量子力學 第10章10

第五章定態(tài)問題的常用近似方法引言§5.1非簡并的定態(tài)微擾引言§5.1引言（一）近似方法的重要性精確解:（1）一維無限深勢阱問題；（2）線性諧振子問題；（3）勢壘貫穿問題；（4）氫原子問題。近似解:對于大量的實際物理問題，通常體系的

Hamilton量是比較復雜的，往往不能精確求解。（二）近似方法的出發(fā)點近似方法通常是從簡單問題的精確解（解析解）出發(fā)，來求較復雜問題的近似（解析）解。（三）近似解問題分為兩類（1）體系Hamilton量不是時間的顯函數(shù)——定態(tài)問題1.定態(tài)微擾論；2.變分法。（2）體系Hamilton量顯含時間——狀態(tài)之間的躍遷問題1.與時間t有關的微擾理論；2.常微擾?！?.1非簡并的定態(tài)微擾 微擾法不是量子力學所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應。 例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉動，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化。微擾體系一、適用條件

微擾體系的定態(tài)薛定諤方程微擾體系的比較復雜，無法直接求解，但可分成兩部分： 的所描寫的體系是可以精確求解的，叫做未微擾體系，其本征值和本征函數(shù)分別為

。則方程（1）就可以通過逐步近似的方法求解。二、微擾論的基本方程

的本征方程：設未微擾體系的本征值和本征函數(shù)已經全部求出：)4(,2,1,)0()0()0(0LLknEHnnn==ψψnnnnEEψψ??)0()0(設某一個能級是非簡并的，只有一個與它對應，加上“微擾”后，其中Ek(0),λEk(1),λ2Ek(2),...分別是能量的零級近似，一級修正和二級修正等；而φk(0),λφk(1),λ2φk(2),...分別是狀態(tài)矢量零級近似，一級修正和二級修正等。

a）零級近似b）一級近似c）二級近似試用微擾論求能級的變化，并與精確解比較。例

帶電量為e的一維諧振子，受到恒定弱電場的微擾 作用解1Hamilton算符包含H0+H’兩部分，在弱電場下，上式后一項很小，可看成微擾—微擾法（1）電諧振子Hamilton量（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)En(0),ψn(0)（3）計算En(1)上式積分等于0因為被積函數(shù)為奇函數(shù)所致。（4）計算能量二級修正利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：欲計算能量二級修正，首先應計算矩陣元。對諧振子有:En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω，代入由此式可知，能級移動與n無關，即與擾動前振子的狀態(tài)無關。-----電諧振子的嚴格精確解實際上這個問題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：解2其中x’=x–[eε/mω2]，可見，體系仍是一個線性諧振子。它的每一個能級都比無電場時的線性諧振子的相應能級低{e2ε2/2mω2}，而平衡點向右移動了{eε/μω2}距離。這與微擾論二級近似一樣?？梢钥唇o出：計算能級和波函數(shù)的一級和二級修正關鍵是求哈密頓算符的矩陣元。知道了矩陣元以及零級近似解，問題就解決了。另外，通過上述微擾論所得出的能級和波函數(shù)的公式因此如果我們一開始知道其矩陣表示，問題的求解將會簡單得多。例2.設Hamilton量的矩陣形式為：（1）設c<<1，應用微擾論求H本征值到二級近似；（2）求H的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結果一致。解：（1）c<<1，可取0級和微擾Hamilton量分別為：H0是對角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式，而且能級是非簡并的。所以能量的0級近似為：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡并微擾公式得能量一級修正（此處每一能級都要修正！）：能量二級修正為：準確到二級近似的能量為：設H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(2)精確解：如何來的？與近似解比較：可知，微擾論二級近似結果與精確解展開式不計c4及以后高階項的結果相同。比較（1）和（2）之解(3)將準確解按c(<<1)展開：﹟Thisistheendofthenondegnerate

purterbationtheory!總結：非簡并微擾論處理問題的方法（2）寫出