西電數(shù)字信號處理第4章

第4章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)4.1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點與表示方法4.2IIR濾波器的結(jié)構(gòu)4.3FIR濾波器的結(jié)構(gòu)4.1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點與表示方法數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分。數(shù)字濾波實際上是一種運算過程，其功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列，因此它本身就是一臺數(shù)字式的處理設備。數(shù)字濾波器一般可以用兩種方法實現(xiàn)：一種是根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學模型或信號流圖，用數(shù)字硬件裝配成一臺專門的設備，構(gòu)成專用的信號處理機；另一種方法就是直接利用通用計算機，將所需要的運算編成程序讓計算機來執(zhí)行，這也就是用軟件來實現(xiàn)數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器是離散時間系統(tǒng)，所處理的信號是離散時間信號。一般時域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡可以用差分方程、單位脈沖響應以及系統(tǒng)函數(shù)進行描述。如果系統(tǒng)輸入、輸出服從N階差分方程(4-1)則其系統(tǒng)函數(shù)，即濾波器的傳遞函數(shù)為(4-2)為了用專用硬件或軟件實現(xiàn)對輸入信號的處理，需要把式（4-1）或式(4-2)變換成一種算法。對于同一個系統(tǒng)函數(shù)H(z)，對輸入信號的處理可實現(xiàn)的算法有很多種，每一種算法對應于一種不同的運算結(jié)構(gòu)（網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)）。例如：(4-3)觀察式(4-3)可知，對應于每一種不同的運算結(jié)構(gòu)，我們都可以用三種基本的運算單元：乘法器、加法器和單位延時器來實現(xiàn)。這三種基本運算單元的常用流圖表示方法如圖4-1所示。圖4-1三種基本運算的流圖4.2IIR濾波器的結(jié)構(gòu)4.2.1直接型（Ⅰ型）

一個N階的IIR濾波器的輸入輸出關(guān)系可以用如式（4-1）所示的N階的差分方程來描述。把式（4-1）重寫如下：從這個差分方程表達式可以看出，系統(tǒng)的輸出y(n)由兩部分構(gòu)成：第一部分 是一個對輸入x(n)的M階延時鏈結(jié)構(gòu)，每階延時抽頭后加權(quán)相加，構(gòu)成一個橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡。第二部分 是一個對輸出y(n)的N階延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡，是由輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡。由這兩部分相加構(gòu)成輸出，取M=N可得其結(jié)構(gòu)圖如圖4-2。從圖上可以看出，直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)需要2N個延時器和2N+1個乘法器。圖4-2直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)4.2.2直接Ⅱ型

直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)又稱為正準型結(jié)構(gòu)。由圖4-2，直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)也可以看成是兩個獨立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積。輸入信號x(n)先通過系統(tǒng)H1(z)，得到中間輸出變量y1(n)，然后再把y1(n)通過系統(tǒng)H2(z)得到輸出信號y(n)。即式中,對應的差分方程為:對應的差分方程為假設所討論的IIR數(shù)字濾波器是線性非時變系統(tǒng)，顯然交換H1(z)和H2(z)的級聯(lián)次序不會影響系統(tǒng)的傳輸效果，即若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子階數(shù)和分母階數(shù)相等，即M=N時，其結(jié)構(gòu)如圖4-3所示。輸入信號x(n)先經(jīng)過反饋網(wǎng)絡H2(z)，得到中間輸出變量然后，將y2(n)通過系統(tǒng)H1(z)，得到系統(tǒng)的輸出y(n)結(jié)構(gòu)圖4-3中有兩條完全相同的對中間變量y2(n)進行延遲的延時鏈，我們可以合并這兩條延時鏈，得到如圖4-4所示的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)（圖中取M=N）。

比較圖4-2和圖4-4可知:直接Ⅱ型比直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)延時單元少，用硬件實現(xiàn)可以節(jié)省寄存器，比直接Ⅰ型經(jīng)濟；若用軟件實現(xiàn)則可節(jié)省存儲單元。但對于高階系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)都存在調(diào)整零、極點困難，對系數(shù)量化效應敏感度高等缺點。圖4-3直接Ⅰ型的變形結(jié)構(gòu)圖4-4直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)4.2.3級聯(lián)型

若把式(4-2)描述的N階IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母分別進行因式分解，得到多個因式連乘積的形式(4-4)式中：A為常數(shù)，ci和di分別表示H(z)的零點和極點。由于H(z)的分子和分母都是實系數(shù)多項式，而實系數(shù)多項式的根只有實根和共軛復根兩種情況。將每一對共軛零點（極點）合并起來構(gòu)成一個實系數(shù)的二階因子，并把單個的實根因子看成是二次項系數(shù)等于零的二階因子，則可以把H(z)表示成多個實系數(shù)的二階數(shù)字網(wǎng)絡Hj(z)的連乘積形式，如式(4-5)所示:(4-5)式中：若每一個實系數(shù)的二階數(shù)字網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)Hj(z)的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)，則可以得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，如圖4-5所示。圖4-5級聯(lián)型結(jié)構(gòu)在級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一個一階網(wǎng)絡只關(guān)系到濾波器的一個零點、一個極點；每個二階網(wǎng)絡只關(guān)系到濾波器的一對共軛零點和一對共軛極點。調(diào)整系數(shù)β0j、β1j和β2j只會影響濾波器的第j對零點，對其他零點并無影響；同樣,調(diào)整分母多項式的系數(shù)α1j和α2j也只單獨調(diào)整了第j對極點。因此，與直接型結(jié)構(gòu)相比，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)便于準確地實現(xiàn)濾波器零、極點的調(diào)整。此外，因為在級聯(lián)結(jié)構(gòu)中，后面的網(wǎng)絡的輸出不會流到前面，所以其運算誤差也比直接型小。4.2.4并聯(lián)型

把傳遞函數(shù)H(z)展開成部分分式之和的形式，就可以得到濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。當N=M時，展開式為和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的方法類似，將上式中的共軛復根部分兩兩合并得到實系數(shù)的二階網(wǎng)絡，則有(4-6)式中,N=E+2F。

由式（4-6）知，濾波器可由E個一階網(wǎng)絡、F個二階網(wǎng)絡和一個常數(shù)支路并聯(lián)構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)如圖4-6所示。并聯(lián)型結(jié)構(gòu)也可以單獨調(diào)整極點位置，但對于零點的調(diào)整卻不如級聯(lián)型方便，而且當濾波器的階數(shù)較高時，部分分式展開比較麻煩。在運算誤差方面，由于各基本網(wǎng)絡間的誤差互不影響，沒有誤差積累，因此比直接型和級聯(lián)型誤差稍小一點。圖4-6并聯(lián)型結(jié)構(gòu)4.3FIR濾波器的結(jié)構(gòu)4.3.1直接型設FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應h(n)的長度為N，其傳遞函數(shù)和差分方程分別為:(4-7)(4-8)根據(jù)式（4-7）或式（4-8）可直接畫出如圖4-7所示的FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。由于該結(jié)構(gòu)利用輸入信號x(n)和濾波器單位脈沖響應h(n)的線性卷積來描述輸出信號y(n)，所以FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)又稱為卷積型結(jié)構(gòu)，有時也稱為橫截型結(jié)構(gòu)。圖4-7FIR的直接型結(jié)構(gòu)4.3.2級聯(lián)型當需要控制系統(tǒng)傳輸零點時，將傳遞函數(shù)H(z)分解成二階實系數(shù)因子的形式：圖4-8FIR的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)4.3.3頻率采樣型

由頻域采樣定理可知，對有限長序列h(n)的Z變換H(z)在單位圓上做N點的等間隔采樣，N個頻率采樣值的離散傅里葉反變換所對應的時域信號hN(n)是原序列h(n)以采樣點數(shù)N為周期進行周期延拓的結(jié)果，當N大于等于原序列h(n)長度M時hN(n)=h(n)，不會發(fā)生信號失真，此時H(z)可以用頻域采樣序列H(k)內(nèi)插得到，內(nèi)插公式如下：(4-10)式中：

k=0,1,2,…,N-1式(4-10)為實現(xiàn)FIR系統(tǒng)提供了另一種結(jié)構(gòu)。H(z)也可以重寫為(4-11)式中：顯然，H(z)的第一部分Hc(z)是一個由N階延時單元組成的梳狀濾波器，如圖4-9所示。它在單位圓上有N個等間隔的零點i=0,1，2,…,N-1圖4-9梳狀濾波器第二部分是由N個一階網(wǎng)絡組成的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，每個一階網(wǎng)絡在單位圓上有一個極點因此，H(z)的第二部分是一個有N個極點的諧振網(wǎng)絡。這些極點正好與第一部分梳狀濾波器的N個零點相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應等于H(k)。把這兩部分級聯(lián)起來就可以構(gòu)成FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)，如圖4-10所示。圖4-10FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)

FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)的主要優(yōu)點：首先，它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在ω=2πk/N

處的響應值，因此可以直接控制濾波器的響應；此外，只要濾波器的N階數(shù)相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分的結(jié)構(gòu)完全相同，N個一階網(wǎng)絡部分的結(jié)構(gòu)也完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此頻率采樣型結(jié)構(gòu)便于標準化、模塊化。但是該結(jié)構(gòu)也有兩個缺點：（1）該濾波器所有的系數(shù)H(k)和WN-k一般為復數(shù)，復數(shù)相乘運算實現(xiàn)起來較麻煩。（2）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的，如果濾波器的系數(shù)稍有誤差，極點就可能移到單位圓外，造成零極點不能完全對消，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了克服上述缺點，對頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正。首先，單位圓上的所有零、極點向內(nèi)收縮到半徑為r的圓上，這里r稍小于1。此時H(z)為(4-12)式中，Hr(k)是在r圓上對H(z)的N點等間隔采樣之值。由于r≈1，所以，可近似取Hr(k)=H(k)。因此(4-13)根據(jù)DFT的共軛對稱性，如果h(n)是實序列，則其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于N/2點共軛對稱，即H(k)=H*(N-k)。又因為 ，為了得到實系數(shù)，我們將Hk(z)和HN-k(z)合并為一個二階網(wǎng)絡，記為Hk(z)式中:該二階網(wǎng)絡是一個諧振頻率為ωk=2πk/N的有限Q值的諧振器，其結(jié)構(gòu)如圖4-11所示。

除了共軛復根外H(z)還有實根。當N為偶數(shù)時，有一對實根z=±r，除二階網(wǎng)絡外尚有兩個對應的一階網(wǎng)絡:這時的H(z)如式(4-14)，其結(jié)構(gòu)如圖4-12所示。圖中Hk(z),z=1,2,…,N/2-1的結(jié)構(gòu)如圖4.11所示。(4-14)當N為奇數(shù)時，只有一個實根z=r，對應于一個一階網(wǎng)絡H0(z)。這時的H(z)為(4-15)顯然，N等于奇數(shù)時的頻率采樣修正結(jié)構(gòu)由一個一階網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和(N-1)/2個二階網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)組成。一般來說，當采樣點數(shù)N較大時，頻率采樣結(jié)構(gòu)比較復雜，所需的乘法器和延時器比較多。但在以下兩種情況下，使用頻率采樣結(jié)構(gòu)比較經(jīng)濟。（1）對于窄帶濾波器，其多數(shù)采樣值H(k)為零，諧振器柜中只剩下幾個所需要的諧振器。這時采用頻率采樣結(jié)構(gòu)比直接型結(jié)構(gòu)所用的乘法器少，當然存儲器還是要比直接型用得多一些。（2）在需要同時使用很多并列的濾波器的情況下，這些并列的濾波器可以采用頻率采樣結(jié)構(gòu)，并且可以大家共用梳狀濾波器和諧振柜，只要將各諧振器的輸出適當加權(quán)組合就能組成各個并列的濾波器。圖4-12頻率采樣修正結(jié)構(gòu)4.3.4快速卷積型

根據(jù)圓周卷積和線性卷積的關(guān)系可知，兩個長度為N的序列的線性卷積，可以用這兩個序列的2N-1點的圓周卷積來實現(xiàn)。由FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)：濾波器的輸出信號y(n)是輸入信號x(n)和濾波器單位脈沖響應h(n)的線性卷積。所以，對有限長序列x(n),我們可以通過補零的