第7章多元函數(shù)積分學(xué)11-16(7.2.3 Green格林公式及其應(yīng)用)-鄭

中南大學(xué)開(kāi)放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第7章多元函數(shù)積分學(xué)高等數(shù)學(xué)A7.2曲線曲面積分7.2.3Green公式及其應(yīng)用格林(Green)公式7.2曲線曲面積分格林簡(jiǎn)介區(qū)域的連通性格林(Green)公式Green公式的應(yīng)用應(yīng)用習(xí)例1-2應(yīng)用習(xí)例3-4應(yīng)用習(xí)例5應(yīng)用習(xí)例6求平面區(qū)域的面積曲線積分與路徑無(wú)關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件應(yīng)用習(xí)例7-9平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件應(yīng)用習(xí)例10-12二元函數(shù)的全微分應(yīng)用習(xí)例13-15小結(jié)Green公式及其應(yīng)用格林（Green）公式：平面區(qū)域的二重積分與沿此區(qū)域的第二類曲線積分的關(guān)系。

意義：微積分基本公式在二重積分情形下的推廣，不僅給計(jì)算第二類曲線積分帶來(lái)新方法，更重要的是揭示定向曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)的條件，在積分理論的發(fā)展中起了重要的作用。

*格林（Green）[英]1793-1841物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家,自學(xué)成才英國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，僅讀過(guò)兩年書，回家?guī)透赣H烤面包賣，一直到40歲，父親去世后才得以到劍橋大學(xué)讀書。44歲大學(xué)畢業(yè)，48歲因流行感冒去世。但依靠自學(xué)，做出了巨大的貢獻(xiàn)，相關(guān)成果至今仍是數(shù)學(xué)物理中的經(jīng)典內(nèi)容。他的工作培育了數(shù)學(xué)物理方面的劍橋?qū)W派。一、格林公式及其應(yīng)用

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD1、區(qū)域連通性(不含有“洞”或“點(diǎn)洞”)(含有“洞”或“點(diǎn)洞”)當(dāng)觀察者沿L的正向行走時(shí),區(qū)域D內(nèi)離他近處的那一部分總在他的左邊.定理1.

設(shè)區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(Green公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),2、Green公式證明依賴于區(qū)域的形狀證明(1)yxoabDcdABCE思路:公式兩邊化為同一定積分.從簡(jiǎn)單情形出發(fā).同理可證yxodDcCEBA證明(2)D兩式相加得GDFCEAB證明(3)由(2)知注意:格林公式的應(yīng)用條件L為封閉曲線（取正向）Ｐ，Ｑ在L所圍的區(qū)域Ｄ內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)注意:(1)便于記憶形式:(2)當(dāng)邊界曲線取反方向時(shí),Green公式中二重積分符號(hào)前添“”號(hào)!(3)應(yīng)用Green公式條件缺一不可.3、格林公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用(1)直接用：當(dāng)L是封閉曲線時(shí)，應(yīng)用格林公式簡(jiǎn)化曲線積分注意：還應(yīng)滿足用格林公式的條件例1(簡(jiǎn)化曲線積分)例1解：(2)間接用：當(dāng)L不是封閉曲線時(shí)，但可添加輔助曲線使之封閉，再用Green公式簡(jiǎn)化計(jì)算。例3例4xyoLAB解1

代入法,例3注意：L的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?，即L的反向xyoLABOAB例4（3）不能用：方法一：簡(jiǎn)化被積函數(shù)后再用方法二：在D內(nèi)有使P，Q不連續(xù)的點(diǎn)存在，不能直接用格林公式，采用“挖小洞”的方法，挖去不連續(xù)點(diǎn)，再用格林公式。例6三格林公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例5例5解2：不符合Green公式的條件,但是可以先將曲線方程代入被積表達(dá)式的分母，化簡(jiǎn)后可用格林公式.解1：代入法，見(jiàn)練習(xí)題解xyoLyxoL例6yxoLxyoL符合Green公式的條件.在D1上符合Green公式的條件.注意:(4)簡(jiǎn)化二重積分計(jì)算例7解xyo例7(5)計(jì)算有界平面區(qū)域的面積GyxoBA如果在區(qū)域G內(nèi)有二、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)1、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義2、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件定理

1證充分性在G

內(nèi)任取一條閉曲線C,C所圍的閉區(qū)域?yàn)镈。G

是單連通的，因此，于是，在D

內(nèi)應(yīng)用Green公式，有即，在G

內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。必要性用反證法假設(shè)在G

內(nèi)存在使的點(diǎn)

M0，即不妨設(shè)由于P，Q

具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此在G

內(nèi)必有點(diǎn)

M0的一個(gè)小鄰域D′,在D′內(nèi)應(yīng)用Green公式，有于是，矛盾。因此，在G

內(nèi)恒有兩條件缺一不可有關(guān)定理的說(shuō)明：即選擇較簡(jiǎn)便的路徑計(jì)算應(yīng)用(直接應(yīng)用，簡(jiǎn)化曲線積分的計(jì)算)說(shuō)明:

積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí),曲線積分可記為曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件應(yīng)用習(xí)例應(yīng)用1(直接應(yīng)用，簡(jiǎn)化曲線積分的計(jì)算)例10解故原式=解例10定理2.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(2)(3)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即(4)沿D中任意光滑閉曲線

L,有3、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件證明(1)(2)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無(wú)關(guān),證明(2)(3)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有證明(3)(4)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)檎f(shuō)明:

積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí),曲線積分可記為證明(4)(1)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(4))證畢注意:(1)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)要求在單連通區(qū)域內(nèi)考慮，而Green公式只要求封閉路徑；具體求法為：或者曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件應(yīng)用習(xí)例例12解所以積分與路徑無(wú)關(guān).或者例12解由Green公式有,(3)如圖,由積分與路徑無(wú)關(guān)，三、全微分準(zhǔn)則、原函數(shù)定理

若在單連通區(qū)域G內(nèi)函數(shù)u(x,y)是Pdx+Qdy的原函數(shù)，而是G內(nèi)的任意兩點(diǎn)，則證明：在Ｇ內(nèi)任取連接點(diǎn)Ａ到點(diǎn)Ｂ的光滑曲線Ｌ：證畢進(jìn)一步問(wèn)：求u(x,y)的其它方法（用湊微分法不易行）－－借助Ⅱ型曲線積分中取定一點(diǎn)在定理5.5的公式例15在右半平面(x>0)有原函數(shù)，并求之.例14

全微分準(zhǔn)則習(xí)例例14

例15在右半平面(x>0)有原函數(shù)，并求之.