數(shù)值分析課件2023xin王兵團-數(shù)值分析整理

數(shù)值分析1.數(shù)值分析的病態(tài)性是指因初始數(shù)據(jù)的微小變化，導致計算結(jié)果的劇烈變化。病態(tài)問題：因初始數(shù)據(jù)微小變化，導致計算結(jié)果劇烈變化的問題良態(tài)問題：初始數(shù)據(jù)微小變化，只引起計算結(jié)果微小變化的計算問題。數(shù)值不穩(wěn)定算法：指算法進行計算的初始數(shù)據(jù)有誤差，而計算過程中產(chǎn)生的舍入誤差不斷增長。例子2.誤差的來源：①模型誤差：在數(shù)學建模時，由于忽略了某些次要因素而產(chǎn)生的誤差；②觀測誤差：在采集原始數(shù)據(jù)時，由儀器的精度或其他客觀因素產(chǎn)生的誤差；③截斷誤差：對產(chǎn)與計算的數(shù)學公式做簡化處理后所產(chǎn)生的誤差；④舍入誤差：計算機因數(shù)系不全，由接受和運算數(shù)據(jù)的舍入引起的誤差?？茖W計算中值得注意的地方：①避免兩個相近的數(shù)相減；②合理安排量級相差很大的數(shù)之間的運算次序，防止大數(shù)吃小數(shù)；③避免絕對值很小的數(shù)做分母；④簡化運算步驟，減少運算次數(shù)。3.用計算機做科學計算時的溢出錯誤。機器數(shù)系是有限的離散集，機器數(shù)系中有絕對值最大和最小的非零數(shù)M和m，若一個非零實數(shù)的絕對值大于M，則計算機產(chǎn)生上溢錯誤，若其絕對值小于m，則計算機產(chǎn)生下溢錯誤。上溢錯誤時，計算機中斷程序處理；下溢錯誤時，計算機將此數(shù)用零表示并繼續(xù)執(zhí)行程序。4.解非線性方程單根的牛頓法具有二階收斂。簡單迭代法具有一階收斂性。當且有2階導數(shù)時，Newton迭代法才有二階斂速。5.對(n+1)個節(jié)點的Newton-cotes求積公式，在時，Cotes系數(shù)大于0，而在時，考慮到公式的穩(wěn)定性不實用該公式。6.當系數(shù)矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，Jacobi格式、Seidel格式都收斂。7.用高斯消元法求解線性方程組，一般使用選主元的技術(shù)是因為要減少舍入誤差。8.解非線性方程組迭代法的整體收斂和局部收斂的主要區(qū)別是局部收斂在較小鄰域內(nèi)取初值，有初值限制。9.二分法是全部收斂，簡單迭代法是局部收斂。10.四種插值方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段多項式插值。11.截斷誤差是對參與計算的數(shù)學公式作簡化處理后所產(chǎn)生的誤差，在所學的數(shù)值方法中插值和數(shù)值積分都涉及截斷誤差處理的內(nèi)容，分別為插值余項和積分余項。例：無窮項相加，我們用近似計算就產(chǎn)生截斷誤差。12.線性方程組迭代解法的基本思想是將現(xiàn)行方程組作等價變形，得到同解的易于作迭代計算的線性方程組，用計算出的迭代序列來逼近解?？紤]線性方程組及由次方程組構(gòu)造的迭代格式，判斷此迭代格式的收斂方法有：(1)若，則迭代格式收斂；(2)若，則迭代格式收斂，是矩陣B的某種算子范數(shù)；(3)若矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，則線性方程組的Jacobi迭代和Seidel迭代對任意初值都收斂；(4)若矩陣A是對稱正定矩陣，則線性方程組的Seidel迭代對任意初值都收斂；(5)Sor法收斂的必要條件是松弛因子滿足。13.Newton迭代公式的收斂條件：(1)(2)，(3)存在且不變號，則，只要，則迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列一定收斂于上的為一根。14.引入分段插值的原因及目的。Runge現(xiàn)象：隨著節(jié)點n的增加，誤差不但沒減小，反而不斷增大。原因是當節(jié)點n較大時，對應(yīng)的是高次插值多項式，而高次多項式的舍入誤差是隨次數(shù)的增加而不斷變大的，用高次多項式插值作數(shù)值計算時舍入誤差將“淹沒”了增加節(jié)點提高的精度。Runge現(xiàn)象否認了用高次插值公式提高逼近精度的做法，因此引入了分段插值法。定義如下：取上的n+1個節(jié)點：，并給出這些節(jié)點上的函數(shù)值，。若函數(shù)滿足條件：(1)在上連續(xù)；(2)，；(3)在每個小區(qū)間是m次多項式，，則稱為在上的分段m次插值多項式。15.Newton法的基本思想：將函數(shù)做線性化處理，把方程轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的近似方程，再從中構(gòu)造迭代公式。Newton法在附近是平方收斂的。16.Seidel格式比Jacobi格式占用的內(nèi)存空間大。17.①列范數(shù)：；②行范數(shù)：；③F范數(shù)：；④2范數(shù)：，是最大特征值；⑤譜半徑：；⑥條件數(shù)：。特征值：求得的m即為A的特征值。矩陣的條件數(shù)可反映系數(shù)的敏感性，其值越大，解對系數(shù)越敏感，因而方程組越病態(tài)。18.2點Newton-Cotes公式【梯形公式】：3點Newton-Cotes公式【Simpson公式】：復化梯形公式：，余項：，復化Simpson公式：，余項：，19.插值與擬合的區(qū)別。插值與擬合都是有一組數(shù)據(jù)點構(gòu)造一個近似函數(shù)，但他們的近似要求不同。二者都屬于函數(shù)逼近范疇。①插值函數(shù)在幾何上的描述為過所有給定數(shù)據(jù)點集散點圖的任何一條曲線。插值是對在區(qū)間上的n+1個互異的點及各個點對應(yīng)的函數(shù)，找出的一個近似函數(shù)，使得，即為插值函數(shù)。②擬合函數(shù)在幾何上的描述為穿越所有給定數(shù)據(jù)點集散點圖的任何一條曲線。擬合是對在區(qū)間上的n+1個點(不一定互異)，根據(jù)各個點對應(yīng)的函數(shù)畫出的點圖來選擇用什么類型的函數(shù)做逼近函數(shù)，逼近函數(shù)通過，，的擬合條件獲得，則這樣求出的稱為擬合函數(shù)。20.Lagrange插值步驟：①利用互異插值節(jié)點，算出插值基函數(shù)，；②利用插值基函數(shù)構(gòu)造插值多項式。優(yōu)點：利用插值基函數(shù)很容易得到Lagrange插值多項式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中很方便。缺點：當插值節(jié)點增減時，全部要隨之變化，在實際計算中很不方便。n次Lagrange插值多項式至少需要n+1個插值節(jié)點數(shù)據(jù)。與其相比，Newton插值具有承襲性和易于變動節(jié)點的特點。21.L-插值和N-插值的異同。L-插值：余項：，其中：，N-插值：余項：同：①，余項；②表達式均為基函數(shù)的線性組合。異：①L-基與N-基不同；②計算L-插值主要計算基函數(shù)，計算N-插值主要計算組合系數(shù)或各階商差；③高次N-插值包含低次N-插值，而L-插值不然。22.數(shù)值分析中，線性方程組的數(shù)值解法主要分為直接法和迭代法兩大類。①直接法使用有限次計算就能求出線性方程組“準確解”的方法，這里的“準確解”是指在求解過程中不考慮舍入誤差影響得出的解。②迭代法是由線性方程組構(gòu)造出迭代計算公式，然后以一個猜測的向量作為迭代計算的初始向量，逐步迭代計算，來獲得滿足精度要求的近似解，是一種逐次逼近的方法。23.三對角線性方程組用追趕法計算求解效果最好，對稱線性方程組用法。24.若n點的求積公式具有2n-1次的代數(shù)精度，則稱該求積公式為Gauss型求積公式。n點插值型求積公式的代數(shù)精度至少是n-1，至多為2n-1?！咀⒁猓喝粝聵藦?開始，則代數(shù)精度為2n-1，若下標從0開始，則代數(shù)精度應(yīng)為2n+1】25.判斷迭代的收斂階：寫出迭代方程計算各階導數(shù),判斷各階導數(shù)在根處是否為0,若,則最高為n階收斂。判斷求積公式的代數(shù)精度：取，，代入，驗證是否成立，，第一個使的k值，則對應(yīng)的代數(shù)精度為k-1。26.求微分方程初值問題的Euler方法的絕對穩(wěn)定域是，絕對穩(wěn)定區(qū)間是。第一章緒論1.絕對誤差：絕對誤差限：相對誤差：相對誤差限：2.絕對誤差計算公式：3.相對誤差計算公式：4.絕對誤差：相對誤差：5.有效數(shù)字：，則稱有n位有效數(shù)字。6.相對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系：①若有n個有效數(shù)字，則的相對誤差為：；②若的相對誤差為：，則有n個有效數(shù)字。第二章非線性方程的球根方法1.二分法：精度，，，即迭代次數(shù)：2.簡單迭代法：將轉(zhuǎn)化為不動點方程，構(gòu)造迭代公式，取定一個初值，由迭代公式求的：，，??★收斂判別：①當時，有；②任取存在與無關(guān)的正常數(shù)，滿足，則在中有唯一的不動點，且迭代公式對任取的，產(chǎn)生的數(shù)列都收斂于。★②可替換為：，，定理同樣成立是的不動點，在處連續(xù)，時，局部收斂；時,發(fā)散。★誤差估計式：，精度，，，可得迭代次數(shù)：★步驟：①說明方程在所取區(qū)間內(nèi)有唯一解：，在上不變號；②證明采取的迭代公式具有收斂性：，，；③迭代求解，用判斷。3.判斷迭代的收斂階：寫出迭代方程計算各階導數(shù),判斷各階導數(shù)在根處是否為0,若,則最高為n階收斂?！锊襟E：①確定迭代格式：；②據(jù)已知條件建立方程組：，，??；③求出未知系數(shù)，建立迭代公式，計算，則迭代收斂階最高為m。4.Newton迭代法：當時，且有二階導數(shù)，則至少是平方收斂，否則為線性收斂?！锸諗颗袆e：，滿足下列三個條件：①當；②，；③存在且在上不變號；則在內(nèi)任取一點，只要，則迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列，一定收斂于上的唯一根第三章線性方程組的解法1.數(shù)值分析中，線性方程組的數(shù)值解法主要分為直接法和迭代法兩大類。①直接法使用有限次計算就能求出線性方程組“準確解”的方法，這里的“準確解”是指在求解過程中不考慮舍入誤差影響得出的解。②迭代法是由線性方程組構(gòu)造出迭代計算公式，然后以一個猜測的向量作為迭代計算的初始向量，逐步迭代計算，來獲得滿足精度要求的近似解，是一種逐次逼近的方法。2.迭代法：Jacobi迭代法：Seidel迭代法：Sor迭代法：以Seidel迭代法為基礎(chǔ)，可以改變收斂速度。其中：3.判斷收斂性：當不能用范數(shù)或者矩陣本身性質(zhì)判定時：①對Jacobi，對其求特征值，，，若，則Jacobi迭代收斂。②對Seidel，求特征值，，即，，若，則迭代收斂。4.范數(shù)：①列范數(shù)：；②行范數(shù)：；③F范數(shù)：；④2范數(shù)：，是最大特征值。特征值：求得的m即為A的特征值。5.Gauss消元法：消元過程——回代過程，計算量為：；適用條件：的系數(shù)矩陣A的順序主子式都不為0。列主消元法和全主消元法(首選)6.LU分解法：，將系數(shù)矩陣分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U的乘積。，，①Doolittle分解：非奇異矩陣A的Doolittle分解是唯一的②Grout分解：③LDU分解：7.法：專用于對稱線性方程組，計算量為。，，，由矩陣A的LDU分解的唯一性可得，，，，8.追趕法：求解三對角方程組的專用方法，計算量僅為5n-4。三對角方程組的系數(shù)矩陣A：，，，9.條件數(shù)：設(shè)為非奇異矩陣，稱為矩陣A的條件數(shù)。矩陣的條件數(shù)可反映系數(shù)的敏感性，其值越大，解對系數(shù)越敏感，因而方程組越病態(tài)。第五章插值與擬合方法1.插值與擬合的區(qū)別。插值與擬合都是有一組數(shù)據(jù)點構(gòu)造一個近似函數(shù)，但他們的近似要求不同。二者都屬于函數(shù)逼近范疇。①插值函數(shù)在幾何上的描述為過所有給定數(shù)據(jù)點集散點圖的任何一條曲線。插值是對在區(qū)間上的n+1個互異的點及各個點對應(yīng)的函數(shù)，找出的一個近似函數(shù)，使得，即為插值函數(shù)。②擬合函數(shù)在幾何上的描述為穿越所有給定數(shù)據(jù)點集散點圖的任何一條曲線。擬合是對在區(qū)間上的n+1個點(不一定互異)，根據(jù)各個點對應(yīng)的函數(shù)畫出的點圖來選擇用什么類型的函數(shù)做逼近函數(shù)，逼近函數(shù)通過，，的擬合條件獲得，則這樣求出的稱為擬合函數(shù)。2.Lagrange插值。余項：，其中：，3.商差表：一階商差二階商差??n階商差??????????????????????4.Newton插值。余項：5.Newton前插公式：Newton后插公式：當值靠近時，用Newton前插公式，而當靠近時，用Newton后插公式。5.Hermite插值：有(2n+2)個條件，所以有(2n+1)次多項式。2n+1次Hermite插值多項式是唯一的。2n+1次Hermite插值多項式的余項為：6.分段多項式插值：Runge現(xiàn)象：隨著節(jié)點n的增加，誤差不但沒減小，反而不斷增大。原因是當節(jié)點n較大時，對應(yīng)的是高次插值多項式，而高次多項式的舍入誤差是隨次數(shù)的增加而不斷變大的，用高次多項式插值作數(shù)值計算時舍入誤差將“淹沒”了增加節(jié)點提高的精度。Runge現(xiàn)象否認了用高次插值公式提高逼近精度的做法，因此引入了分段插值法。定義如下：取上的n+1個節(jié)點：，并給出這些節(jié)點上的函數(shù)值，。若函數(shù)滿足條件：(1)在上連續(xù)；(2)，；(3)在每個小區(qū)間是m次多項式，，則稱為在上的分段m次插值多項式。7.曲線擬合法——最小二乘曲線擬合方法：★步驟：①根據(jù)題意取基函數(shù)：，；②建立m次曲線擬合函數(shù)：，；③求建立法方程組：若題中有c組數(shù)據(jù)，則n=c-1，法方程組如下：8.最佳平方逼近：曲線擬合是用已知離散數(shù)據(jù)點來求擬合函數(shù)，若用已知連續(xù)函數(shù)取代離散數(shù)據(jù)去求擬合函數(shù)，則為函數(shù)逼近的內(nèi)容，即最佳平方逼近。只要將曲線擬合中設(shè)計節(jié)點累加的符號換成定積分符號第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分方法1.若存在實數(shù)；，且任取，都有，則稱為一個數(shù)值求積公式。稱為求積系數(shù)，稱為求積節(jié)點。2.評價一個求積公式的優(yōu)劣可以用求積余項來說明，通常用與求積余項有關(guān)的代數(shù)精度來評價求積公式。判斷求積公式的代數(shù)精度：取，，代入，驗證是否成立，，第一個使的k值，則對應(yīng)的代數(shù)精度為k-1。3.插值型求積公式：當為次數(shù)小于n的多項式時，，，插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n-1求積系數(shù)：求積公式：求積余項：4.Newton-Cotes求積公式：當求積節(jié)點個數(shù)為奇數(shù)時,Newton-Cotes求積公式代數(shù)精度至少為n；為偶數(shù)時，代數(shù)精度至少為n-1為使求積系數(shù)計算簡單，將求積節(jié)點取為上的等距節(jié)點，，，n點的Newton-Cotes求積公式：2點Newton-Cotes公式【梯形公式】：，余項:，3點Newton-Cotes公式【Simpson公式】：，余項:對n個節(jié)點的Newton-cotes求積公式，在時，Cotes系數(shù)大于0，而在時，考慮到公式的穩(wěn)定性不實用該公式。5.Gauss型求積公式：Gauss型求積公式是穩(wěn)定的。若n點的求積公式具有2n-1次的代數(shù)精度，則稱該求積公式為Gauss型求積公式?！咀⒁猓喝粝聵藦?開始】Gauss型求積公式的求積余項：6.復化求積公式：，，，將積分區(qū)間n等分，有n+1個節(jié)點。復化梯形公式(代數(shù)精度為1)：，余項：若，對于給定精度，令，得出復化Simpson公式(代數(shù)精度為3)：，余