第七章-數(shù)字信號分析(II)-數(shù)字濾波

第七章數(shù)字信號分析（Ⅱ）——數(shù)字濾波

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早在20世紀40年代末期，就有人開始討論數(shù)字濾波的可能性，直到20世紀60年代中期，數(shù)字濾波才形成了一套完整、正規(guī)的理論。

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數(shù)字濾波與模擬濾波相比，精度和穩(wěn)定性高、系統(tǒng)函數(shù)容易改變、靈活性高、不存在阻抗匹配問題、便于大規(guī)模集成、可實現(xiàn)多維濾波等優(yōu)點?！?/p>

本章內(nèi)容：討論數(shù)字離散時間系統(tǒng)的基本知識，介紹數(shù)字濾波原理、數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)及設(shè)計方法等。第一節(jié)數(shù)字濾波與模擬濾波

●數(shù)字濾波？——利用離散時間系統(tǒng)的特性對輸入信號波形（或頻譜）進行加工處理，或者說利用數(shù)字方法按預(yù)定要求對信號進行變換，把輸入序列x(n)變換成一定的輸出序列y(n)?！?/p>

數(shù)字濾波過程一、數(shù)字濾波過程的頻譜分析輸入信號的頻譜，頻寬為±ωm在滿足采樣定理的條件下進行A/D轉(zhuǎn)換，則采樣信號的頻譜為采樣頻率ωs≥2ωm這是一個以ωs為周期的譜圖。通過數(shù)字濾波器后，其頻譜為可見，信號通過數(shù)字濾波后，仍是周期譜圖。為此，經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換以后，仍須采用模擬濾波。若模擬濾波器的頻響函數(shù)為G(ω)，則輸出信號y(t)的頻譜：因ωs≥2ωm，X(ejω)是X(ω)以ωs為周期的重復，且不產(chǎn)生混疊效應(yīng)的函數(shù)。若假定模擬濾波器是一個理想低通濾波器，即其中，ωm≤ωc≤(ωs-ωm),則可以從y(n)的周期性頻譜中選出頻譜Y(ω)，以恢復出連續(xù)信號y(t)，故有數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)起著對輸入連續(xù)信號x(t)的頻譜進行濾波改造的作用。二、數(shù)字濾波器與模擬濾波器對比

數(shù)字濾波器：數(shù)學模型為差分方程式，運算內(nèi)容為延時、乘法、加法。構(gòu)成元器件為加法器、乘法器、延時器等。

模擬濾波器：數(shù)學模型為微分方程式，運算內(nèi)容為微（積）分、乘法、加法。構(gòu)成元器件為電阻、電容、運算放大器等。比較項目模擬濾波器數(shù)字濾波器輸入、輸出模擬信號數(shù)字信號系統(tǒng)連續(xù)時間離散時間系統(tǒng)特性時不變、疊加、齊次非移變、疊加、齊次數(shù)學模型微分方程式差分方程式運算內(nèi)容微（積）分、乘、加延時、乘、加系統(tǒng)構(gòu)成分立元件（電阻、電容、運算放大器等）軟件：程序硬件：乘、加、延時運算模塊系統(tǒng)函數(shù)

H(s)=Y(s)/X(s)（s域）

H(ω)=Y(ω)/X(ω)

H(z)=Y(z)/X(z)（z域）

H(ejω)=Y(ejω)/X(ejω)數(shù)字濾波器與模擬濾波器對比●數(shù)字濾波的實現(xiàn)方法

軟件實現(xiàn)方法——按差分方程式或框圖所表示的輸出與輸入序列的關(guān)系，編制計算機程序，在通用計算機上實現(xiàn)。硬件實現(xiàn)方法——用數(shù)字電路制成的加法器、乘法器、延時器等，按框圖加以聯(lián)接，構(gòu)成運算器，即數(shù)字濾波器來實現(xiàn)?！纠恳浑A低通濾波器分析對激勵信號x(t)和響應(yīng)信號y(t)離散化，且采用間隔T（或△t）足夠小，則有一階低通模擬濾波電路的微分方程為：令T=1或差分方程▲由一階微分方程導出了一階差分方程，它表明模擬系統(tǒng)動態(tài)方程的近似方程可以用差分方程來描述。同樣可導出任意階次的差分方程差分一階前向差分定義：△x(n)=x(n+1)-x(n)一階后向差分定義：▽x(n)=x(n)-x(n＋1)●離散時間系統(tǒng)的分析與連續(xù)時間系統(tǒng)的分析有著并行的對應(yīng)性。例如，第二節(jié)離散時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)數(shù)學模型：微分方程式數(shù)學模型：差分方程式卷積方法極其重要卷積和的方法具有同樣重要地位采用變換域（LT與FT）方法和系統(tǒng)函數(shù)的概念處理各種問題采用變換域（Z變換與DFT）方法和系統(tǒng)函數(shù)的概念處理各種問題一、線性離散時間系統(tǒng)線性離散時間系統(tǒng)滿足疊加性與齊次性(倍增性)

●非時變(或稱非移變)離散系統(tǒng):

如果離散系統(tǒng)的參數(shù)和特性不隨時間而變化，則當輸入一個移位為N的時間序列x(n-N)，得到一個相應(yīng)的輸出序列y(n-N)，并且對任意時移N都成立，則此系統(tǒng)為非時變（或稱非移變）系統(tǒng)?！窬€性非時變系統(tǒng)的因果性的充要條件為：單位樣值響應(yīng)h(n)=0(n<0)●線性非時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性充要條件為：單位樣值響應(yīng)絕對可積（或稱絕對可和），即二、系統(tǒng)模型——差分方程式●既滿足因果性又滿足穩(wěn)定性的系統(tǒng)，其單位樣值響應(yīng)是單邊的、有界的，即滿足條件：差分方程式：是處理離散變量函數(shù)關(guān)系的一種數(shù)學工具，其基本運算是延時(移位)、乘法、加法等。構(gòu)成差分方程的基本單元是延時器、乘法器、加法器.描述該系統(tǒng)的輸出y(n)與輸入x(n)的關(guān)系式為或延時器Z-1y(n)y(n-1)Σ相加x(n)y(n)x(n)+y(n)ax(n)ax(n)乘系數(shù)基本單元一般描述離散時間系統(tǒng)的線性差分方程為a和b是常數(shù)；M為已知函數(shù)x(n)的位移階次；N為未知函數(shù)y(n)的位移階次，對于一個可實現(xiàn)系統(tǒng)N≥M?！罘址匠淌降碾A數(shù)——未知序列變量序號的最高與最低值之差，即N。

補充知識：常系數(shù)線性差分方程的解法

一般情況下，線性時不變離散系統(tǒng)由常系數(shù)線性差分方程描述，方程的求解方法有下列幾種：

1、遞推解法（迭代法）

以y(n)-ay(n-1)=x(n)為例

設(shè)輸入x(n)=δ(n)，并假設(shè)y(-1)=0，從而有

y(0)=x(0)+ay(-1)=1y(1)=x(1)+ay(0)=ay(2)=x(2)+ay(1)=a2

···

y(n)=x(n)+ay(n-1)=an

此范圍僅限于n≥0，故應(yīng)將y(n)寫作

y(n)=anu(n)

該方法是解差分方程的一種原始方法，用計算機實現(xiàn)較方便，且方法簡單、概念清楚。但一般只能得出有限數(shù)值解，而不能直接給出完整的解析解.

2、時域經(jīng)典法類似于微分方程的經(jīng)典解法，分別求出方程的齊次解和特解，然后代入邊界條件求待定系數(shù)，該法也是基本方法之一。優(yōu)點：便于從物理概念上說明各響應(yīng)分量之間的關(guān)系。缺點：但求解過程較繁，在解決具體問題時已較少采用。但其求齊次解的思路則被利用來求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和單位樣值響應(yīng)。

3、零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)解法利用線性系統(tǒng)的可分解性，將系統(tǒng)響應(yīng)分解為零輸入與零狀態(tài)兩部分，利用時域經(jīng)典法求解零輸入響應(yīng)，用離散線性卷積的方法求解零狀態(tài)響應(yīng)。這也是現(xiàn)今通行的時域解法。

4、z變換法

這是實際應(yīng)用中簡便有效的方法。類似于用拉普拉斯變換解連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程。利用z變換求解離散系統(tǒng)的差分方程，不僅可求出差分方程的零狀態(tài)解，而且可求出零輸入解。更進一步，z變換法還可以用于研究離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)等諸多其他特性，并使離散系統(tǒng)的物理意義更清晰。

5、狀態(tài)空間分析法

近代控制理論中常用的方法之一。人們對控制系統(tǒng)不再只滿足于研究輸入輸出關(guān)系或系統(tǒng)的整體外特性，而要同時知道系統(tǒng)內(nèi)部某些環(huán)節(jié)的狀態(tài)或變化過程參數(shù)，以便設(shè)計和控制這些內(nèi)部參數(shù)達到預(yù)定的控制目的。離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方法，實質(zhì)上是用一組一階線性常系數(shù)差分方程組表示系統(tǒng)。通過解此一階差分方程組，得出系統(tǒng)的諸多輸出或內(nèi)部環(huán)節(jié)狀態(tài)變量。用求和符號表示

根據(jù)經(jīng)典解法，上式的解由齊次解(homogeneoussolution)和特解(particularsolution)組成。上式所對應(yīng)的齊次方程形式為該方程的解就是齊次解齊次解的求解方法：1）一階線性齊次差分方程求解若y(n-1)≠0表明序列y(n)構(gòu)成一個以常數(shù)a為公比的等比級數(shù)C由邊界條件確定的待定常數(shù)設(shè)邊界條件為y(0)＝b齊次解為2）N階齊次差分方程的解可以證明式的解是由N項形如Cdn的指數(shù)序列疊加而成的。y(n)=Cdn消去常數(shù)C，并逐項除以dn-N

從而得到一個一元N次方程，如果dk是上述一元N次方程的根，則y(n)=Cdkn

必定滿足N階齊次差分方程。通常，稱式為式的特征方程，而稱特征方程的根d1,d2,…,dN為差分方程的特征根?！谔卣鞲鶡o重根的情況下，差分方程的齊次解為系數(shù)C1,C2,…,CN取決于邊界條件▲在特征方程有重根的情況下，齊次解的形式略有不同。假定d1是特征方程式的K重根，那么在齊次解中，相應(yīng)于d1的部分將有K項

顯然，式中最后一項CKd1n一定滿足式

，若分別將其他各項C1nK-1d1n,C2nK-2d1n,…,CK-1nd1n代入式，則容易證明它們滿足式。特解的求解方法：

線性非齊次差分方程式的特解很容易求得。首先將激勵序列x(n)代入方程式右端（稱為自由項），觀察自由項的形式來選擇含有待定系數(shù)的特解形式，將此特解代入原非齊次差分方程后，通過與方程右端的自由項比較，求得特解中的待定系數(shù)。一般來講，已知自由項的形式，則特解形式可按下表確定（但不完全如此，有特例）。自由項特解形式C（常數(shù)）B（常數(shù)）nC0+C1nnkC0+C1n+C2n2+…+Ck-1nk-1+Cknkeαk(α為實數(shù)）C

eαkejωkA

ejωk(A為復數(shù)）sinωn(或cos

ωn)C1sinωn+C2cosωndkCdk(d不是方程的特征根）dk(C0+C1n+C2n2+…+Cr-1nr-1+Crnr)dk(d是方程的r重特征根)

【例】

求差分方程y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1)的完全解。其中激勵信號為x(n)=n2，且邊界條件為y(-1)=-1。解：1）齊次解為yh(n)=C(-2)n2)

將x(n)=n2代入差分方程的右端，得自由項為2n-1。從而特解為其中，D1和D2為待定系數(shù)，代入原方程得比較兩端系數(shù)得到D1=2/3，D2=1/9

完全解3）代入邊界條件，求出C=8/9邊界條件y(-1)=-1完全響應(yīng)▲注意1：利用邊界條件確定齊次解中的待定系數(shù)，一般情況下，對于N階差分方程，應(yīng)給定N個邊界條件，例如，取y(0),y(1),…,y(N-1)。利用這些條件，代入完全解的表達式中，構(gòu)成一聯(lián)立方程組，求得N個系數(shù)C1,C2,…,CN?！⒁?：差分方程式和微分方程式之間存在著很多相似之處。微分方程的齊次解一般具有eαmt的形式，而差分方程的齊次解一般具有αmn的形式。它們的特解都與各自自由項的形式相同，而且齊次解中的待定系數(shù)也都是邊界條件代入完全解中求解得到。參見ppt.11三、離散系統(tǒng)的卷積和描述及解卷1、卷積和描述

▲連續(xù)時間系統(tǒng)與卷積可以運用卷積積分方法求連續(xù)時間系統(tǒng)在任意輸入信號下所引起的響應(yīng)（又稱零狀態(tài)響應(yīng)）。卷積積分的物理意義：將激勵信號x(t)分解為脈沖序列，令每一脈沖作用于系統(tǒng)，求其沖激響應(yīng)，所有脈沖沖擊響應(yīng)的疊加，即為系統(tǒng)對此激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng).

▲離散時間系統(tǒng)與卷積和由于激勵信號與響應(yīng)信號均為離散時間序列，卷積積分→求卷積和，故有h(n)為系統(tǒng)對δ(n)的單位樣值響應(yīng)由因果性，有x(n)=0(n<0),y(n)=0(n<0)要點1：用卷積和公式求因果系統(tǒng)的輸出響應(yīng)時，只考慮外加激勵作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，它要求序列輸入之前初值為零，即系統(tǒng)初始不貯能。

要點2：離散時間系統(tǒng)的輸出與輸入的關(guān)系，既可用差分方程描述，又可用離散卷積和描述，不同之處在于后者的即時輸出為輸入序列的線性組合，即輸出與輸入之間存在非遞歸關(guān)系。此外，卷積和運算由于引入表征系統(tǒng)動態(tài)特性的h(n)，物理意義明顯.卷積和確立了輸入x(n)、y(n)和h(n)三者之間的關(guān)系，知其二可求另一個。2、解卷矩陣形式解卷第三節(jié)Z變換一、Z變換

●Z變換的定義1）由采樣信號的拉普拉斯(Laplace)變換引出；2）直接對離散信號給予定義。連續(xù)時間系統(tǒng)：微分方程代數(shù)方程LT理想采樣信號的LT：連續(xù)因果信號x(t)經(jīng)理想脈沖采樣，采樣信號為采樣間隔離散時間系統(tǒng)：差分方程代數(shù)方程Z變換LT引入復變量z=esT，即s=lnz/T通常令T=1離散信號x(n)的Z變換表達式式表明，X(z)是復變量z-1的冪級數(shù)（亦稱羅朗級數(shù)），其系數(shù)是序列x(n)的值，即x(n)的Z變換▲單邊與雙邊Z變換之分

x(n)的雙邊Z變換定義為1、z平面與s平面的映射關(guān)系n=0為單邊Z變換。如果x(n)為因果序列，單邊與雙邊Z變換相同二、Z變換（ZL）與Laplace變換（LT）▲采樣序列的Z變換X(z)就是理想采樣信號的拉氏變換Xs(s)。兩者是由復變量s平面到復變量z平面的映射變換，映射關(guān)系為：矢徑r=eσT=e2πσ/ωs矢角θ=ωT=2πω/ωsT采樣間隔可見，復變量z的模r對應(yīng)了s的實部；z的輻角θ對應(yīng)了s的虛部ω。z平面與s平面的映射關(guān)系θθθθθθθ2、LT與ZT的周期性設(shè)模擬信號x(t)的LT為X(s)，其理想采樣信號xs(t)的LT為Xs(s)，可以證明二者之間的關(guān)系為：采樣頻率ωs=2π/T,T為采樣間隔

此式表明，Xs(s)在s平面上是X(s)沿虛軸的周期延拓，其周期為ωs。由z-s的映射關(guān)系，在s平面上沿虛軸周期移動，相應(yīng)于在z平面上沿單位圓周期性旋轉(zhuǎn)；并且z平面上的旋轉(zhuǎn)矢rejθ是以ωs為周期的周期函數(shù)。因此，在s平面上每移動ωs，則在z平面為沿單位圓旋轉(zhuǎn)一周。這表明z-s映射并不是單值的。為了說明這個問題，不妨把z平面想象為以原點為中心的無窮層疊在一起的螺旋面（螺距為無窮小）。當s平面上沿jω軸變化時，映射到z平面上則是隨著輻角θ的增加，沿螺旋面變化。即當ω每增加一個采樣頻率ωs時，輻角θ增加2π，相應(yīng)螺旋面重復旋轉(zhuǎn)一周。三、Z變換與Fourier變換

FT是LT在s平面虛軸上的特例，即s=jω。因此，連續(xù)信號的FT(X(ω))與理想采樣信號FT(Xs(ω))的關(guān)系為：即Xs(ω)是X(ω)沿虛軸的延拓。由于s平面上的虛軸映射到z平面上是單位圓，因此，采樣序列的Z變換：此式表明，采樣序列在單位圓上的ZT就等于理想采樣信號的FT（即其頻譜）。已知理想采樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，這種頻譜周期重復的現(xiàn)象，體現(xiàn)在ZT中則是ejωT為ω的周期函數(shù)，即ejωT是ω的變化而表現(xiàn)在單位圓上的重復循環(huán)，亦可想象為直徑等于1而螺距為無窮小的螺旋線。理想采樣信號xs(t)、理想采樣信號的頻譜Xs(ω)、采樣序列的Z變換X(ejω)之間的關(guān)系如上圖。四、Z變換與離散Fourier變換

DFT是ZT的一種特例。因為ZT是采樣序列x(n)的復頻譜X(z)。當ZT值限定在z平面的單位圓(z=ejωT)上時，X(z)就轉(zhuǎn)化為該序列的FT

X(ejωT)。如果在該單位圓上按等分角進行頻率抽樣，即ωT=2πk/N，k=0,1,2,…,N–1,則相應(yīng)采樣點的FT值X(ej2πk/N)就是序列的DFTX(k)。它表示序列x(n)的穩(wěn)態(tài)譜或?qū)嶎l譜。五、逆Z變換（IZT）

計算IZT最直接的方法是查變換表，但該方法往往不敷實際應(yīng)用。常用的有冪級數(shù)法、部分分式展開法和留數(shù)定理法。ZTZ[x(n)]IZTZ-1[x(n)]補充知識（1）：Z變換的收斂問題只有當收斂，z變換才有意義?！锶我庥薪缧蛄衳(n)，其z變換收斂的充要條件為正項級數(shù)判別正項級數(shù)收斂性的常用方法有比值判定法和根值判定法。1）比值判定法（達朗貝爾D’Alembert判定法）

設(shè)正項級數(shù)的后項與前項比值的極限等于,則當ρ<1時級數(shù)收斂，ρ>1時級數(shù)發(fā)散，ρ=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。2）根值判定法（達朗貝爾D’Alembert判定法）

設(shè)為正項級數(shù)，如果，則當ρ<1時級數(shù)收斂，ρ>1時級數(shù)發(fā)散，ρ=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。補充知識（2）：冪級數(shù)及其收斂性1、定義形如的級數(shù)稱為冪級數(shù)，an為冪級數(shù)系數(shù)。2、收斂性例如級數(shù)當|x|<1時收斂，當|x|≥1時發(fā)散；收斂域(-1,1)；發(fā)散域(-∞,-1]和[1,+∞)。定理1（Abel定理）如果級數(shù)在x=x0(x0≠0)處收斂，則它在滿足不等式|x|<|x0|的一切x處絕對收斂。如果級數(shù)在x=x0處發(fā)散，則它在滿足不等式|x|>|x0|的一切x處發(fā)散。證明：

（1）因為收斂，則,存在M，使|anx0n|≤M(n=0,1,2,…)

（如果數(shù)列的極限存在，則該數(shù)列有界）因為當|x/x0|<1時，等比級數(shù)收斂,所以收斂，即級數(shù)絕對收斂。（2）假設(shè)當x=x0時發(fā)散，而有一點x1滿足|x1|>|x0|使級數(shù)收斂，由（1）中結(jié)論，則級數(shù)當x=x0時應(yīng)收斂，這與所設(shè)矛盾。幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域0R-R推論：如果冪級數(shù)不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數(shù)R存在，它具有下列性質(zhì)：1)當|x|<R，冪級數(shù)絕對收斂；2)當|x|>R，冪級數(shù)發(fā)散；3)當x=R與x=-R，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。R為收斂半徑。收斂區(qū)間的四種可能的情況：(-R,R)，[-R,R)，(-R,R]，[-R,R]規(guī)定：1）冪級數(shù)只在x=0處收斂時，R=02）冪級數(shù)對一切x都收斂，R=+∞問題：如何求冪級數(shù)的收斂半徑?則，1）當ρ≠0時，R=1/ρ；2）當ρ=0時，R=∞；3）當ρ=+∞時，R=0定理2：如果冪級數(shù)的所有系數(shù)an≠0，補充知識（3）：利用根值判定法討論幾類序列的z變換的收斂域1、有限長序列

有限長序列是指只在有限的區(qū)間（如n1≤n≤n2)具有非零的有限值的時間序列,此時，其z變換為由于n1，n2是有限整數(shù)，因而上式是一個有限項級數(shù)。

當n1≥0時，X(z)除了z=0點外，在z平面上處處收斂，其收斂域可表示為|z|>0

當n2≤0時，X(z)除了z=∞點外，在z平面上處處收斂，從而收斂域可表示為|z|<∞；

當n1<0，n2>0時，X(z)除了在z=0和z=∞兩點外，在z平面上處處收斂，因而收斂域可表示為0<|z|<∞。

所以有限長序列的z變換的收斂域至少為0<|z|<∞，但可能還包括z=0或z=∞,這由序列的形式所決定。2、右邊序列（又稱有始無終序列）右邊序列是當n<n1時x(n)=0。此時z變換為若滿足即則該級數(shù)收斂，其中Rx1為級數(shù)的收斂半徑。可見，右邊序列的收斂域是半徑為Rx1的圓外部分。如果n1≥0，則收斂域包括z=∞，即|z|>Rx1；如果n1<0，則收斂域不包括z=∞，即收斂域為Rx1<|z|<∞。顯然，當n1≥0時，右邊序列就為因果序列，即，因果序列是右邊序列的一種特例，它的收斂域是|z|>Rx1。3、左邊序列（又稱無始有終序列）左邊序列是當n>n2時，x(n)=0。此時z變換為令m=-nm→n若滿足即則該級數(shù)收斂?？梢姡筮呅蛄械氖諗坑蚴前霃綖镽x2的收斂圓的內(nèi)部。如果n2>0，則收斂域不包括z=0(原點)，即0<|z|<Rx2。如果n2≤0，則收斂域包括z=0，即|z|<Rx2。4、雙邊序列（又稱無始無終序列）雙邊序列是從n=-∞延伸到n=+∞的序列，其z變換可寫成顯然，可以把它看成是左邊序列與右邊序列z變換的疊加。上式右邊第一個級數(shù)是左邊序列的z變換，其收斂域為|z|<Rx2；第二個級數(shù)是右邊序列的z變換，其收斂域為|z|>Rx1；因而雙邊序列的收斂域是左邊序列與右邊序列兩個收斂域的交疊部分。如果Rx2>Rx1，則雙邊序列x(n)的z變換X(z)的收斂域是Rx1<|z|<Rx2。即雙邊序列的收斂域是一個環(huán)形區(qū)域。如果Rx2≤Rx1，即兩個收斂域不交疊，因而雙邊序列X(z)的收斂域不存在，也即序列x(n)的雙邊z變換不存在。注意：上面討論了各種序列的雙邊z變換的收斂域，顯然，收斂域取決于序列的形式。為便于對比，將上述幾類序列的雙邊z變換收斂域列于下表。

應(yīng)當指出，任何序列的單邊z變換的收斂域和因果序列的收斂域相同，它們都是|z|>Rx1。只要在給定的收斂域內(nèi)將X(z)展成冪級數(shù)，則級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。1、冪級數(shù)法因為x(n)的ZT為z-1的冪級數(shù)，即●一般情況下，X(z)是有理函數(shù)(有理函數(shù)——通過多項式的加減乘除得到的函數(shù))，令分子多項式和分母多項式分別為B(z)和A(z)。1）如果X(z)的收斂域是|z|>Rx1，則x(n)必然是因果序列，此時將B(z)和A(z)按z的降冪（或z-1的升冪）次序進行排列。2）如果收斂域是|z|<Rx2，則x(n)必然是左邊序列，此時將B(z)和A(z)按z的升冪（或z-1的降冪）次序進行排列。然后利用長除法，便可將X(z)展成冪級數(shù)，從而得到x(n)。

解：（1）對于收斂域|z|>1，x(n)是因果序列，這時X(z)按z-1的升冪次序進行排列，并列寫長除式如下：【例】求收斂域分別為（1）|z|>1和（2）|z|<1兩種情況下,

的逆變換x(n)補充知識（4）：求X(z)的逆變換x(n)所以從而得到表明因果序列（2）若收斂域|z|<1，則x[n]是左邊序列，這時X(z)按z.1的降冪次序進行排列，并列寫長除式：所以從而得到降冪次序排列升冪次序排列2、部分分式展開法實際上，序列的z變換通常是z的有理函數(shù)，一般可以表示成有理分式形式可以先將X(z)展開成一些簡單而常見的部分分式之和，然后分別求出各部分分式的逆變換，再把各逆變換相加即可得到x(n)。z變換最基本的形式是z/(z-zm)

，在利用z變換的部分分式展開法的時候，通常先將X(z)/z

展開，然后每個分式乘以z，這樣對于一階極點，X(z)便可展開成z/(z-zm)的形式。將X(z)/z

進行部分分式展開的方法和拉氏變換中將F(s)展開成部分分式的方法相同。在上述展開式中，部分分式的基本形式除z/(z-a)形式外，還具有z/(z-a)2,…,z/(z-a)m或zm/(z-a)m等形式，下表列出了這些形式的相應(yīng)的逆變換。但要注意的是，如果是非因果序列，展開后每一項分式所對應(yīng)的序列是右邊序列還是左邊序列，要根據(jù)給定的收斂域進行判斷。附表列出了左邊序列的這些形式的相應(yīng)的逆變換和常用序列的雙邊z變換(因果序列)

【例1】求函數(shù)X(z)=1/(z2-0.8z+0.15)(|z|>0.5)

的逆變換x(n)解：將X(z)/z展開成部分分式為其中所以因為收斂域為|z|>0.5，因此對應(yīng)的x(n)為因果序列，得到【例2】求函數(shù)X(z)=12/[(z+1)(z-2)(z-3)](1<|z|<2)

的逆變換x(n)解：將X(z)/z展開成部分分式為所以根據(jù)給定的收斂域1<|z|<2可以判斷出，上式前兩項的收斂域都滿足|z|>1，因而它們對應(yīng)的逆變換應(yīng)是右邊序列，而后兩者的收斂域都滿足|z|<2，故它們對應(yīng)的逆變換應(yīng)是左邊序列。查表得到解：X(z)中包含一階極點z=4和三階極點z=2，可將X(z)/z展開成如下部分分式所以由收斂域|z|>4可知，X(z)對應(yīng)的逆變換x(n)是因果序列。查表求出其逆變換【例3】求的逆變換x(n)3、留數(shù)定理法●

X(z)的逆變換可由圍線積分給出，即

C是包圍X(z)zn-1所有極點的逆時針閉合積分路線，通常選擇z平面收斂域內(nèi)以原點為中心的圓。公式推導：由z變換定義因為上述推導過程中，并未規(guī)定m及n的正負，故上式對正與負的n值都是正確的。式兩邊各乘以zm-1，沿C積分根據(jù)復變函數(shù)理論中的柯西定理該圍線積分只有當n=m時為2πj，而對其余的n均為零，故等號右邊只剩下2πjx(m)●利用留數(shù)定理求逆z變換如果X(z)zn-1在z=zm處有s階極點，它的留數(shù)由下式確定式中Res表示極點的留數(shù)值，z=zm為X(z)zn-1的極點。

▲在應(yīng)用上述公式時，應(yīng)注意圍線所包圍的極點情況，特別是對于不同的n值，在z=0處的極點可能具有不同的階次。表示為圍線C內(nèi)所包含X(z)zn-1的各極點留數(shù)之和，即借助于復變函數(shù)的留數(shù)定理，可將式的積分或若只含一階極點，即s=1這里，沿C的積分是按關(guān)于D正向取的。

因此：Res(f,z0)=α-1。當z0為f(z)可去極點時，Res(f,z0)=0?！窳魯?shù)與留數(shù)定理留數(shù)定義:設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域0<|z–z0|<R內(nèi)解析，取r滿足0<r<R，作圓C：|z–z0|=r，則稱積分為f(z)在孤立極點z0的留數(shù)，記作Res(f,z0)，(C取正向)。易知Res(f，z0)與r無關(guān)。在0<|z-z0|<R，設(shè)在C上一致收斂，逐項可積，所以

留數(shù)定理：設(shè)D是在復平面上的一個有界區(qū)域，其邊界是一條或有限條簡單閉曲線C。設(shè)函數(shù)f(z)在D內(nèi)除去有孤立極點z1,z2,,zn外，在每一點都解析，并且它在C上每一點也解析，則有第四節(jié)離散時間系統(tǒng)的z域分析一、系統(tǒng)函數(shù)線性非移變離散系統(tǒng)的差分方程式為令a0=1對于因果系統(tǒng)，初始為零狀態(tài)，式兩邊取Z變換令H(z)=Y(z)/X(z)H(z)為系統(tǒng)函數(shù)，表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵的Z變換之比值。分子分母分解因式

▲cr是H(z)在z平面的零點，dk是H(z)在z平面的極點。因此，除了比例常數(shù)A外，整個系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零極點來唯一確定。二、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

▲系統(tǒng)對正弦激勵的輸出響應(yīng)，其頻率與輸入頻率相同，幅度等于輸入的幅度乘以系統(tǒng)函數(shù)在激勵信號頻率下的幅度，相移等于系統(tǒng)函數(shù)的相角。▲結(jié)論：單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻響，系統(tǒng)的頻響也就是系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的傅氏變換。對穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，若輸入頻率為ω0的復正弦序列，其輸出

離散系統(tǒng)的幅度響應(yīng)相位響應(yīng)由于H(ejω0)是系統(tǒng)對頻率為ω0的正弦激勵的響應(yīng)，所以系統(tǒng)函數(shù)在z平面單位圓上的值，就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。這一點也可對卷積式兩端直接取離散傅氏變換得到，即

三、系統(tǒng)頻響的幾何確定方法在z平面上，ejω-cr可用一根由零點cr指向單位圓上ejω點的向量Cr（又稱零矢量）來表示；ejω-dk可用一根由極點dk指向單位圓上ejω點的向量Dk（又稱極矢量）來表示，由此得到系統(tǒng)函數(shù)的零極點表示系統(tǒng)的頻率響應(yīng)極坐標表示極坐標表示

▲系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅度可由零點、極點指向ejω點的向量的幅度來確定；而頻率響應(yīng)的相位則由這些向量的輻角來確定。

▲當頻率ω由0~2π時，這些向量的終端沿單位圓反時針方向旋轉(zhuǎn)一周，可以估算出整個系統(tǒng)的頻響。

▲圖示分析：具有兩個極點、一個零點的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

1）極點當ejω在某個極點dk附近時，|Dk|最短，因而頻響|H(ejω)|在這附近出現(xiàn)峰值。極點dk距離單位圓的|Dk|值越小，頻率響應(yīng)出現(xiàn)的峰值越尖銳。顯然，當極點dk處在單位圓上時，|Dk|值為零，這時在dk所在點的頻響將出現(xiàn)無窮大，這相當于在該頻率點出現(xiàn)無耗(Q→∞)諧振。當極點越出單位圓時，系統(tǒng)將處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

2）零點零點ck的位置與頻響的關(guān)系則正好相反，當ejω點越靠近某零點ck時，頻響就越低，這時頻率響應(yīng)|H(ejω)|將出現(xiàn)谷點。零點越靠近單位圓，谷點越接近零；當零點處在單位圓上時，谷點為零?！纠恳浑A系統(tǒng)分析一階系統(tǒng)的差分方程式為可見，該系統(tǒng)有一個零點z=0；一個極點z=a1。系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng):系統(tǒng)的頻率響應(yīng)幅度響應(yīng)

相位響應(yīng)

▲幾何方法分析：因為零點(z=0)位于中心，故零矢量的|Cr|=1是一個定值。所以頻響|H(ejω)|值決定于極矢量變化。當ω=0，2π，4π，…時，極點a1最靠近單位圓，此時|H(ejω)|具有最大值(峰值)；當ω=π，3π,…時，|H(ejω)|具有最小值(谷值).

顯然，為保證該系統(tǒng)穩(wěn)定，要求|a1|<1，即極點在圓內(nèi)。進一步分析可知，如果0<a1<1，則系統(tǒng)呈“低通”特性；若-1<a1<0，則系統(tǒng)呈“高通”特性；若a1=0，則呈“全通”特性。

參見ppt.35第五節(jié)數(shù)字濾波器的原理與結(jié)構(gòu)一、數(shù)字濾波器的分類1、按頻率響應(yīng)特性，分低通、高通、帶通、帶阻濾波器2、按單位樣值響應(yīng)h(n)的時間特性，分無限沖激響應(yīng)、有限沖激響應(yīng)濾波器

（1）無限沖激響應(yīng)（Infiniteimpulseresponse，簡稱IIR）濾波器（2）有限沖激響應(yīng)（Finiteimpulseresponse，簡稱FIR）濾波器3、按可實現(xiàn)濾波的方法，分遞歸濾波器與非遞歸濾波器

h(n)包含無限個非零值，持續(xù)時間無限長輸入為單位樣值函數(shù)δ(n)

▲特點：其系統(tǒng)函數(shù)一般包含零點和極點。因系統(tǒng)含有反饋環(huán)路，系統(tǒng)在一定條件下才穩(wěn)定，且h(n)通常是無限長的，此類濾波器一般屬于IIR濾波器.（2）非遞歸濾波器

▲

H(z)除z=0點外，只有零點，沒有極點，它屬于全零點數(shù)字濾波器，所以這個系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（1）遞歸濾波器其差分方程式為y(n)不僅取決于輸入值(包括即時輸入與過去的輸入)，而且取決于以前的輸出值系統(tǒng)函數(shù)為▲其h(n)等于差分方程的系數(shù)，且為有限長，故此類濾波器屬于FIR濾波器此外，按濾波器可實現(xiàn)的方法，分數(shù)字網(wǎng)絡(luò)方法與FFT方法。遞歸與非遞歸濾波均屬數(shù)字網(wǎng)絡(luò)方法；快速卷積即為FFT方法?！纠?/p>

數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)如下，其硬件實現(xiàn)方法見圖二、數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)1、數(shù)字濾波器的硬件、軟件實現(xiàn)

●實現(xiàn)數(shù)字濾波器的兩種方法：硬件實現(xiàn)——用數(shù)字硬件組裝成專用設(shè)備，稱為數(shù)字信號處理機；軟件＋計算機——將所需運算編程，用軟件實現(xiàn).2、數(shù)字濾波器的運算結(jié)構(gòu)圖

▲用信號流程圖法分析IIR濾波器及FIR濾波器的運算結(jié)構(gòu)圖中的一階數(shù)字濾波器信號流程圖，是具有六節(jié)點的簡單圖，每個節(jié)點的信號值：①x(n)；②x(n-1)；⑤y(n-1)；⑥b1x(n-1)+a1y(n-1)；④=③；③b0x(n)+[b1x(n-1)+a1y(n-1)]=y(n)。數(shù)字濾波系統(tǒng)差分方程式表示h(n)表示H(z)表示運算結(jié)構(gòu)圖表示方塊圖特魯克薩爾(Truxal)信號流圖一階數(shù)字濾波器信號流程圖方塊圖按流入節(jié)點的信號計算【例】

差分方程和系統(tǒng)函數(shù)如下（1）IIR

濾波器的結(jié)構(gòu)

特點：其H(z)在有限z平面上有極點存在，h(n)延續(xù)到無限長，其結(jié)構(gòu)特點——屬遞歸型結(jié)構(gòu)，存在反饋回路。而且，具體實現(xiàn)起來，結(jié)構(gòu)并不是唯一的。同一個系統(tǒng)函數(shù)H(z)，可以有各種不同結(jié)構(gòu)形式。直接型結(jié)構(gòu)：y(n)由兩部分組成，1）對x(n)的M節(jié)延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，每節(jié)延時抽頭后加權(quán)相加；2）對y(n)的N節(jié)延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，它是一個反饋網(wǎng)絡(luò)。這兩部分相加構(gòu)成輸出。實現(xiàn)這種直接型結(jié)構(gòu)，需用2N（N=M）級延時單元。正準型結(jié)構(gòu)：運算結(jié)構(gòu)使延時單元節(jié)省一半，可減少硬件(寄存器、延時器)數(shù)量，軟件法實現(xiàn)可節(jié)省占用的存貯單元.

此外，還有級聯(lián)型、并聯(lián)型等,不同結(jié)構(gòu)的精度、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性以及運算速度等有所不同（2）FIR

濾波器的結(jié)構(gòu)

特點：其h(n)為有限長序列；y(n)只與輸入x(n)，x(n-1)，…有關(guān)；H(z)除z=0點外，只有零點沒有極點，是全零點數(shù)字濾波器，系統(tǒng)穩(wěn)定?！捎谙到y(tǒng)的穩(wěn)定性，濾波器的輸出可用卷積和來描述，即

h(n)是有限長的濾波因子，它與所要濾波的信號卷積，即可實現(xiàn)濾波過程，故FIR濾波器又稱卷積濾波器，其輸出是有限個輸入信號取樣值的加權(quán)線性和.★頻率采樣型FIR濾波器結(jié)構(gòu)，是較為復雜的、高度模塊化結(jié)構(gòu)，需要較多存貯器和乘法器。只要適當改變加權(quán)值，就可構(gòu)成不同的濾波器組，如用它來代替信號頻譜分析儀中一群并列的濾波器，可方便地過濾信號中各頻率分量.

★這里的y(n)=x(n)*h(n)是有限長序列的線卷積問題，可轉(zhuǎn)化為圓卷積來求解，而圓卷積可利用FFT技術(shù)實現(xiàn)快速運算，故可得到圖6-27所示的快速卷積型FIR濾波器結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)首先通過增添零值的方法延長序列x(n)和h(n)的長度，然后分別求延長了的x(n)和h(n)的FFT，得X(k)和H(k)，最后求X(k)·H(k)的IFFT便得到系統(tǒng)的輸出y(n)。該結(jié)構(gòu)的特點是能對信號進行高速處理。★直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu),其差分方程式也就是信號的卷積形式.

∞改為M第六節(jié)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法概述一、IIR濾波器設(shè)計方法的特點設(shè)計過程大致分三步：（1）確定濾波器的性能要求；（2）利用因果性系統(tǒng)函數(shù)去逼近性能要求；（3）利用有限精度算法去實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)。

●設(shè)計數(shù)字濾波器的關(guān)鍵是根據(jù)給定的技術(shù)指標來確定可實現(xiàn)的H(z)。因為H(z)不僅描述系統(tǒng)的傳輸特性，而且可用來估計系統(tǒng)的數(shù)學模型能否實現(xiàn).根據(jù)數(shù)字濾波器的采樣性質(zhì)，其頻響H(ejω)是一個以2π為周期的連續(xù)函數(shù)（頻譜延拓），這與模擬濾波器不同。一般情況下，具有實系數(shù)而可實現(xiàn)的傳輸函數(shù)，其幅頻特性是頻率的偶函數(shù)，相位特性是頻率的奇函數(shù)，即1、IIR濾波器設(shè)計的基本條件●數(shù)字濾波器的設(shè)計應(yīng)滿足：

因果性條件

h(n)=0(n<0)

；穩(wěn)定性條件低通高通帶通帶阻全通

說明：1）為滿足因果條件，H(z)應(yīng)為有限函數(shù)，分母多項式的階次必須大于或至少等于分子多項式的階次，即N≥M。因為只有這樣，才能使與它相應(yīng)的差分方程式代表因果系統(tǒng)。2）為滿足穩(wěn)定性條件，H(z)的極點必須分布在z平面的單位圓內(nèi)，同時要求H(z)是具有實系數(shù)的有理分式，極點的分布具有共軛對稱性。否則，序列的延遲單元、加法器等，因不是實數(shù)而難以實現(xiàn)運算.2、IIR濾波器的設(shè)計方法（1）脈沖響應(yīng)不變法（又稱為時域采樣法）

●主要有兩種方法：1）利用模擬濾波器的理論來設(shè)計，該方法又分為脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法等；2）計算機輔助設(shè)計，即采用最優(yōu)技術(shù)進行設(shè)計。這里只介紹第一種方法。

基本思路：先根據(jù)給定的濾波指標，設(shè)計一模擬濾波器→對模擬濾波器的脈沖響應(yīng)作均勻采樣→求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即

設(shè)計原則：使h(n)與所參照的模擬濾波器的沖激響應(yīng)的取樣值完全一樣，即h(n)=ha(nT)，T為采樣周期。根據(jù)采樣序列的Z變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系，得到參見：LT與ZT的周期性顯然，將模擬濾波器變?yōu)閿?shù)字濾波器，就是從s平面到z平面的變換過程。由于是均勻采樣，所以數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波頻響的周期延拓，即這時才可能使數(shù)字濾波器的頻響不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，即根據(jù)s平面到z平面的影射關(guān)系，jω軸上每一個周期間隔(ωs=2π/T)都對應(yīng)于z平面上繞單位圓轉(zhuǎn)一周，見圖。因此，如果模擬濾波器的頻響是帶限于折疊頻率以內(nèi)(ωc≤ωs/2)的，則有

★任一實際模擬濾波器的頻響都不可能是真正帶限的，這就不可避免地要出現(xiàn)頻譜交疊，即頻混現(xiàn)象。這時，數(shù)字濾波器的頻響就不同于模擬濾波器的頻響，產(chǎn)生失真。模擬濾波器的頻響在折疊頻率以上衰減越大，此失真就越小，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器方能得到較好效果。故這種方法僅適于設(shè)計帶通有限的窄帶濾波器。模擬濾波器頻響數(shù)字濾波器頻響ω/T?更正（2）雙線性變換法出發(fā)點：克服脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊?！?/p>

如何將s平面的jω軸壓縮到s1平面的jω1軸上的-π/T~π/T一段上？方法：正切變換，即ω=tan(ω1T/2)將這個關(guān)系解析延拓到整個s平面，則得到s平面到s1平面的映射關(guān)系：s1產(chǎn)生混疊的原因：從s平面到z平面影射變換(z=esT)的多值對應(yīng)關(guān)系?；舅悸罚悍謨刹竭M行變換，第一步，先將整個s平面壓縮到s1平面的一條橫帶里；第二步，將此橫帶變換到整個z平面上去，使s平面與z平面建立一一對應(yīng)的單值關(guān)系，即可消除頻率混疊現(xiàn)象。因此，當σ=0，|z|=1，s平面的jω軸映射到z平面的單位圓上；當σ<0，|z|<1，s平面的左半部分映射到z平面的單位圓內(nèi)；當σ>0，s平面的右半部分映射到z平面的單位圓以外。▲上述變換符合前面所提出的映射變換的總要求，因為即s平面的虛軸影射到z平面正是單位圓。

s平面→z平面的單值映射：此式稱為線性分式變換此式也為線性分式函數(shù)雙線性變換s平面→s1平面的映射：s1平面→z平面的映射：當當▲注意

二、FIR濾波器設(shè)計的特點

問題：IIR濾波器的設(shè)計方法能夠使IIR濾波器具有優(yōu)良的幅頻特性，但忽略了相位條件。例如，用巴特沃茲、切比雪夫函數(shù)逼近，就屬于這一情況。但在實際應(yīng)用中，如數(shù)據(jù)傳輸、圖像處理等系統(tǒng)，對數(shù)字濾波器既要求有線性相移，又要滿足給定的幅頻特性。這時，IIR濾波器設(shè)計方法不能滿足設(shè)計的預(yù)定要求。1、FIR濾波器具有線性相位的充要條件

FIR濾波器的設(shè)計方法：最大特點是與模擬濾波器設(shè)計無關(guān)，相移特性可以設(shè)計成具有嚴格的線性，而幅頻特性則是任意的。

1）雙線性變換法是一個代數(shù)變換，只要將s平面與z平面之間存在的簡單代數(shù)關(guān)系直接代人模擬濾波器傳遞函數(shù)中，就可求得相應(yīng)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和頻響。因此，模擬濾波器所具有的優(yōu)良特性就得以保留。

2）從s→s1平面的變換過程中，頻率關(guān)系不是線性的，只有在低頻段近似于線性，而頻率ω1越高，ω被壓縮得越厲害，因而會出現(xiàn)非線性畸變現(xiàn)象。一般運用“預(yù)畸”方法加以校正。對FIR濾波器，有當要求濾波器具有嚴格線性相位特性，或者說具有相位不失真條件，應(yīng)有與模擬濾波器相似，數(shù)字濾波器的相頻特性與濾波器對離散信號的時延有密切的關(guān)系。按相時延與群時延的定義有：此式具有傅里葉級數(shù)的形式，根據(jù)傅氏級數(shù)的性質(zhì)，若能找到解，則這個解是唯一的。利用數(shù)學歸納法，可以得到此式的解為由此得這就是FIR濾波器具有嚴格線性相位的充要條件：單位樣值響應(yīng)為偶對稱性序列h(n)=h(N-1-n)，相位延時等于h(n)長度的一半，即(N-1)/2個采樣周期?！鴮τ谥灰缶哂泻愣ǖ娜簳r延的濾波器，應(yīng)滿足的相位條件為這時的相頻特性仍是一條直線，但信號通過濾波器不僅有(N-1)/2個采樣周期的群時延，而且還產(chǎn)生π/2的相移，并且單位樣值響應(yīng)對于中心n=(N-1)/2是奇對稱。下圖示意了當N取奇數(shù)時的偶對稱與奇對稱的情況。根據(jù)h(n)的奇、偶對稱性，以及N是奇數(shù)或偶數(shù)等特點，有如下四種情況：

(a)

N為奇數(shù)，偶對稱(b)

N為奇數(shù)，奇對稱▲關(guān)于FIR濾波器的幅度響應(yīng)特性

第一種：h(n)為偶對稱，N為奇數(shù)第二種：h(n)為偶對稱，N為偶數(shù)第三種：h(n)為奇對稱，N為奇數(shù)第四種：h(n)為奇對稱，N為偶數(shù)下圖表示了第一，二種情況。（a）表示了線性相位關(guān)系；（b）表示了N為奇數(shù)時h(n)的偶對稱情況；（c）表示了幅度響應(yīng)特性；（d）、（e）表示了N為偶數(shù)，h(n)為偶對稱情況及其幅度響應(yīng)特性。2、FIR濾波器的設(shè)計方法（1）矩形窗口法▲FIR濾波器設(shè)計的中心任務(wù)是確定有限長沖激響應(yīng)序列h(n)?？紤]到數(shù)字濾波器的頻響是一個以采樣頻率ωs=2π/T為周期的周期函數(shù)，故可以在頻域內(nèi)將它展開為傅里葉級數(shù)。設(shè)指標所要求的理想頻響為Hd(ejω)，則其傅里葉級數(shù)為可見，這樣把傅里葉級數(shù)與沖激響應(yīng)聯(lián)系起來，只要求得系數(shù)hd(n)，傳輸函數(shù)的系數(shù)也就確定了，故此法又稱為傅里葉級數(shù)法?！捎贔IR濾波器的h(n)是有限的，而理論上的單位樣值響應(yīng)hd(n)是一個無限長的序列，并且是非因果性的。因此，要想利用h(n)去逼近hd(n)就必須解決兩個問題：1）取多少項？，2）因果性問題。1）取多少項?最簡單的方法是將hd(n)直接截斷，這就相當于傅里葉級數(shù)取有限N項，即

hd(n)的項數(shù)雖然有限，但其相應(yīng)的差分方程式將會出現(xiàn)輸出先于輸入的序列，是非因果性的。表明：一個可實現(xiàn)的因果系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，其相應(yīng)的h(n)是一個有限長度N的序列。以上引入z-M并沒有改變HN(z)的幅度特性，只是改變了原來的相位，使時延增加了M（或MT）或(N-1)/2。故h(n)與設(shè)計指標所要求的理想沖激響應(yīng)hd(n)之間存在下列關(guān)系：2）解決因果性問題解決方法：利用序列的移位特性，將有限長序列通過一定的時延，得到

▲當有限沖擊響應(yīng)h(n)所取的長度N確定以后，即可根據(jù)給定的指標