第 04 章 動量和角動量(v2)

大學物理學

第四章動量和角動量上海交通大學物理與天文系沖量：力的時間積累動量質點動量定理質點系動量守恒定律，則力距角動量質點角動量定理質點系角動量守恒定律，則質心質心運動定理相對論質速關系相對論動力學基本方程相對論動能靜止能量總能量質能關系動量和能量關系大學物理學：動量和角動量2

牛頓定律是瞬時的規(guī)律。但在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、散射（微觀）…我們往往只關心過程中力的效果，即只關心始末態(tài)間的關系，對過程的細節(jié)不感興趣；而有些問題我們甚至尚弄不清楚過程的細節(jié)。大學物理學：動量和角動量3作為一個過程，我們關心的是力對時間和空間的積累效應。力在空間上的積累作功，改變動能力在時間上的積累大學物理學：動量和角動量4§4.1動量定理與動量守恒定律質點的動量一個質量為m的質點以速度v運動，我們定義它的動量為從牛頓第二定律可知：要獲得較大的動量，在相同的時間內就需施加較大的力；或者在相同力的作用下，作用較長時間。大學物理學：動量定理與動量守恒定律5動量與動能不同：為力在時間上的積累效應，定義為沖量(impulse)在有限時間內，initialfinal一、質點的動量定理——動量定理大學物理學：動量定理與動量守恒定律6討論1。沖量是矢量；動量定理的分量形式也成立。大學物理學：動量定理與動量守恒定律7討論2。沖量的大小和方向與整個過程中力的性質有關。在沖擊等過程中，力的作用時間很短暫，而力隨時間的變化卻很復雜，無法通過力的積分計算沖量,但可由求得力的沖量。并估算力的平均沖力：

大學物理學：動量定理與動量守恒定律84.動量與參照系有關，但動量差值與參照系無關。因此，動量定理適用于所有慣性系。3.動量定理適用于任何形式的質點運動，但在討論如沖擊、碰撞等過程時更方便。討論大學物理學：動量定理與動量守恒定律9解：(1)30047t/sF/N[例4-1]m=10kg木箱，在水平拉力作用下由靜止開始運動，拉力隨時間變化如圖。已知木箱與地面摩擦系數(shù)為=0.2，求：(1)t=4秒時刻木箱速度；(2)t=7秒時刻木箱速度；(3)t=6秒時刻木箱速度。m大學物理學：動量定理與動量守恒定律1030047t/sF/N大學物理學：動量定理與動量守恒定律11[例4-2]質量為m的行李，垂直地輕放在傳送帶上，傳送帶的速率為v

，它與行李間的摩擦系數(shù)為μ，試計算：(1)行李將在傳送帶上滑動多長時間?(2)行李在這段時間內運動多遠?(3)有多少能量被摩擦所耗費?(1)以地面為參照系解:mxOv大學物理學：動量定理與動量守恒定律12(2)行李在這段時間內運動多遠?(地面參照系？)(或：)mxOv大學物理學：動量定理與動量守恒定律13由質點動能定理mxOv(3)被摩擦損耗的能量等于一對摩擦力做的功以傳送帶為參考系：大學物理學：動量定理與動量守恒定律14有多少能量被摩擦所耗費?設有N個粒子，第i個物體，受到的外力為Fi

，內力（即粒子之間的相互作用）為fij

二、質點系的動量定理大學物理學：動量定理與動量守恒定律15·······ijFiPifijPj

fji對所有粒子求和則第

i粒子的運動方程共有N個方程········ijFiPifijfjiPj大學物理學：動量定理與動量守恒定律16依牛頓第三定律，因內力總是成對出現(xiàn)（fij

和

fji

）為質點系的總動量。為質點系所受到的合外力。大學物理學：動量定理與動量守恒定律17質點系的動量定理：或：與單個質點的動量定理形式上相同。大學物理學：動量定理與動量守恒定律18若（1）質點系所有質點不受外力；三、動量守恒定律(momentumconservationlaw)質點系總動量不隨時間改變或（2）質點系所受合外力為零，——質點系動量守恒定律大學物理學：動量定理與動量守恒定律19大學物理學：動量定理與動量守恒定律201.合外力沿某一方向為零；可得到該方向上的動量守恒。（盡管總動量不守恒）注意2.在某些情況下，如碰撞、打擊、爆炸等過程，外力與內力相比小很多。

在極短的時間內，外力的時間積累（沖量）相比之下可以忽略不計。我們可以有近似的動量守恒。大學物理學：動量定理與動量守恒定律213.動量定理只適用于慣性系4.在牛頓力學的理論體系中，動量守恒定律是牛頓定律的推論。但動量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏觀和微觀領域、低速和高速范圍均適用。大學物理學：動量定理與動量守恒定律22[例4-3]光滑水平路面上，有一質量為m1=5kg的無動力小車以勻速率v0=2m/s向前行駛，小車由輕繩與另一質量為m2=25kg的車廂連結，車廂右端有一質量為m3=20kg的物體（可視為質點），物體與車廂的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，開始物體靜止在車廂上，繩子是松馳的．求：（1）當小車、車廂、物體以共同速度運動時，物體相對車廂的位移（設物體不會從車廂上滑下）；

（2）從繩拉緊到小車、車廂、物體具有共同速度所需時間．解：（1）（2）大學物理學：動量定理與動量守恒定律23[例4-4]

已知高H，傾角為的斜面光滑。小車質量

M，從頂端滑至中點時剛好有一鋼球

m

從

h高度掉入。求小車到達底部時的速度V

?HhmM大學物理學：動量定理與動量守恒定律24H/2解：m、M

系統(tǒng)，沖擊過程(M+m)gN重力在沖擊過程中可以忽略，斜面方向動量守恒!HhmM大學物理學：動量定理與動量守恒定律25求小車到達底部時的速度V

?H/2沖擊過程后，m、M、地球系統(tǒng)機械能守恒：解得：大學物理學：動量定理與動量守恒定律26HhmM求小車到達底部時的速度V

?[例4-5]

炮車、炮彈與反沖速度(recoilvelocity)大學物理學：動量定理與動量守恒定律27θ[例4-5]

炮車的質量為M，炮彈的質量為m。若炮車與地面有摩擦，摩擦系數(shù)為μ

,炮彈相對炮身的速度為u，求炮身相對地面的反沖速度

v

。解：選取炮車和炮彈組成系統(tǒng)內、外力分析。水平的動量守恒嗎？xy大學物理學：動量定理與動量守恒定律28θ運用質點系的動量定理：x方向：y方向：xy大學物理學：動量定理與動量守恒定律29θ大學物理學：動量定理與動量守恒定律30討論：1.若炮車與地面沒有摩擦2.若炮車與地面有摩擦，但水平發(fā)射炮彈3.自鎖現(xiàn)象，即v=0時大學物理學：動量定理與動量守恒定律31§4.2質心質心運動定理大學物理學：質心質心運動定理32一、質心質點系質量分布的平均位置，稱為質點系的質量中心簡稱“質心”n個質點，質量：

m1，m2，，mn質心位置：位置矢量：

Czyx0大學物理學：質心質心運動定理33質心位置的分量式：連續(xù)體的質心位置：對于密度均勻，形狀對稱的物體，其質心都在它的幾何中心。說明：大學物理學：質心質心運動定理34二、質心運動定理質心位置公式：結論：系統(tǒng)中各質點的動量之矢量和等于質心的速度乘以質點系的總質量。由質點系動量定理的微分式：大學物理學：質心質心運動定理35質心運動定理：質心的運動等同于一個質點的運動，這個質點具有質點系的總質量M，它受到的外力為質點系所受所有外力的矢量和。大學物理學：質心質心運動定理36質心的兩個重要性質：系統(tǒng)在外力作用下，質心的加速度等于外力的矢量和除以系統(tǒng)的總質量。（2）系統(tǒng)所受合外力為零時，質心的速度為一恒矢量。（1）大學物理學：質心質心運動定理37Mearth=5.972×1024

kgMmoon=1/81Mearth[例4-6]有質量為m+M的彈丸，從地面以與水平線成a角斜拋出去，它在飛行到最高點處爆炸成沿水平方向運動、質量分別為m和M的兩碎片。已知質量為m的碎片相對質量為M的碎片的速度為u，問質量為M的碎片落在何處。解：oxxMmMa大學物理學：質心質心運動定理38[例4-7]長為

L，質量均勻分布的柔性鏈子開始靜止于一光滑表面ABC

上，其D

端至B

點的距離為

L-a，求當

D

端滑到B點時鏈子的速度。大學物理學：質心質心運動定理38§4.3碰撞問題

一、碰撞過程碰撞是自然界中十分普遍的現(xiàn)象，泛指一類“物體”間的“相互作用”。大學物理學：碰撞問題40E.Rutherford有可能結合在一起；或產生新的成份（如粒子間的碰撞）特點：“碰撞”前，無相互作用；

接近時發(fā)生相互作用；“碰撞”后，相互作用消失。大學物理學：碰撞問題41由于碰撞過程中（1）相互作用強，（2）力的形式復雜，（3）無法直接測量和記錄碰撞過程。難以直接研究“碰撞”。但是：“碰撞”前后，“物體”的性質是容易測量的。通常根據(jù)“碰撞”前后“物體”性質的變化來研究“物體”間的相互作用性質。如：高能粒子對撞機可用來（1）產生新粒子，（2）研究粒子間的基本相互作用。大學物理學：碰撞問題421、彈性碰撞

二、碰撞分類按照“碰撞”前后“物體”的性質分類“碰撞”后的“物體”與“碰撞”前相同，且“物體”內部狀態(tài)無變化。如：宏觀物體無形變，無發(fā)熱等；微觀粒子（有內部結構）的狀態(tài)同碰撞前。特點：“碰撞”前后“物體”總能量保持不變。（宏觀物體指動能，微觀粒子指廣義能量）大學物理學：碰撞問題432、非彈性碰撞“碰撞”后的“物體”與“碰撞”前不相同;如：宏觀物體有形變，有發(fā)熱等；微觀粒子（有內部結構）的狀態(tài)不同于碰撞前，或產生新的粒子或“物體”內部狀態(tài)有變化。非彈性碰撞的特點：“碰撞”前后“物體”總機械能不守恒。（對微觀粒子指部分或全部機械能轉化為內部能量）注意：力學部分的碰撞限于宏觀物體的碰撞。大學物理學：碰撞問題44牛頓發(fā)現(xiàn)：碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，其比值與兩球的材料構成性質有關，即e稱為恢復系數(shù)(coefficientofrestitution)，其取值范圍為大學物理學：碰撞問題45大學物理學：碰撞問題46由動量守恒和總動能守恒：

三、碰撞理論討論限于兩個質點的彈性碰撞和完全非彈性碰撞1、彈性碰撞:e=1這是彈性碰撞所應遵循的兩個一般關系。大學物理學：碰撞問題47對一維碰撞：并設大學物理學：碰撞問題48仍向前運動；向后運動；速度互換。大學物理學：碰撞問題492、完全非彈性碰撞e=0以沖擊擺為例：MlM+m碰撞前后，水平方向動量守恒：通常用來測量高速運動物體的速度。細繩張力始終垂直于其位移方向，不作功；只有重力作功機械能守恒:入射物體的速度：只需測量復擺所擺動的最大角度即可。大學物理學：碰撞問題50[例4-7]

光滑桌面上，質量為m1的小球以速度u

碰在質量為m2的靜止小球上，u

與兩球的連心線成θ

角(稱為斜碰)。設兩球表面光滑，它們相互撞擊力的方向沿著兩球的連心線，已知恢復系數(shù)為e，求碰撞后兩球的速度。x、y方向動量分別守恒：解：oyx設碰后兩球速度分別為v1、v2

恢復系數(shù)：大學物理學：碰撞問題51oyx討論：兩個質量相等的小球發(fā)生彈性斜碰：

m1=m2,e=1時，聯(lián)立三個方程后求解，得：大學物理學：碰撞問題52解：(1)A球所受合外力的沖量[例4-8]光滑球盤上有兩只光滑彈性小球A和B，質量均為m，半徑為R，B球靜止在盤壁邊，A球以m/s的速度斜射至(-R，R)處與盤壁和B球同時碰撞,碰撞后，若A球的速度為，求:(1)A球所受合外力的沖量。(2)A，B組成的系統(tǒng)所受的合外力的沖量。(3)球與壁之間的恢復系數(shù)。(2)A，B系統(tǒng)所受合外力的沖量(3)球與壁之間的恢復系數(shù)xyAB大學物理學：碰撞問題53[例4-9]

如圖所示，一個質量為m的小球以入射角與一粗糙的表面發(fā)生斜碰。已知小球與表面的摩擦系數(shù)為，恢復系數(shù)為e，求碰撞后小球的速度大小與方向。考慮小球，碰撞過程，忽略重力由動量定理：x：y：解：恢復系數(shù)：v,θx0y大學物理學：碰撞問題54§4-5相對論動量和能量基本出發(fā)點：基本規(guī)律在洛倫茲變換下形式不變；低速時回到牛頓力學大學物理學：相對論動量和能量55

仍定義動量動量守恒在Lorentz變換下保持不變利用質量、動量守恒可以推出一、動量和質量大學物理學：相對論動量和能量56考察兩個全同小球的完全非彈性碰撞兩個小球的孤立系統(tǒng),動量守恒同時，慣性定律要求質心保持勻速直線運動孤立系統(tǒng)總質量守恒！推導過程如下：大學物理學：相對論動量和能量57SoS’AB（1）S系中B球靜止，質量為A球運動，質量為（與速度u有關，稱運動質量）（稱靜止質量）SoAB動量守恒碰撞后一起運動大學物理學：相對論動量和能量58（2）S系中A球靜止，質量為B球運動，質量為SoS’ABS’O’AB碰撞后一起運動動量守恒大學物理學：相對論動量和能量59因vx

和vx’為S及S中對碰撞后兩小球共同速度的描述大學物理學：相對論動量和能量60討論由于空間的各向同性,質量與速度方向無關相對論動量大學物理學：相對論動量和能量61③④不可能?、葜挥性跁r才可能！PhotonNeutrino(?)討論大學物理學：相對論動量和能量62大學物理學：相對論動量和能量63二、相對論動力學方程式中在同一慣性系——按照Lorentz

變換變化?！凑贞P系式變化。大學物理學：相對論動量和能量64由得兩式聯(lián)立求得：大學物理學：相對論動量和能量65討論

不僅取決于

還取決于

若與牛二定律形式相同慣性的量度但大學物理學：相對論動量和能量66③對于一維運動,所施力為一恒力,則:討論加速器的主要困難大學物理學：相對論動量和能量67三、相對論能量1、相對論動能經典力學中的動能定理應該是成立的設計質點從靜止開始（動能為零），通過外力作功，使動能增加大學物理學：相對論動量和能量68<<討論大學物理學：相對論動量和能量69——與運動有關的能量靜止時的能量（restenergy）除動能以外的能量2、相對論總能量總能量總能量與物體質量成正比大學物理學：相對論動量和能量70（1）當動能由物體質量由反之亦然！物體動能的變化必然伴隨著質量的變化；質量的變化必然也伴隨著動能的變化！討論大學物理學：相對論動量和能量71（2）Einstein對關系式

的意義大膽推廣！認為：它不僅適用于動能，而且還適用于總能量注意：能量和質量的變化為廣義的，包括任何形式的能量和質量變化質能關系式討論大學物理學：相對論動量和能量72（3）靜能總的內部能量（internalenergy）包括：1、物質內部分子熱運動能量2、物質分子和原子的內聚能(cohesionenergy)3、原子內部的電子激發(fā)能(excitedenergy)4、核內結合能(nuclearbondenergy)上述各種能量占總靜能的1％例外：

，99％的能量不為人所知，不能被利用！討論大學物理學：相對論動量和能量73四、相對論的動量能量關系式大學物理學：相對論動量和能量74五、光子對于光子，靜質量為零,設光子能量大學物理學：相對論動量和能量75[例4-10]兩全同粒子以相同的速率相向運動，碰后復合。求：復合粒子的速度和質量解：設復合粒子質量為M

速度為由能量（質量）守恒>損失的動能部分地轉換成靜能。碰撞過程，動量守恒大學物理學：相對論動量和能量76§4.6角動量與角動量定理大學物理學：角動量與角動量定理77一、力矩(Torque)力是物體運動狀態(tài)改變的原因；力可使物體產生平動或轉動。平動力轉動？力矩遵從牛頓2nd定律遵從什么規(guī)律？遵從角動量定理大學物理學：角動量與角動量定理78d力矩：設力在垂直于轉軸的平面內還與力的方向（作用線到轉軸的距離）有關。不僅與力的大小有關，考慮到力矩與轉動的方向，定義：o稱為力對轉軸的力矩大學物理學：角動量與角動量定理78forFM力對參考點O的力矩：為參考點到力的作用點的有向線段力矩方向由確定。力矩大小：這種定義適用于質點繞固定點的轉動。大學物理學：角動量與角動量定理80rFMzFrOM平面

z軸·二、角動量類似于力矩的定義，可定義質點對參考點的角動量：角動量大小L單位：kgm2/s或Js大學物理學：角動量與角動量定理81Ｏ質點勻速率圓周運動注意：同一質點相