動(dòng)點(diǎn)問題探究方法

運(yùn)動(dòng)型問題探究動(dòng)態(tài)幾何問題就是以幾何知識為背景，滲入運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類問題，它通常分為三種類型：（1）動(dòng)點(diǎn)問題（常見形式是：點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動(dòng)）（2）動(dòng)線問題（東城一模23）（3）動(dòng)形問題。（動(dòng)形問題通常是圖形的翻轉(zhuǎn)，平移、旋轉(zhuǎn)變換問題）一、動(dòng)態(tài)幾何的分類

1、動(dòng)中覓靜：這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動(dòng)中覓靜就是在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性。2、動(dòng)靜變化：“靜”只是“動(dòng)”的瞬間，是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式，動(dòng)靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動(dòng)”與“靜”的關(guān)系。3、以動(dòng)制動(dòng)：就是建立圖形中兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運(yùn)動(dòng)函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點(diǎn)來研究變動(dòng)元素的關(guān)系。二、動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)三、動(dòng)點(diǎn)問題的分類（二）動(dòng)點(diǎn)在拋物線、弧上運(yùn)動(dòng)1、如圖：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s。若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，連接PC,當(dāng)t為何值時(shí)，△PBC為等腰三角形？P能力準(zhǔn)備：1、將線段的長度用時(shí)間t和速度v表示出來。AP=t×1,BP=7-t2、弄清點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，可以用箭頭表明。則PB=BC∴7-t=4∴t=3（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)變式：如圖：已知ABCD中，AB=7，BC=4∠A=30°(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB運(yùn)動(dòng)，速度仍是1cm/s當(dāng)t為何值時(shí)，△PBC為等腰三角形？74射線（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)1、如圖：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°P74當(dāng)BP=BC時(shí)P7430°當(dāng)CB=CP時(shí)∟EP當(dāng)PB=PC時(shí)74PE74當(dāng)BP=BC時(shí)(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)A沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度仍是1cm/s。當(dāng)t為何值時(shí)，△PBC為等腰三角形？探究動(dòng)點(diǎn)關(guān)鍵：化動(dòng)為靜，分類討論.∴t=3或11或7+或/3時(shí)△PBC為等腰三角形（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)（10年密云一模）如圖，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為4．動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．（2）試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．MC=NC時(shí)，10-2t=t（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)----中考模擬試題（10年密云一模）如圖，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為4．動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．（2）試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．MN=NC時(shí)，△NGC∽△DHCNC:DC=NG:DHt:5=(5-t):3GH（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)----中考模擬試題（10年密云一模）如圖，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為4．動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．（2）試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．MN=MC時(shí)，△MEC∽△DHCEC:HC=MC:DC（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)----中考模擬試題（10年密云一模）如圖，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為4．動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．（2）試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．∠C既在△EMC中，又在△DHC中，所以從解直角三角形的角度也可解cos∠C=EC:MC=HC:DC（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)----中考模擬試題（2010年北京中考24題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2/45x/2與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A(10,0)，點(diǎn)B(2，4)在這條拋物線上。點(diǎn)P在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過P點(diǎn)作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E。延長PE到點(diǎn)D。使得ED=PE。以PD為斜邊在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD(當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)、D點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng))

當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長；

（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)----中考模擬試題（2010年北京中考24題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2/45x/2與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A(10,0)，點(diǎn)B(2，4)在這條拋物線上。若P點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位(當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng))。過Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F。延長QF到點(diǎn)M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN(當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)，N點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng))。若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條直角邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值。

（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)----中考模擬試題（2010年朝陽一模8題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC,∠B=60o,AB=AD=BO=4,OC=8,點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿四邊形ABCD的邊BA→AD→DC以每分鐘一個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,△POD的面積為S，則S與t的函數(shù)圖象大致為（）（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)----中考模擬試題D1、平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD，A(3，0)，B(3，4)，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從O、B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)。過點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于P，連結(jié)MP。已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒。(1)P的坐標(biāo)為(用含x的代數(shù)式表示)；OMABNyCPx（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)----強(qiáng)化練習(xí)(2)請你探索：當(dāng)x為何值時(shí)，△MPA是一個(gè)等腰三角形？··ABA’P----最短距離問題（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)··ABA’PB’·----最短距離問題（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)【2009北京中考】如圖在邊長為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ,則△ＰＢＱ周長的最小值是()cm(結(jié)果不取近似值）AD

BQCP----最短距離問題（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)【2006北京中考】已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D為線段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式；（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E)，再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F)，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長．

[分析]這是一道由軸對稱的典型例題改編的“臺球兩次碰壁問題”；臺球由點(diǎn)M擊出，經(jīng)過x軸、拋物線的對稱軸兩次碰壁后，恰好經(jīng)過點(diǎn)A，求臺球經(jīng)過的路徑．如圖，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為M′，點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點(diǎn)為A′，連結(jié)M′A′，則M′A′的長為ME＋EF＋FA的最小值．----最短距離問題（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)【2006北京中考】已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點(diǎn)．（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E)，再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F)，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長．

【2010年豐臺一模】已知二次函數(shù)．（3）將直線y=x向下平移2個(gè)單位長度后與交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長．----最短距離問題（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)（2009中考25）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-6,0），B（6,0）延長AC到點(diǎn)D,使CD=,過點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長線于點(diǎn)E.（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)（出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短。----最短距離問題（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)【2009中考25】（）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-6,0），B（6,0）延長AC到點(diǎn)D,使CD=，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長線于點(diǎn)E.（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短?！?010崇文一?！恳阎獟佄锞€經(jīng)過點(diǎn)A（1，3）和點(diǎn)B（2，1）（2）點(diǎn)C、D分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長的最小值；（3）過點(diǎn)B作軸的垂線，垂足為E點(diǎn)．點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)出發(fā)，先沿拋物線的對稱軸到達(dá)F點(diǎn),再沿FE到達(dá)E點(diǎn)，若P點(diǎn)在對稱軸上的運(yùn)動(dòng)速度是它在直線FE上運(yùn)動(dòng)速度的倍,試確定點(diǎn)F的位置,使得點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)E點(diǎn)所用的時(shí)間最短．----最短距離問題（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)----總結(jié)提升（1）等腰三角形的問題要分類討論（2）可通過相似列出方程，將求時(shí)間的問題轉(zhuǎn)化為求線段的問題。所以，相似是解決動(dòng)點(diǎn)問題的一種重要方法。（3）在直角三角形中可以從相似和解直兩個(gè)不同角度解題。（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)（10年通州一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）.與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線CD與x軸交于點(diǎn)E.（3）在點(diǎn)B、點(diǎn)F之間的拋物線上有一點(diǎn)P，使△PBF的面積最大，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)及△PBF的最大面積.（二）動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)【大興一?！咳鐖D2，點(diǎn)A、B、C、D為圓O的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從圓心O出發(fā)，沿O-C-D-O的路線作勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,∠APB的度數(shù)為y度，則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎǘ﹦?dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)C【昌平一?！咳鐖D，在半徑為1的⊙O中，直徑把⊙O分成上、下兩個(gè)半圓，點(diǎn)是上半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（C與點(diǎn)A、B不重合）