第一章-周期結(jié)構(gòu)

Chapter1PeriodicStructureCrystalLatticeandReciprocalLatticeThemostimportantcharacteristicsofCrystals:PeriodicArrayofAtoms（ions,Molecules)------LatticeAnylatticepointinthearraycanberepresentedbythelatticevectorl1,l2,l3arearbitraryintegers，a1,a2,a3arethelatticeprimitivevectors（orfundamentaltranslationvectors）

a1a2Theprimitivecellsandvectorsina2DlatticeCell：Thesmallestunitinthelattice,whichcanserveasabuildingblockforthecrystalstructure.1．由a1,a2,a3組成的平行六面體iscalledasPrimitiveCell。2．Eachcellcontainsonlyonelatticesite。3．Thechoseofthecellandprimitivevector

isnotunique。Thecell’svolume:：Wigner-sietzcell（W-Scell）它是由一個(gè)格點(diǎn)與最近鄰格點(diǎn)（有時(shí)也包括次近鄰格點(diǎn)）的連線中垂面所圍成的多面體，其中只包含一個(gè)結(jié)點(diǎn)。它能更明顯地反映點(diǎn)陣的對(duì)稱性。它具有所屬點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱性（旋轉(zhuǎn)、反射、反演操作）。a1a2二維六角點(diǎn)陣的魏格納-賽茨元胞（W-S原胞）立方體截角八面體棱十二面體簡(jiǎn)單立方（SC）、體心立方（BC）和面心立方點(diǎn)陣（FC）的W-S元胞SCBCFC倒格矢由于元激發(fā)的狀態(tài)都是由波矢來(lái)描述的----引入波矢空間及響應(yīng)的點(diǎn)陣，即倒點(diǎn)陣。倒點(diǎn)陣的基矢是由晶格點(diǎn)陣的基矢定義的：可求出：在倒點(diǎn)陣中任一格點(diǎn)的位置矢：（ni為整數(shù)）稱為倒格矢。元胞的體積：布里淵區(qū)相應(yīng)的W-S元胞作為倒點(diǎn)陣的元胞：在此多面體邊界上的任意一點(diǎn)可由另一點(diǎn)加上一個(gè)倒格矢的平移達(dá)到。當(dāng)它的中心為原點(diǎn)時(shí)，W-S元胞所包含的區(qū)域稱為第一布里淵區(qū)，用BZ表示，又稱簡(jiǎn)約區(qū)倒點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的關(guān)系

m為整數(shù)BZ具有晶格點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱性。2.平移對(duì)稱性點(diǎn)陣是格點(diǎn)在空間中的無(wú)限周期性重復(fù)排列；點(diǎn)陣具有平移對(duì)稱性，表現(xiàn)為將整體作任意正格矢的平移后，它將恢復(fù)原狀；即從空間任意一點(diǎn)出發(fā)，作任意正格矢的位移，必達(dá)到等效的點(diǎn)上實(shí)際的晶體有界面，但體的尺寸比界面大107~108個(gè)數(shù)量級(jí)因而，界面幾乎不影響體的物理特性，與邊界條件的選擇無(wú)關(guān)。波恩-卡門邊界條件嚴(yán)格講，只有無(wú)限理想晶體才具有平移對(duì)稱性；實(shí)際晶體的尺寸比元胞大得多，表面效應(yīng)并不重要；邊長(zhǎng)為Na1,Na2,Na3

的有限晶體沿a1,a2,a3三個(gè)方向首尾相接形成循環(huán)邊界條件。N-3N-2N-1N123波恩-卡門循環(huán)邊界條件波恩-卡門循環(huán)邊界條件在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為：----平移算符對(duì)于元胞數(shù)為N=N1N2N3的晶體，共有N

個(gè)平移算符組成平移群任意兩次相繼的平移仍為一平移；相繼兩次平移的效果與它們作用的先后次序無(wú)關(guān)。滿足乘法結(jié)合律存在逆元素。存在恒等操作3.布洛赫定理

對(duì)于N（N=N1N2N3）個(gè)元胞的晶體滿足波恩-卡門條件時(shí)，具有平移對(duì)稱性：由于N階平移群的每個(gè)元素本身自成一個(gè)共軛類因此，平移群有N個(gè)不可約表示說(shuō)明平移群的N個(gè)不可約表示都是一維的是一維表示的基函數(shù)。D是表示一維矩陣，實(shí)際上是一個(gè)數(shù)。j=1,2,3其中nj=0,1,2,…由此可得：在倒逆空間中定義一個(gè)波矢布洛赫定理D定義的k可作為平移群不可約表示的標(biāo)記。以上方程可理解為平移算符的本征方程，exp(ikRl)是它的k個(gè)本征值。進(jìn)一步可得如果令可得是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)布洛赫函數(shù)布洛赫函數(shù)是由晶體的平移對(duì)稱性導(dǎo)出的，凡屬周期性結(jié)構(gòu)中的波函數(shù)都應(yīng)具有布洛赫函數(shù)的形式。k的非唯一性問題那么第一布里淵區(qū)：任意兩個(gè)波矢之差小于一個(gè)最短的倒格矢的區(qū)域。限于第一布里淵區(qū)（BZ）的波矢叫簡(jiǎn)約波矢，簡(jiǎn)約區(qū)體積為*，其中有N個(gè)不同的波矢，它們可以唯一地標(biāo)記平移群的N個(gè)不可約表示。

(i=1,2,3)(K=0的對(duì)稱多面體，W-S元胞)固體物理學(xué)的幾個(gè)關(guān)系1.平移群不可約表示的正交關(guān)系2.平移群特征標(biāo)的正交關(guān)系普遍適用于周期結(jié)構(gòu)中的電子、聲子和自旋波等3.求和與積分關(guān)系相鄰k值的間距(i=1,2,3)每一許可k值所占的體積為k空間單位體積內(nèi)的有個(gè)不同的波矢V為晶體體積求和變積分：由于晶格結(jié)構(gòu)的周期性，其哈密頓量H與平移算符對(duì)易，兩者具有共同的本征函數(shù)布洛赫函數(shù)在單電子問題中，晶體中一個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可由布洛赫函數(shù)描述：相當(dāng)作一正則變換由于可簡(jiǎn)化為在一正點(diǎn)陣的一個(gè)元胞中求解有無(wú)窮多個(gè)分立的本證值因此，晶體中單電子能量是k的多值函數(shù)每一個(gè)確定的k描述一套能級(jí)和狀態(tài)由于在BZ外布洛赫函數(shù)無(wú)新態(tài)k限于BZ，是取以k=0為中心的W-S元胞由于確定n值的是倒點(diǎn)陣的周期函數(shù)，必有能量的上界和下界不同k同一n的所有能級(jí)包括在界內(nèi)，組成一能帶。不同的n代表不同的能帶，它們的總體稱為晶體的帶結(jié)構(gòu)。能帶存在的結(jié)論來(lái)自布洛赫函數(shù)的振幅是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)這一普遍性特征。周期結(jié)構(gòu)中一切波的能（頻）譜都成帶4.布里淵區(qū)和晶體的對(duì)稱性空間群包含平移、旋轉(zhuǎn)、反射、滑移反映、螺旋軸等對(duì)稱操作空間群算符操作：代表旋轉(zhuǎn)、反映等點(diǎn)群對(duì)稱操作，t代表平移。---平移群---點(diǎn)群----螺旋軸或滑移反映面算符相乘：逆：晶體空間群的定義：包括平移群作為不變子群的元素集合這就限制了晶體中只可能出現(xiàn)2、3、4、6次旋轉(zhuǎn)軸，使晶體空間群成為有限群

不變子群條件要求仍為正格矢，即點(diǎn)陣經(jīng)旋轉(zhuǎn)等點(diǎn)群操作后應(yīng)與自身重合，（1）布里淵區(qū)（BZ）中En(k)的對(duì)稱性設(shè)晶體屬于空間群，則晶體的哈密頓H應(yīng)與對(duì)易，即H對(duì)于空間群

的一切操作是不變的，有對(duì)稱性：可以證明：可求出只是屬于該晶體空間群的點(diǎn)群操作。在每一能帶中如果把能量En(k)看作布里淵區(qū)中“位置”的函數(shù)，它便具有點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱性，此即簡(jiǎn)單空間群中En(k)的對(duì)稱性。例如：二維正點(diǎn)陣BZ為正方形，保持BZ不變的點(diǎn)群操作有8個(gè)，4mm標(biāo)記。對(duì)于BZ中矢量k1施于上述點(diǎn)群操作后，它變?yōu)閗2,k3,k4,k5,k6,k7,k8.這8個(gè)點(diǎn)在同一能帶中有相同的能量。Kx/a-/a/a-/ak1k2k6k7k5k4k3k8mxmymdmd’C4C42C43E二維正點(diǎn)陣BZ為正方形，保持BZ不變的點(diǎn)群操作有8個(gè)（2.）

En(k)的簡(jiǎn)并度簡(jiǎn)并：同一k不同態(tài)具有相同能量本征值。簡(jiǎn)并度：設(shè)在k點(diǎn)第n個(gè)能量本征值的簡(jiǎn)并度為dn,則有dn個(gè)布洛赫函數(shù)

對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量這種情況往往發(fā)生在BZ中某些高對(duì)稱性的點(diǎn)與線上。這時(shí)點(diǎn)群中的某些元素對(duì)k運(yùn)算后保持k不變（或等于k+Kn），但這些元素對(duì)布洛赫函數(shù)作用將產(chǎn)生具有不同對(duì)稱性的一組函數(shù)，它們具有相同的k和本征能量K波矢群：點(diǎn)群中對(duì)k運(yùn)算后保持k不變（或等于k+Kn）的那些對(duì)稱操作元素的集合所構(gòu)成的點(diǎn)群k波矢群不可約表示的維數(shù)等于k點(diǎn)能級(jí)的簡(jiǎn)并度dn.例如：二維正方點(diǎn)陣的波矢群（i）點(diǎn)：k=0的波矢群即點(diǎn)群4mm；這個(gè)群可分為5個(gè)共軛元素類因此，有5個(gè)不可約表示，這些表示的維數(shù)n應(yīng)滿足KxKy/a-/a-/a二維正點(diǎn)陣BZ中高對(duì)稱性的點(diǎn)與線MX∑?Z其解只可能有：說(shuō)明波矢群有4個(gè)一維和1個(gè)兩維的不可約表示，即4種單重態(tài)和1種雙重態(tài)，在點(diǎn)可能有兩重簡(jiǎn)并發(fā)生。（ii）M點(diǎn)M點(diǎn)波矢經(jīng)4mm所有群元作用后仍在四角頂點(diǎn)上，波矢群也為4mm，可能有兩重簡(jiǎn)并發(fā)生。（iii)X點(diǎn)X波矢群應(yīng)由E，mx,my,C42等4個(gè)元素組成。這個(gè)群中各個(gè)元素自成一個(gè)共軛類，因此，有4個(gè)一維的不可約表示，說(shuō)明在X點(diǎn)能帶為非簡(jiǎn)并的。在點(diǎn)以及BZ中的一般k點(diǎn)均為非簡(jiǎn)并的對(duì)于三維晶格，點(diǎn)群品格表中恒等元素E的特征標(biāo)將告知波矢群的不可約表示的維數(shù)，從而得知的簡(jiǎn)并度。（3）時(shí)間反演對(duì)稱性時(shí)間反演是改變時(shí)間符號(hào)（