第10章 壓桿穩(wěn)定

第10章壓桿穩(wěn)定

工程力學(xué)1§10.1基本概念第10章壓桿穩(wěn)定

2(a)(b)(a):木桿的橫截面為矩形（12cm),

高為3cm，當(dāng)荷載重量為6kN

時(shí)桿還不致破壞。(b):木桿的橫截面與(a)相同，高為1.4m(細(xì)長壓桿），當(dāng)壓力為0.1KN時(shí)桿被壓彎，導(dǎo)致破壞。

(a)和(b)竟相差60倍，為什么？問題的提出§10.1基本概念3粗短壓桿——強(qiáng)度破壞低碳鋼短柱：屈服破壞；鑄鐵短柱：斷裂破壞；

塑性材料

脆性材料§10.1基本概念4細(xì)長壓桿——失穩(wěn)破壞§10.1基本概念5在工程實(shí)際中，為了保證構(gòu)件或結(jié)構(gòu)物能夠安全可靠地工作，構(gòu)件除了滿足強(qiáng)度、剛度條件外，還必須滿足穩(wěn)定性的要求。穩(wěn)定性：指構(gòu)件或體系保持其原有平衡狀態(tài)的能力。失穩(wěn)：指構(gòu)件或體系喪失原始平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)?！?0.1基本概念6

穩(wěn)定性是指構(gòu)件在壓縮載荷的作用下，保持平衡形式不發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力。翻斗車液壓機(jī)構(gòu)中的頂桿§10.1基本概念7運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是指構(gòu)件在壓縮載荷的作用下，保持平衡形式不發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力。§10.1基本概念8

穩(wěn)定性是指構(gòu)件在壓縮載荷的作用下，保持平衡形式不發(fā)生突然轉(zhuǎn)變的能力?！?0.1基本概念9上世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國橋梁學(xué)家?guī)彀兀═heodoreCooper）在圣勞倫斯河上建造魁比克大橋(QuebecBridge)1907年8月29日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，85位工人死亡，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一.§10.1基本概念102000年10月25日上午10時(shí)南京電視臺(tái)演播中心由于腳手架失穩(wěn)造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人.§10.1基本概念11平衡的三種狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)平衡剛性圓球受干擾力，剛球離開原位置；干擾力撤消：穩(wěn)定平衡——凹面上，剛球回到原位置；隨遇平衡——平面上，剛球在新位置上平衡；不穩(wěn)定平衡——凸面上，剛球不回到原位置，而是偏離到遠(yuǎn)處去?！?0.1基本概念12F1FFF<FcrF<FcrF>FcrF>Fcr穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)干擾力§10.1基本概念13失穩(wěn)與屈曲（Buckling)

在擾動(dòng)作用下，直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鉅顟B(tài)，擾動(dòng)除去后，不能恢復(fù)到直線平衡狀態(tài)的現(xiàn)象，稱為失穩(wěn)或屈曲。臨界載荷的概念

壓桿的壓力逐漸上升,使壓桿的平衡由穩(wěn)定的平衡狀態(tài)向不穩(wěn)定的狀態(tài)的質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn),稱為臨界載荷,以Fcr表示?！?0.1基本概念14第10章壓桿穩(wěn)定

§10.2壓桿的臨界載荷歐拉公式15

假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動(dòng)下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：§10.2壓桿的臨界載荷歐拉公式16M(x)=FPw(x)

假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動(dòng)下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：§10.2壓桿的臨界載荷歐拉公式17微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0§10.2壓桿的臨界載荷歐拉公式18微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，上述方程中，常數(shù)A、B不全為零的條件是他們的系數(shù)行列式等于零：§10.2壓桿的臨界載荷歐拉公式19由此得到臨界載荷最小臨界載荷§10.2壓桿的臨界載荷歐拉公式20對于矩形截面zybh所以矩形截面壓桿首先在xz平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲，（即繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)）xyzhb1）分析：矩形截面壓桿首先在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)彎曲？FF§10.2壓桿的臨界載荷歐拉公式21屈曲位移函數(shù)w(x)=Asinxl位移曲線為一半波正弦曲線。A為壓桿中點(diǎn)撓度?！?0.2壓桿的臨界載荷歐拉公式22l二、其他約束條件下細(xì)長壓桿的臨界力1）一端固定，一端自由2l（2l）22EIFcr=232）一端固定，一端鉸支CyBC段,曲線上凸,CA段,曲線下凸,（0.7l）22EIFcr=0.7l二、其他約束條件下細(xì)長壓桿的臨界力243）兩端固定0.5lCD同理（0.5l）22EIFcr=二、其他約束條件下細(xì)長壓桿的臨界力25臨界載荷歐拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:

＝2.0一端鉸支，一端固定:

＝0.7

兩端固定:

＝0.5

兩端鉸支:

＝1.0§10.2壓桿的臨界載荷歐拉公式26表13?1各種支承條件下細(xì)長壓桿的臨界力Fcrl支承情況兩端鉸支一端固定一端鉸支兩端固定，但可沿縱向相對移動(dòng)一端固定一端自由兩端固定，但可沿橫向相對移動(dòng)失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀臨界力長度系數(shù)lFcrl0.5lFcrμ=1μ=0.7μ=0.5μ=2μ=12llFcrFcr0.7ll§10.2壓桿的臨界載荷歐拉公式27②柔度(細(xì)長比)：

一、歐拉臨界應(yīng)力公式及使用范圍

1.細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力：臨界力除以壓桿橫截面面積得到的壓應(yīng)力，用scr表示；①—橫截面對微彎中性軸的慣性半徑；

③歐拉臨界應(yīng)力公式：

§10.3經(jīng)驗(yàn)公式臨界應(yīng)力總圖282.歐拉公式應(yīng)用范圍：①線彈性狀態(tài)：scr≤sp，即

∴

②l≥lp—細(xì)長桿(大柔度桿)，歐拉公式的適用范圍；

③對于Q235鋼，E=200GPa，sp=200MPa：

④用柔度表示的臨界壓力：§10.3經(jīng)驗(yàn)公式臨界應(yīng)力總圖29二、非細(xì)長壓桿臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式1.ss>scr>sp時(shí)采用經(jīng)驗(yàn)公式：

1)∵scr<ss，∴，2)lp≥l≥lS—中長桿(中柔度桿)；

3)對于A3鋼：

2.scr=sS時(shí):強(qiáng)度破壞，采用強(qiáng)度公式。l≤

lS—粗短桿(小柔度桿)；

直線公式得到：30二、非細(xì)長壓桿臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式31ss粗短桿細(xì)長桿中長桿ClpsplscrO采用直線經(jīng)驗(yàn)公式的臨界應(yīng)力總圖Ascr=sslsBscr=a-blD三、臨界應(yīng)力總圖壓桿按柔度分類：

—中長桿(中柔度桿)

—細(xì)長桿(大柔度桿)—粗短桿(小柔度桿)直線公式適合合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等中柔度壓桿。32scr=a1-b1l2sslc0.57ssscrOl采用拋物線經(jīng)驗(yàn)公式的臨界應(yīng)力總圖（0<c）是與材料有關(guān)的常數(shù)。拋物線公式適合于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。三、臨界應(yīng)力總圖33

細(xì)長桿—發(fā)生彈性屈曲

中長桿—發(fā)生彈塑性屈曲

粗短桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服三類不同的壓桿§10.3經(jīng)驗(yàn)公式臨界應(yīng)力總圖34例題13.1兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。試；2.已知：d=160mm，E=206GPa,

求：兩根桿的臨界載荷。

1.分析:哪一根壓桿的臨界載荷比較大？

35

1.分析兩根壓桿的臨界載荷

從臨界應(yīng)力總圖可以看出，對于材料相同的壓桿，長細(xì)比越大，臨界載荷越小。所以判斷哪一根壓桿的臨界載荷大，必須首先計(jì)算壓桿的長細(xì)比，長細(xì)比小者，臨界載荷大。362.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E=206GPa,確定兩根桿的臨界載荷首先計(jì)算長細(xì)比，判斷屬于哪一類壓桿：Q235鋼p=101二者都屬于細(xì)長桿，都可以采用歐拉公式。372.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E=206GPa,確定兩根桿的臨界載荷對于Q235鋼，p=101，二者都屬于細(xì)長桿，都可以采用歐拉公式。對于兩端鉸支的壓桿，就有382.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E=206GPa，確定兩根桿的臨界載荷對于Q235鋼，p=101，二者都屬于細(xì)長桿，都可以采用歐拉公式。對于兩端固定的壓桿，就有39一、安全因數(shù)法

用載荷表示的穩(wěn)定條件

用應(yīng)力表示的穩(wěn)定條件nst－穩(wěn)定安全因數(shù)[Fst]－穩(wěn)定許用壓力[sst]－穩(wěn)定許用應(yīng)力§10.4壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)確定nst，除考慮確定安全系數(shù)的一般原則外，還應(yīng)考慮壓桿初撓度、荷載偏心等因素影響，故nst>n。

、穩(wěn)定條件還可寫成：

nw—工作安全因數(shù)40表常用零件nst的取值范圍§10.4壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)412.折減因數(shù)法考慮到臨界應(yīng)力σcr是柔度λ的函數(shù)，安全因數(shù)nst也因壓桿柔度不同而規(guī)定不同的數(shù)值，這都說明穩(wěn)定許可應(yīng)力［σst］對柔度λ依賴敏感。穩(wěn)定條件可寫成[sst]—穩(wěn)定許用應(yīng)力；[s]—強(qiáng)度許用應(yīng)力；

j<1—折減系數(shù)，與柔度和材料有關(guān)，可查規(guī)范?！?0.4壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)42表壓桿的折減因數(shù)ф§10.4壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)43例1：材料相同，直徑相等的三根細(xì)長壓桿如圖示，如取E=200GPa，d=160mm,試計(jì)算三根壓桿的臨界壓力，并比較大小。(a)(b)(c)5m7m9m44解：三根壓桿臨界力分別為：45例2：圖示兩桁架中各桿的材料和截面均相同，設(shè)P1和P2分別為這兩個(gè)桁架穩(wěn)定的最大荷載

(A)P1=P2(B)P1<P2

(C)P1>P2 (D)不能斷定P1和P2的關(guān)系

ɑɑP1ABCDɑɑP2ABCD46AB為零桿AC為零桿ɑɑP1ABCDɑɑP2ABCDFNFN47例3：長方形截面細(xì)長壓桿，b/h=1/2；如果將b改為h后仍為細(xì)長桿，臨界力Pcr是原來的多少倍？lhhhb(ɑ)(b)48lhhhb(ɑ)(b)49例4：圓截面的細(xì)長壓桿，材料、桿長和桿端約束保持不變，若將壓桿的直徑縮小一半，則其臨界力為原壓桿的＿＿＿＿＿；若將壓桿的橫截面改變?yōu)槊娣e相同的正方形截面，則其臨界力為原壓桿的＿＿＿＿＿。

5051例5：五根直徑都為d的細(xì)長圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系A(chǔ)BCD，如各桿材料相同，彈性模量為E。求圖(a)、(b)所示兩種載荷作用下桿系所能承受的最大荷載。PPABCD(ɑ)PPABCD(b)52PPABCD(ɑ)53PPABCD(b)54例6：圖示結(jié)構(gòu)，①、②兩桿截面和材料相同，為細(xì)長壓桿。確定使載荷P為最大值時(shí)的θ角（設(shè)0<θ<π/2）。

②①l55

②①l要使最大，只有都達(dá)到臨界壓力，即PFFN1、N256

②①l57例

低碳鋼制成的矩形截面壓桿，h=30mm，b=20mm，長度l=1m，其支承情況是：在主慣性平面xz平面內(nèi)彎曲時(shí)為兩端鉸支，在主慣性平面xy平面內(nèi)彎曲時(shí)為兩端固定，彈性模量E=206GPa，試求該壓桿的臨界力Fcr。解：注意到此壓桿在兩主慣性平面內(nèi)約束不同，因而應(yīng)分別考查在兩個(gè)主慣性平面的柔度。若在xz平面內(nèi)失穩(wěn)，壓桿微彎時(shí)橫截面將繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，慣性半徑iy為兩端約束為鉸支，長度系數(shù)μy=1.0，壓桿柔度為若在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，壓桿微彎時(shí)橫截面將繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，慣性半徑iz此時(shí)兩端約束為固定端，長度系數(shù)μz=0.5，壓桿柔度為58

因?yàn)棣藋>λz，可以判定失穩(wěn)首先發(fā)生在xz平面內(nèi)，注意到λy>λp屬于細(xì)長桿，可使用歐拉公式

59例

已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235鋼,

E＝200GPa,FP＝150kN,nst=1.8，校核:穩(wěn)定性是否安全。

xyxz60xyzx考慮xy平面失穩(wěn)(繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng))考慮xz平面失穩(wěn)(繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng))所以壓桿可能在xy平面內(nèi)首先失穩(wěn)(繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)).61其臨界壓力為工作安全因數(shù)為所以壓桿的穩(wěn)定性是不安全的。62例簡易起重架由兩圓鋼桿組成，桿AB：，桿AC：,兩桿材料均為Q235鋼,,規(guī)定的強(qiáng)度安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù)，試確定起重機(jī)架的最大起重量。F45°A21CB0.6m63解:１.受力分析AF2.由桿AC的強(qiáng)度條件確定。3.由桿AB的穩(wěn)定條件確定。64柔度:0<p可用直線公式。因此所以起重機(jī)架的最大起重量取決于桿AC的強(qiáng)度，為65

例

確定圖示連桿的許用壓力[Fcr]。已知連桿橫截面面積A=720mm2，慣性矩Iz=6.5×104mm4，Iy=3.8×104mm4，sp=240MPa，E=2.1×105MPa。連桿用硅鋼制成，穩(wěn)定安全系數(shù)nst=2.5。xx580700yzPPz580PPLy

若在x-y面內(nèi)失穩(wěn)，m=1，柔度為：解：(1)失穩(wěn)形式判斷