減少要比庫(kù)侖力的

r2

反比律顯得更快。（5）電四極子和電八極子電四極子

，電四極矩

電八極子

，電八極矩

庫(kù)侖力遵從r2

反比律是長(zhǎng)程力的話，則電力呈現(xiàn)

r5

反比關(guān)系就是一種短程力長(zhǎng)直帶電細(xì)線產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

一均勻帶電的直線，長(zhǎng)為2l

其線電荷密度為η(C/m)借助圖中顯示的幾何三角關(guān)系:,,.討論：當(dāng)帶電線無(wú)限長(zhǎng)，則

，

，于是均勻帶電圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)一個(gè)半徑為

R

的圓環(huán)，均勻帶電量為

Q，它不可能有垂直對(duì)稱(chēng)軸的橫向場(chǎng)，即：dEx是圓環(huán)上任意帶電線元ηdl在

P點(diǎn)貢獻(xiàn)的場(chǎng)強(qiáng)

dE的軸向分量，即：討論：（1）當(dāng)

x=0，則

E=0；

當(dāng)

x>>R，即遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)，則

（2）關(guān)于均勻帶電圓環(huán)軸外場(chǎng)強(qiáng)。1.4靜電場(chǎng)的通量定理■概述——靜電場(chǎng)理論的目標(biāo)

■電通量概念

■靜電場(chǎng)的通量定理■討論——一個(gè)非球?qū)ΨQ(chēng)且

r2

反比律的徑向場(chǎng)的通量性質(zhì)■討論——求出某些非閉合面的電通量概述——-靜電場(chǎng)理論的目標(biāo)任意電荷分布的場(chǎng)強(qiáng)積分表達(dá)式：

靜電場(chǎng)理論的目標(biāo)是，探求各式各樣的那些靜電場(chǎng)的共性，即，靜電場(chǎng)

E(r)所遵從的基本規(guī)律——通量定理和環(huán)路定理。電通量概念

在電場(chǎng)空間中，通過(guò)面元

dS

的電通量

dΦ定義為，該處場(chǎng)強(qiáng)

E與

dS的標(biāo)積，即(dΦ可取正值或負(fù)值)

通過(guò)任意宏觀曲面

(Σ)的電通量被表達(dá)為:對(duì)于孤立面元或非閉合曲面，其法線有兩種自由選擇；對(duì)于閉合曲面，約定，取其外法線為其上面元的方向。

閉合面電通量為正或負(fù)或零的場(chǎng)線圖像靜電場(chǎng)的通量定理靜電場(chǎng)通量定理也常稱(chēng)為靜電場(chǎng)高斯定理，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為或者：其語(yǔ)言表述為，靜電場(chǎng)對(duì)任意閉合曲面所貢獻(xiàn)的電通量等于面內(nèi)所有電荷之和，再除以恒定常數(shù)ε0（在MKSA制中）

以下分兩步證明此定理：?jiǎn)我稽c(diǎn)電荷情形。試選取閉合曲面為一球面，它以q點(diǎn)為球心，則點(diǎn)電荷q

產(chǎn)生的基元場(chǎng)對(duì)半徑為r1的球面(Σ1)

貢獻(xiàn)的電通量為(任意單位制)(MASK制)這電通量與閉合球面的半徑值無(wú)關(guān)，當(dāng)r∞

時(shí)，雖然場(chǎng)強(qiáng)

E0

，其電通量既不等于零，也不趨向無(wú)窮大，而是一個(gè)定數(shù)，再考察閉合面

(Σ)為包圍

q的任意曲面時(shí)的電通量立體角元

dΩ與

(r,ds)的關(guān)系表示為:基元場(chǎng)通過(guò)

ds1

和

ds2的電通量分別為:由此及彼，擴(kuò)展到整個(gè)閉合面，

這表明，通過(guò)包圍點(diǎn)電荷q

的任意閉合面的電通量均為q/ε0點(diǎn)電荷組或電荷連續(xù)分布的情形。

待考察電通量的閉合面(Σ)

將點(diǎn)電荷組分為兩部分，內(nèi)部每個(gè)點(diǎn)電荷qi

對(duì)

(Σ)貢獻(xiàn)的電通量為

(qi)/ε0

，而外部所有電荷對(duì)貢獻(xiàn)的電通量均為零。故E是指總場(chǎng)強(qiáng):這兩部分的場(chǎng)強(qiáng)通量表達(dá)式:由點(diǎn)電荷組表達(dá)的通量定理可以自然地過(guò)渡到體電荷分布的情形:研究一個(gè)特殊的矢量場(chǎng)，其中

K為比例常數(shù)。試分析該矢量場(chǎng)對(duì)閉合球面的通量是否與球面半徑有關(guān)，即

是否成立。其中Σ1

，Σ2分別系半徑為r1，r2

的球面。進(jìn)一步給出該矢量場(chǎng)對(duì)包圍原點(diǎn)的任意閉合面

(Σ)的通量表達(dá)式【討論】一個(gè)非球?qū)ΨQ(chēng)的r2

反比律的徑向場(chǎng)的通量性質(zhì)【討論】求出某些非閉合面的電通量

試求出電偶極子中垂面

Σ0

上的電通量

Φ0

試求出電偶極子在曲面Σ0’

上的電通量Φ0’試求出非等量且異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)電荷在中曲面

Σ1

上的電通量

Φ1

1.3三類(lèi)高度對(duì)稱(chēng)性的靜電場(chǎng)球?qū)ΨQ(chēng)性■球?qū)ΨQ(chēng)性■高度軸對(duì)稱(chēng)性■高度平面對(duì)稱(chēng)性■評(píng)述均勻帶電球殼

(Q,R)

由于球?qū)ΨQ(chēng)，通過(guò)場(chǎng)點(diǎn)P

且半徑為

r

的閉合球面電通量就被簡(jiǎn)化為靜電場(chǎng)通量定理表明：

今后我們將多次看到，凡是經(jīng)面電荷處其場(chǎng)強(qiáng)不連續(xù)，或場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值有突變，或場(chǎng)強(qiáng)方向有突變。如果要問(wèn)，球殼表面的場(chǎng)強(qiáng)究竟為多少；這個(gè)問(wèn)題并非沒(méi)有意義。經(jīng)深入分析，可以導(dǎo)出球殼表面上的場(chǎng)強(qiáng)均勻帶電球體

(Q,R)

在

r≤R的閉合球面內(nèi)，含有電量:通過(guò)場(chǎng)點(diǎn)P

且半徑為

r

的閉合球面電通量為靜電場(chǎng)通量定理表明：

高度軸對(duì)稱(chēng)性

這里將涉及三種特殊的電荷分布,即，均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)細(xì)線、均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)圓筒和均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)圓柱體。

以無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線為例，它產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)具有高度的軸對(duì)稱(chēng)性，其含義有兩點(diǎn):

在軸距為

r的柱面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值相等，即場(chǎng)強(qiáng)

E與場(chǎng)點(diǎn)位置高度和轉(zhuǎn)角無(wú)關(guān)，僅是軸距

r的函數(shù)

E(r)，換言之，這場(chǎng)強(qiáng)具有以細(xì)線為軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性和沿軸線方向的平移對(duì)稱(chēng)性。這場(chǎng)強(qiáng)E方向沿軸距矢量r方向，這也是一種徑向場(chǎng)。求解均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)細(xì)線的場(chǎng)強(qiáng)分布。

設(shè)其線電荷密度為η(C/m)。過(guò)場(chǎng)點(diǎn)

P

作一個(gè)半徑為

r的圓柱面，其上底與下底之間距離

Δl

為可長(zhǎng)可短。該閉合圓柱面

(Σ)的電通量為：靜電場(chǎng)通量定理表明：

高度平面對(duì)稱(chēng)性一個(gè)無(wú)限大的均勻帶電平面，其產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)具有以下對(duì)稱(chēng)性：

E

方向沿軸線即E

垂直帶電平面。在與帶電平面距離r相同的平面上，各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值相等，即，E=E(r)

，這是一種平移平面對(duì)稱(chēng)性。左側(cè)空間與右側(cè)空間的兩個(gè)場(chǎng)強(qiáng)E互為鏡像對(duì)稱(chēng)，其鏡面為帶電平面。

作一個(gè)細(xì)長(zhǎng)的柱面作為閉合面考察其電通量：靜電場(chǎng)通量定理表明

σ表示面電荷密度，帶電平面法線方向

約定為從左側(cè)指向右側(cè)。

場(chǎng)強(qiáng)

E

與面距

r無(wú)關(guān)，左半空間和右半空間各自皆為均勻場(chǎng)，只是經(jīng)過(guò)帶電平面時(shí)場(chǎng)強(qiáng)方向倒轉(zhuǎn)而發(fā)生突變，而恰在帶電平面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)

E=0

評(píng)述憑借高度對(duì)稱(chēng)性而應(yīng)用靜電場(chǎng)通量定理，我們成功地求解了相應(yīng)電場(chǎng)的空間分布。如果場(chǎng)強(qiáng)沒(méi)有這類(lèi)高度對(duì)稱(chēng)性，單憑通量定理是不可能求解電場(chǎng)的，這并非此場(chǎng)合通量定理不成立。原本通量定理并不單獨(dú)承擔(dān)求解場(chǎng)強(qiáng)空間分布的任務(wù)，它與環(huán)路定理一起才全面反映了一個(gè)矢量場(chǎng)的性質(zhì)。在這三類(lèi)高度對(duì)稱(chēng)性中，球?qū)ΨQ(chēng)因其無(wú)邊界而顯示出其對(duì)稱(chēng)程度最高、最實(shí)際，因而它也更完美。而高度軸對(duì)稱(chēng)性尚須無(wú)限長(zhǎng)的理想條件予以保證。若是有限長(zhǎng)或有限大，則，對(duì)于帶電細(xì)線就有兩個(gè)端點(diǎn)，對(duì)于帶電圓筒就有兩個(gè)端環(huán)，對(duì)于帶電圓柱就有兩個(gè)端面，對(duì)于帶電平面就有一圈周邊，這些邊界點(diǎn)、線、面的存在，將導(dǎo)致其附近區(qū)域的場(chǎng)線發(fā)生彎曲而失去了高度對(duì)稱(chēng)性，這種現(xiàn)象俗稱(chēng)邊緣效應(yīng)。對(duì)于無(wú)限大均勻帶電平面，其場(chǎng)強(qiáng)

E(P)主要來(lái)自場(chǎng)點(diǎn)

P所正視的那個(gè)中心區(qū)域電荷的貢獻(xiàn)，而外圍的電荷面積雖然很大，因其距離遠(yuǎn)，更由于其傾角

θ大故傾斜因子

cosθ小，而對(duì)

E(P)的貢獻(xiàn)反而是小的，尤其當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)靠近帶電面時(shí)這種“正中效應(yīng)”更為明顯作一個(gè)定量考察:當(dāng)

z>0，考察幾個(gè)頗有意思的特例：1.6靜電場(chǎng)的環(huán)路定理電勢(shì)場(chǎng)■靜電場(chǎng)環(huán)路定理■靜電場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)——電勢(shì)

U(r)

■基元電勢(shì)場(chǎng)電勢(shì)疊加原理■球?qū)ΨQ(chēng)的電勢(shì)場(chǎng)■電偶極子的電勢(shì)場(chǎng)■由電勢(shì)場(chǎng)U(r)導(dǎo)出場(chǎng)強(qiáng)E(r)■電偶極子的場(chǎng)強(qiáng)公式由其電勢(shì)場(chǎng)導(dǎo)出■討論——無(wú)源空間電勢(shì)分布無(wú)極值靜電場(chǎng)的環(huán)路定理

搬運(yùn)一單位正電荷從

a點(diǎn)沿路徑到達(dá)點(diǎn)

b，這基元靜電場(chǎng)力

E1(r)所做的功為

其中，上述路徑積分可簡(jiǎn)化為：庫(kù)侖場(chǎng)的路徑積分值與路徑形態(tài)無(wú)關(guān)，僅決定于其起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置。

若從a

點(diǎn)出發(fā)沿不同路徑(

l1

)、(

l2

)和

(

l

)而到達(dá)點(diǎn)b，則三者的場(chǎng)強(qiáng)路徑積分值無(wú)異。等價(jià)的表述為：

推廣到任意點(diǎn)電荷組的情形。設(shè)點(diǎn)電荷組為(q1,q2,…，qn)，他們將產(chǎn)生一個(gè)復(fù)雜的靜電場(chǎng)E(r)，它滿足場(chǎng)強(qiáng)疊加原理:

于是其閉合環(huán)路的積分為:即這就是靜電場(chǎng)環(huán)路定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

表述為，任意靜電場(chǎng)的環(huán)路積分值恒等于零。靜電場(chǎng)是一個(gè)保守力場(chǎng)，如同萬(wàn)有引力場(chǎng)也是一個(gè)保守力場(chǎng)。

靜電場(chǎng)為保守力場(chǎng)這一點(diǎn)，根源于基元場(chǎng)是一個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)徑向場(chǎng)或稱(chēng)之為有心力場(chǎng)，即1/r2并非必要條件。泛論之，設(shè)某矢量場(chǎng)

A(r)為一球?qū)ΨQ(chēng)的徑向場(chǎng)，則

A場(chǎng)的環(huán)路積分值必為零，當(dāng)

或其它球函數(shù)。靜電場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)——電勢(shì)U(r)

鑒于靜電場(chǎng)是一保守力場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)的路徑積分值與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置直接對(duì)應(yīng)，而與路徑形態(tài)無(wú)關(guān)，從而可以引入一個(gè)勢(shì)函數(shù)

U(r)來(lái)反映靜電場(chǎng)，這勢(shì)函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)為電勢(shì)，先前也曾稱(chēng)其為電位。定義靜電場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電勢(shì)差為:即，靜電場(chǎng)中兩點(diǎn)之電勢(shì)差定義為搬運(yùn)單位正電荷，從一點(diǎn)到另一點(diǎn)過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功。

如果要問(wèn)靜電場(chǎng)中每一場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)值，則這涉及電勢(shì)零點(diǎn)位置的選擇。通常選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)。于是，靜電場(chǎng)中任意場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)定義為:

即，任意場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)定義為，搬運(yùn)單位正電荷從該點(diǎn)至無(wú)窮遠(yuǎn)處過(guò)程中靜電場(chǎng)力所做的功。

其功若正，則該點(diǎn)電勢(shì)

U(P)>0；

其功若負(fù)，則該點(diǎn)電勢(shì)

U(P)<0。在MKSA國(guó)際單位制中，電勢(shì)或電勢(shì)差的單位為

[U]=焦耳/庫(kù)侖，即伏特；[U]=J/C，即

V。因?yàn)殡妱?shì)是場(chǎng)強(qiáng)的線積分值，故導(dǎo)出場(chǎng)強(qiáng)在MKSA制中的單位為：

[E]=伏特/米，[E]=V/m面對(duì)一個(gè)靜電場(chǎng)，其中每一場(chǎng)點(diǎn)有一場(chǎng)強(qiáng)E(r)

，同時(shí)有一勢(shì)函數(shù)

U(r)

；場(chǎng)強(qiáng)

E(r)是一個(gè)矢量場(chǎng)，電勢(shì)場(chǎng)U(r)

是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)也稱(chēng)為標(biāo)量勢(shì)；兩者反映或刻劃了同一個(gè)靜電場(chǎng)，電勢(shì)的定義式表達(dá)了兩者的一種關(guān)系。基元電勢(shì)場(chǎng)電勢(shì)疊加原理基元電勢(shì)場(chǎng)公式:

等勢(shì)面任意點(diǎn)電荷組或電荷分布時(shí)的總電勢(shì)

U(r)

，等于各個(gè)點(diǎn)電荷或元電荷在該處產(chǎn)生的分電勢(shì)Ui

(r)

的線性疊加，即，電勢(shì)滿足疊加原理，其理論根據(jù)是場(chǎng)強(qiáng)滿足疊加原理：對(duì)于點(diǎn)電荷組對(duì)于電荷連續(xù)分布的體電荷區(qū)

當(dāng)E(r)已知或易知，這里的積分路徑可自由選擇。由場(chǎng)強(qiáng)線積分求出電勢(shì)場(chǎng)有兩種途徑可能求出空間電勢(shì)場(chǎng)：由電勢(shì)疊加原理求出電勢(shì)場(chǎng)當(dāng)Ui

(p)已知或易知。

球?qū)ΨQ(chēng)的電勢(shì)場(chǎng)均勻帶電球殼的電勢(shì)場(chǎng)一個(gè)均勻帶電球殼

(Q,R)，其電勢(shì)場(chǎng)可由其場(chǎng)強(qiáng)E(r)的線積分求得:在這球殼內(nèi)部E

=

0

，故其內(nèi)部是一個(gè)等電勢(shì)區(qū)域，不是電勢(shì)為零；經(jīng)球殼表面時(shí)，兩側(cè)電勢(shì)值是相等的，并無(wú)突變，雖然這表面電荷兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)E

有突變。均勻帶電球體的電勢(shì)場(chǎng)一個(gè)均勻帶電球殼

(Q,R)，其電勢(shì)場(chǎng)同樣的可由其場(chǎng)強(qiáng)E(r)的線積分求得:其中第一項(xiàng)是

rR區(qū)間積分所貢獻(xiàn)，第二項(xiàng)是

R∞區(qū)間積分所貢獻(xiàn)。在球心即

r=0處其電勢(shì)值為最高，設(shè)

Q>0，雖然此處場(chǎng)強(qiáng)為零，同心且均勻帶電球殼的電勢(shì)場(chǎng)兩個(gè)同心且均勻帶電的球殼

(

q1

,R1

)

和(

q2

,R2

)，其電勢(shì)場(chǎng)可由場(chǎng)強(qiáng)E(r)的分區(qū)線積分求出，但借助單球殼的電勢(shì)場(chǎng)，再應(yīng)用電勢(shì)疊加原理求解，則顯得較為簡(jiǎn)明。三個(gè)同心且均勻帶電的球殼

(

q

,R1

),

(

-q

,R2

)

和(

Q

,R3

)，這一情形將不時(shí)地出現(xiàn)于導(dǎo)體靜電學(xué)中。同樣地直接借用單球殼的電勢(shì)公式，并應(yīng)用電勢(shì)疊加原理求解，其結(jié)果為:

(等勢(shì)區(qū))(等勢(shì)區(qū))兩者差別：與(

Q

,R3

)

無(wú)關(guān)。電偶極子的電勢(shì)場(chǎng)由于軸對(duì)稱(chēng)性，選擇平面極坐標(biāo)(r,θ)來(lái)標(biāo)定場(chǎng)點(diǎn)位置，即P(r,θ),

該點(diǎn)電勢(shì)等于(q)

貢獻(xiàn)的電勢(shì)U+

與(-q)貢獻(xiàn)的電勢(shì)U-之疊加，偶極子模型有r>>l，取近似最后得電偶極子的電勢(shì)場(chǎng)公式為：零電勢(shì)面為球面的情形對(duì)于兩個(gè)非等量而異號(hào)的點(diǎn)電荷，其零等勢(shì)面Σ0

變?yōu)橐粋€(gè)特定的球面，在二維平面上它為一特定的圓周，令q’/q=K<1，由電勢(shì)場(chǎng)

U(r)導(dǎo)出場(chǎng)強(qiáng)E(r)

既然電勢(shì)場(chǎng)

U(r)和場(chǎng)強(qiáng)

E(r)描述的是同一個(gè)靜電場(chǎng)，這兩者之間必有一個(gè)確定的定量關(guān)系。過(guò)渡到微分位移

采用偏微分，即在

oxyz正交直角坐標(biāo)系中，由電勢(shì)場(chǎng)

U(x,y,z)便可導(dǎo)出場(chǎng)強(qiáng)

E(x,y,z)的三個(gè)正交分量，或引入三個(gè)基矢

(i,j,k)而將上式寫(xiě)成一個(gè)矢量表達(dá)式，引入一個(gè)劈形算符▽

，它定義為算符▽

具有微商性和矢量性的雙重功能。它在數(shù)學(xué)場(chǎng)論中普遍使用。比如，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)，其沿三個(gè)正交方向分別有三個(gè)空間變化率，以此構(gòu)成一個(gè)新矢量，稱(chēng)為該標(biāo)量場(chǎng)的梯度，用濃縮符號(hào)▽u

示之，即其梯度表達(dá)為：據(jù)此，反映場(chǎng)強(qiáng)E

與電勢(shì)U

關(guān)系的表達(dá)式濃縮為：對(duì)于一個(gè)等勢(shì)面，其上每一點(diǎn)切線方向的微分位移皆在等勢(shì)面上，故

。場(chǎng)強(qiáng)的切向分量皆為零，即，場(chǎng)強(qiáng)E(P)沿等勢(shì)面在該處的法線方向n,

其中”-”號(hào)表明，當(dāng)

，則E//n；當(dāng)

，則E//(-n)電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處正交，且指向電勢(shì)降落的方向

在等勢(shì)面密集區(qū)域，值較大，在等勢(shì)面疏散區(qū)域，值較小。普遍而言，在等勢(shì)面相對(duì)密集區(qū)域，場(chǎng)強(qiáng)E值相對(duì)增強(qiáng)從實(shí)驗(yàn)測(cè)定和數(shù)理方法的角度來(lái)評(píng)價(jià)，電勢(shì)場(chǎng)的地位和價(jià)值決不低于場(chǎng)強(qiáng)。

電偶極子的場(chǎng)強(qiáng)公式由其電勢(shì)場(chǎng)導(dǎo)出電偶極子的電勢(shì)場(chǎng)為：

其場(chǎng)強(qiáng)的徑向分量

Er

和橫向分量

Eθ，可求出電勢(shì)之偏微商而得到：【討論】無(wú)源空間中電勢(shì)分布無(wú)極值

若干離散的帶電體在空間產(chǎn)生了一個(gè)復(fù)雜的靜電場(chǎng)，我們將不存在電荷的區(qū)域簡(jiǎn)稱(chēng)為無(wú)源空間。試證明，在無(wú)源空間中電勢(shì)分布無(wú)極值。

1.7電偶極子在外場(chǎng)中■單一點(diǎn)電荷在外場(chǎng)中的電勢(shì)能■電偶極子在外場(chǎng)中的電勢(shì)能■電偶極子在外場(chǎng)中受力和力矩■用電勢(shì)能表達(dá)電偶極子受力■討論——兩個(gè)電偶極子間的電力

電偶極子是電磁學(xué)中一個(gè)重要研究對(duì)象。它自身產(chǎn)生的靜電場(chǎng)，即其場(chǎng)強(qiáng)公式和電勢(shì)公式均已導(dǎo)出，本節(jié)討論它在外電場(chǎng)中的勢(shì)能、所受力和力矩，并得到若干重要公式。單一點(diǎn)電荷在外場(chǎng)中的電勢(shì)能

搬運(yùn)一點(diǎn)電荷

q從無(wú)窮遠(yuǎn)至

P處，克服或反抗庫(kù)侖力所做的功

A，正是

q在

P處的電勢(shì)能，即點(diǎn)電荷在外電場(chǎng)中具有電勢(shì)能，它等于點(diǎn)電荷量與該處電勢(shì)之乘積

比如，醫(yī)療上常用的

X光機(jī)，其核心部件是一個(gè)

X射線管，其中熱電子陰極發(fā)射的電子束，在陽(yáng)極直流高壓的作用下，以一定動(dòng)能沖擊陽(yáng)極板，而發(fā)射出極短波長(zhǎng)的

X射線。

設(shè)某

X射線管的直流高壓U+

為三萬(wàn)伏，即其陽(yáng)極板與陰極之電勢(shì)差為30kV，據(jù)此可以估算出達(dá)到陽(yáng)極板的電子動(dòng)能Ek，它等于電子

(-e)從陰極至陽(yáng)極的電勢(shì)能之降落，最終得到一簡(jiǎn)明結(jié)果，

其中，電偶極子在外場(chǎng)中的電勢(shì)能一電偶極子其偶極矩為

p，處于均勻外場(chǎng)

E中，則其電勢(shì)能

Wp

等于兩極點(diǎn)電荷的電勢(shì)能之代數(shù)和，即得到電偶極子在外場(chǎng)中的電勢(shì)能公式：

當(dāng)其電勢(shì)能最低，此系穩(wěn)定平衡狀態(tài)；

當(dāng)其電勢(shì)能最高，此乃非穩(wěn)定平衡狀態(tài)；

總之，在外場(chǎng)作用下，電偶極子有著順向外電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。在非均勻外場(chǎng)中，偶極子的電勢(shì)能近似公式為：這是因?yàn)榕紭O子模型中的偶極間距l(xiāng)

很小，以至上述E

的線積分過(guò)程中，依然可以將E

看為一常矢量，這是個(gè)很好的近似考量。電偶極子在外電場(chǎng)中受力和力矩在均勻外場(chǎng)中，電偶極子的兩極所受庫(kù)侖力

f+

和

f_，其數(shù)值相等而方向相反，故其合力為零，然而，這電偶極子所受力矩一般不為零，這是一個(gè)力偶矩

M，試選

a點(diǎn)為參考點(diǎn)，則

f+力貢獻(xiàn)的力矩為零，于是，即，電偶極子在均勻外場(chǎng)中所受力矩的公式為：在非均勻外場(chǎng)中，電偶極子所受力矩的近似公式為：電偶極子在外電場(chǎng)中受力和力矩

處于非均勻外場(chǎng)中的電偶極子其兩極受力分別為

f+和f-

，它們數(shù)值不等，其方向也非相反，若取合力為零的近似就不合時(shí)宜。以下采用電勢(shì)能概念表達(dá)電偶極子的受力。先討論點(diǎn)電荷情形。重溫三個(gè)相關(guān)公式，

于是，即點(diǎn)電荷所受庫(kù)侖力等于其電勢(shì)能的負(fù)梯度

推廣到點(diǎn)電荷組(q1,q2,…，qn)情形，

將上式應(yīng)用于特殊的點(diǎn)電荷組——電偶極子，并注意到其在外場(chǎng)中的電勢(shì)能公式

，最終得到電偶極子在非均勻外場(chǎng)中的受力公式，

試將這一濃縮的表達(dá)式展開(kāi)以顯示其內(nèi)容：注意到：

然而，采用上式求解電偶極子在外場(chǎng)中受力的途徑，并非唯一的選擇，雖然它是普遍適用的，在某些特定場(chǎng)合，或許有更為直截了當(dāng)?shù)那蠼馔緩剑绕洚?dāng)外場(chǎng)

E(r)比較單純且有某種對(duì)稱(chēng)性的情形。綜上所述，電偶極子在非均勻場(chǎng)中，不僅受一力矩而轉(zhuǎn)動(dòng)，且受一個(gè)力而平動(dòng)；其轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)依然為使其偶極矩順向外場(chǎng)，即

p//E，而其平動(dòng)趨勢(shì)沿其電勢(shì)能降落的方向，即趨向電場(chǎng)線較為密集的區(qū)域?！居懻摗?jī)蓚€(gè)電偶極子間的電力

有兩個(gè)電偶極子，其偶極矩分別為

p1與

p2，彼此相距

R甚遠(yuǎn)。對(duì)于圖(a)，p1//p2，且共軸；對(duì)于圖

(b)，p1//p2，且與軸正交。試針對(duì)這兩種情況，分別求出

p1產(chǎn)生的電場(chǎng)施于

p2的電力

F12.1.8靜電場(chǎng)的散度&旋度■靜電場(chǎng)的積分方程■靜電場(chǎng)的散度■靜電場(chǎng)的旋度■小結(jié)■討論1——論證場(chǎng)強(qiáng)一致的無(wú)源區(qū)域是一個(gè)均勻場(chǎng)區(qū)■討論2——試以點(diǎn)電荷產(chǎn)生的基元場(chǎng)E0，U0

為對(duì)象，原始地考量其▽·E0，▽×E

和▽U0靜電場(chǎng)的積分方程

靜電場(chǎng)遵從的兩條基本規(guī)律，即其通量定理和環(huán)路定理，均以積分形式表達(dá):

靜電場(chǎng)中不存在閉合的

E場(chǎng)線。

E場(chǎng)線總是有起點(diǎn)與終點(diǎn)的，總是有頭有尾的。而靜電場(chǎng)通量定理表明，E場(chǎng)線起始于正電荷區(qū)，終止于負(fù)電荷區(qū)。上述兩條積分方程適用于任意形狀的閉合曲面

(Σ)和閉合環(huán)路

(L)。若將(Σ)或(L)無(wú)限收縮而逼近一場(chǎng)點(diǎn)，則由此可以導(dǎo)出靜電場(chǎng)的微分方程，即散度方程和旋度方程，它們充分地顯示了靜電場(chǎng)E(r)在空間逐點(diǎn)變化所遵從的關(guān)系。靜電場(chǎng)的散度借助數(shù)學(xué)場(chǎng)論中的高斯定理：對(duì)于任意矢量場(chǎng)

A(r)或

A(x,y,z)，有這里，劈形算符的定義已在前面引入，即:

常直稱(chēng)為矢量場(chǎng)的散度（divergency）。換言之，高斯定理表明，一個(gè)矢量場(chǎng)的閉合面通量等于其散度的體積分，其積分區(qū)域(V)

為閉合面

(Σ)所包圍的容積。

將場(chǎng)論高斯定理應(yīng)用于靜電場(chǎng)，有:

以此聯(lián)立物理上的靜電場(chǎng)通量定理，遂得

稱(chēng)其為靜電場(chǎng)的散度方程，它是靜電場(chǎng)通量定理的微分方程。它表明了靜電場(chǎng)強(qiáng)的三個(gè)正交分量Ex(x,y,z)、Ey(x,y,z)

和Ez(x,y,z)，分別沿三個(gè)基矢方向的空間變化率之間有一個(gè)確定的互相制約關(guān)系，即

凡某處體電荷密度

ρ=0，則該處散度

▽·E=0，雖然此處場(chǎng)強(qiáng)并非為零。對(duì)于那些由局域電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，其在廣大的無(wú)源空間中，散度皆為零。這里最典型的實(shí)例就是由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的基元場(chǎng)，它僅在源電荷所在點(diǎn)有散度，除此點(diǎn)以外的全空間，其散度皆為零。反過(guò)來(lái)考量，凡散度不為零的區(qū)域，必存在源電荷；這些源電荷的存在，影響到廣大無(wú)源空間的電場(chǎng)分布。從這個(gè)意義上，人們常稱(chēng)靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)，或一個(gè)有散場(chǎng)。在靜電場(chǎng)的全空間里，必將存在一個(gè)散度不為零的源電荷。

在數(shù)學(xué)場(chǎng)論中采取了另一種方式引入一矢量場(chǎng)的散度div

A，它被定義為單位體積的通量值，即通量的體密度，圍繞場(chǎng)點(diǎn)做一個(gè)小小長(zhǎng)方體，其邊長(zhǎng)為

(Δx,Δy,Δz)，其通量值：法線指向

±x軸的一對(duì)平面的通量法線指向

±y軸的一對(duì)平面的通量法線指向

±z軸的一對(duì)平面的通量證明場(chǎng)論中的高斯定理

一宏觀閉合曲面

(Σ)，其所包圍的容積

(V)被切割為無(wú)數(shù)個(gè)體積元

(ΔV)。這體積元也有一個(gè)閉合表面

(ΔΣ)，按散度的定義，其通量表示為:內(nèi)部所有體積元的面通量，因“緊鄰效應(yīng)”而彼此抵消，最終的通量就是緊挨宏觀表面的那些體積元所貢獻(xiàn)的，即靜電場(chǎng)的旋度借助數(shù)學(xué)場(chǎng)論中的斯托克斯定理：對(duì)于任意矢量場(chǎng)A(x,y,z)，有這里

(Σ)是以閉合環(huán)路(L)

為邊界的任意曲面，人們常直稱(chēng)▽×A為矢量場(chǎng)的旋度（rotation）。旋度是個(gè)矢量場(chǎng)，其含義為：茲將其應(yīng)用于靜電場(chǎng)，有：以此聯(lián)立物理上的靜電場(chǎng)環(huán)路定理，遂得：稱(chēng)其為靜電場(chǎng)的旋度方程，它是靜電場(chǎng)環(huán)路定理的微分形式。靜電場(chǎng)的旋度恒為零，故常稱(chēng)靜電場(chǎng)為非旋場(chǎng)。這也意味著其旋度的三個(gè)分量恒為零，即該式鮮明地顯示了靜電場(chǎng)強(qiáng)

E的其他六個(gè)空間變化率之間的相互制約關(guān)系。

在數(shù)學(xué)場(chǎng)論中采取另一種方式，引入一矢量場(chǎng)的旋度rot

A，它系一個(gè)矢量，其三個(gè)正交分量被定義為，

定義式給出了旋度的幾何意義，即，一矢量場(chǎng)的旋度反映了該場(chǎng)點(diǎn)鄰近環(huán)量的面密度——單位面積的環(huán)路積分值（環(huán)量）。經(jīng)微分?jǐn)?shù)學(xué)推演得到以下結(jié)果，以此類(lèi)推，得：故即本章致力于研究靜電場(chǎng)所遵從的基本規(guī)律，茲將其結(jié)果歸集于下積分形式微分形式定性有源場(chǎng)非旋場(chǎng)這四個(gè)方程均以場(chǎng)強(qiáng)

E為對(duì)象，然而靜電場(chǎng)是一個(gè)非旋場(chǎng)亦即保守場(chǎng)，可用標(biāo)量勢(shì)即電勢(shì)場(chǎng)U

作等價(jià)描述之，于是，可以將表中的兩個(gè)微分方程結(jié)合為一個(gè)以U

為對(duì)象的微分方程，得其中算符上面的方程稱(chēng)為泊松方程，它是一個(gè)二階偏微商方程。

若在無(wú)源空間，處處體電荷密度為零，于是有

它就是著名的拉普拉斯方程。通常源電荷區(qū)是局域的，在廣大無(wú)源空間中，電勢(shì)場(chǎng)遵從拉普拉斯方程。

雖然，不同的源電荷分布，就有相應(yīng)不同的電勢(shì)場(chǎng)，而其方程都是一樣的。這表明，無(wú)源空間的邊界狀態(tài)是至關(guān)重要的，拉普拉斯方程結(jié)合邊界條件，才能最終定解電勢(shì)場(chǎng)，這就是所謂“無(wú)源空間邊值定解”。

興起于十九世紀(jì)后半葉的英國(guó)劍橋?qū)W派，致力于研究各類(lèi)邊條件下，求解拉普拉斯方程的各種數(shù)學(xué)方法，從而創(chuàng)立了一個(gè)數(shù)學(xué)物理方法的研究方向，以及相應(yīng)的一門(mén)數(shù)學(xué)物理方法課程。【討論1】論證場(chǎng)強(qiáng)方向一致的無(wú)源區(qū)域是一個(gè)均勻場(chǎng)區(qū)