第一章-周期結(jié)構(gòu)

Chapter1PeriodicStructureCrystalLatticeandReciprocalLatticeThemostimportantcharacteristicsofCrystals:PeriodicArrayofAtoms（ions,Molecules)------LatticeAnylatticepointinthearraycanberepresentedbythelatticevectorl1,l2,l3arearbitraryintegers，a1,a2,a3arethelatticeprimitivevectors（orfundamentaltranslationvectors）

a1a2Theprimitivecellsandvectorsina2DlatticeCell：Thesmallestunitinthelattice,whichcanserveasabuildingblockforthecrystalstructure.1．由a1,a2,a3組成的平行六面體iscalledasPrimitiveCell。2．Eachcellcontainsonlyonelatticesite。3．Thechoseofthecellandprimitivevector

isnotunique。Thecell’svolume:：Wigner-sietzcell（W-Scell）它是由一個格點與最近鄰格點（有時也包括次近鄰格點）的連線中垂面所圍成的多面體，其中只包含一個結(jié)點。它能更明顯地反映點陣的對稱性。它具有所屬點陣點群的全部對稱性（旋轉(zhuǎn)、反射、反演操作）。a1a2二維六角點陣的魏格納-賽茨元胞（W-S原胞）立方體截角八面體棱十二面體簡單立方（SC）、體心立方（BC）和面心立方點陣（FC）的W-S元胞SCBCFC倒格矢由于元激發(fā)的狀態(tài)都是由波矢來描述的----引入波矢空間及響應(yīng)的點陣，即倒點陣。倒點陣的基矢是由晶格點陣的基矢定義的：可求出：在倒點陣中任一格點的位置矢：（ni為整數(shù)）稱為倒格矢。元胞的體積：布里淵區(qū)相應(yīng)的W-S元胞作為倒點陣的元胞：在此多面體邊界上的任意一點可由另一點加上一個倒格矢的平移達(dá)到。當(dāng)它的中心為原點時，W-S元胞所包含的區(qū)域稱為第一布里淵區(qū)，用BZ表示，又稱簡約區(qū)倒點陣與正點陣的關(guān)系

m為整數(shù)BZ具有晶格點陣點群的全部對稱性。2.平移對稱性點陣是格點在空間中的無限周期性重復(fù)排列；點陣具有平移對稱性，表現(xiàn)為將整體作任意正格矢的平移后，它將恢復(fù)原狀；即從空間任意一點出發(fā)，作任意正格矢的位移，必達(dá)到等效的點上實際的晶體有界面，但體的尺寸比界面大107~108個數(shù)量級因而，界面幾乎不影響體的物理特性，與邊界條件的選擇無關(guān)。波恩-卡門邊界條件嚴(yán)格講，只有無限理想晶體才具有平移對稱性；實際晶體的尺寸比元胞大得多，表面效應(yīng)并不重要；邊長為Na1,Na2,Na3

的有限晶體沿a1,a2,a3三個方向首尾相接形成循環(huán)邊界條件。N-3N-2N-1N123波恩-卡門循環(huán)邊界條件波恩-卡門循環(huán)邊界條件在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為：----平移算符對于元胞數(shù)為N=N1N2N3的晶體，共有N

個平移算符組成平移群任意兩次相繼的平移仍為一平移；相繼兩次平移的效果與它們作用的先后次序無關(guān)。滿足乘法結(jié)合律存在逆元素。存在恒等操作3.布洛赫定理

對于N（N=N1N2N3）個元胞的晶體滿足波恩-卡門條件時，具有平移對稱性：由于N階平移群的每個元素本身自成一個共軛類因此，平移群有N個不可約表示說明平移群的N個不可約表示都是一維的是一維表示的基函數(shù)。D是表示一維矩陣，實際上是一個數(shù)。j=1,2,3其中nj=0,1,2,…由此可得：在倒逆空間中定義一個波矢布洛赫定理D定義的k可作為平移群不可約表示的標(biāo)記。以上方程可理解為平移算符的本征方程，exp(ikRl)是它的k個本征值。進(jìn)一步可得如果令可得是正點陣的周期函數(shù)布洛赫函數(shù)布洛赫函數(shù)是由晶體的平移對稱性導(dǎo)出的，凡屬周期性結(jié)構(gòu)中的波函數(shù)都應(yīng)具有布洛赫函數(shù)的形式。k的非唯一性問題那么第一布里淵區(qū)：任意兩個波矢之差小于一個最短的倒格矢的區(qū)域。限于第一布里淵區(qū)（BZ）的波矢叫簡約波矢，簡約區(qū)體積為*，其中有N個不同的波矢，它們可以唯一地標(biāo)記平移群的N個不可約表示。

(i=1,2,3)(K=0的對稱多面體，W-S元胞)固體物理學(xué)的幾個關(guān)系1.平移群不可約表示的正交關(guān)系2.平移群特征標(biāo)的正交關(guān)系普遍適用于周期結(jié)構(gòu)中的電子、聲子和自旋波等3.求和與積分關(guān)系相鄰k值的間距(i=1,2,3)每一許可k值所占的體積為k空間單位體積內(nèi)的有個不同的波矢V為晶體體積求和變積分：由于晶格結(jié)構(gòu)的周期性，其哈密頓量H與平移算符對易，兩者具有共同的本征函數(shù)布洛赫函數(shù)在單電子問題中，晶體中一個電子的運動狀態(tài)可由布洛赫函數(shù)描述：相當(dāng)作一正則變換由于可簡化為在一正點陣的一個元胞中求解有無窮多個分立的本證值因此，晶體中單電子能量是k的多值函數(shù)每一個確定的k描述一套能級和狀態(tài)由于在BZ外布洛赫函數(shù)無新態(tài)k限于BZ，是取以k=0為中心的W-S元胞由于確定n值的是倒點陣的周期函數(shù)，必有能量的上界和下界不同k同一n的所有能級包括在界內(nèi)，組成一能帶。不同的n代表不同的能帶，它們的總體稱為晶體的帶結(jié)構(gòu)。能帶存在的結(jié)論來自布洛赫函數(shù)的振幅是正點陣的周期函數(shù)這一普遍性特征。周期結(jié)構(gòu)中一切波的能（頻）譜都成帶4.布里淵區(qū)和晶體的對稱性空間群包含平移、旋轉(zhuǎn)、反射、滑移反映、螺旋軸等對稱操作空間群算符操作：代表旋轉(zhuǎn)、反映等點群對稱操作，t代表平移。---平移群---點群----螺旋軸或滑移反映面算符相乘：逆：晶體空間群的定義：包括平移群作為不變子群的元素集合這就限制了晶體中只可能出現(xiàn)2、3、4、6次旋轉(zhuǎn)軸，使晶體空間群成為有限群

不變子群條件要求仍為正格矢，即點陣經(jīng)旋轉(zhuǎn)等點群操作后應(yīng)與自身重合，（1）布里淵區(qū)（BZ）中En(k)的對稱性設(shè)晶體屬于空間群，則晶體的哈密頓H應(yīng)與對易，即H對于空間群

的一切操作是不變的，有對稱性：可以證明：可求出只是屬于該晶體空間群的點群操作。在每一能帶中如果把能量En(k)看作布里淵區(qū)中“位置”的函數(shù)，它便具有點陣點群的全部對稱性，此即簡單空間群中En(k)的對稱性。例如：二維正點陣BZ為正方形，保持BZ不變的點群操作有8個，4mm標(biāo)記。對于BZ中矢量k1施于上述點群操作后，它變?yōu)閗2,k3,k4,k5,k6,k7,k8.這8個點在同一能帶中有相同的能量。Kx/a-/a/a-/ak1k2k6k7k5k4k3k8mxmymdmd’C4C42C43E二維正點陣BZ為正方形，保持BZ不變的點群操作有8個（2.）

En(k)的簡并度簡并：同一k不同態(tài)具有相同能量本征值。簡并度：設(shè)在k點第n個能量本征值的簡并度為dn,則有dn個布洛赫函數(shù)

對應(yīng)于同一個能量這種情況往往發(fā)生在BZ中某些高對稱性的點與線上。這時點群中的某些元素對k運算后保持k不變（或等于k+Kn），但這些元素對布洛赫函數(shù)作用將產(chǎn)生具有不同對稱性的一組函數(shù)，它們具有相同的k和本征能量K波矢群：點群中對k運算后保持k不變（或等于k+Kn）的那些對稱操作元素的集合所構(gòu)成的點群k波矢群不可約表示的維數(shù)等于k點能級的簡并度dn.例如：二維正方點陣的波矢群（i）點：k=0的波矢群即點群4mm；這個群可分為5個共軛元素類因此，有5個不可約表示，這些表示的維數(shù)n應(yīng)滿足KxKy/a-/a-/a二維正點陣BZ中高對稱性的點與線MX∑?Z其解只可能有：說明波矢群有4個一維和1個兩維的不可約表示，即4種單重態(tài)和1種雙重態(tài)，在點可能有兩重簡并發(fā)生。（ii）M點M點波矢經(jīng)4mm所有群元作用后仍在四角頂點上，波矢群也為4mm，可能有兩重簡并發(fā)生。（iii)X點X波矢群應(yīng)由E，mx,my,C42等4個元素組成。這個群中各個元素自成一個共軛類，因此，有4個一維的不可約表示，說明在X點能帶為非簡并的。在點以及BZ中的一般k點均為非簡并的對于三維晶格，點群品格表中恒等元素E的特征標(biāo)將告知波矢群的不可約表示的維數(shù)，從而得知的簡并度。（3）時間反演對稱性時間反演是改變時間符號（