解直角三角形

湘教版SHUXUE九年級上本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.3解直角三角形知識回顧

在Rt△ABC中，共有六個元素（三條邊，三個角），其中∠C=90°，那么其余五個元素之間有怎樣的關(guān)系呢？a2+b2=c2∠A+∠B=90°(1)三邊之間的關(guān)系：(2)銳角之間的關(guān)系：勾股定理：兩銳角互余。(3)邊與特殊銳角之間的關(guān)系：若∠A=30°，則AB=2BC，sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____。(4)邊角之間的關(guān)系：α30°45°60°sinαcosαtanα212√22√3√31特殊角的三角函數(shù)值：銳角三角函數(shù):abbcac2√32√2213√3(5)面積：h21S=ab=ch21討論：在一個直角三角形中，除直角外有5個元素（3條邊、2個銳角），要知道其中的幾個元素就可以求出其余的元素？

在直角三角形中，除直角外有5個元素（即3條邊、2個銳角），只要知道其中的2個元素（至少有1個是邊），就可以求出其余的3個未知元素.我們把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的過程叫作解直角三角形.解直角三角形的依據(jù)是什么？直角三角形的邊、角關(guān)系、公式。探究交流注意：已知的2個元素中，至少有1個是邊才可以.例1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c.解：∠B=900-∠A=900-300=600∴

b=a?tanB=5tan60°=5√3本題就是在直角三角形中已知2個元素，求直角外的其余3個元素。實際上是解直角三角形。應(yīng)用舉例又∵tanB=ba∵

sinA=ac∴

c====10asinA5sin300512還可以用勾股定理求c.CBA解：∵∠C=90°，cosA

=

31解得：x1=，x2=-(舍去）4√2154√2154√215∴AB的長是例2、

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA

=

，BC=5，試求AB的長.31∴ACAB=31設(shè)AB=x，則AC=x.31【點(diǎn)評】在直角三角形中，已知一邊和另兩邊的關(guān)系，常用勾股定理、方程思想解決.又AC2+BC2=AB2，即：(x)2+25=x231例3

在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15.60cm，b=8.50cm，求c，∠A，∠B(長度精確到0.01cm，角度精確到1′).

解:由于因此從而【點(diǎn)評】在解直角三角形中，不是特殊角的計算，可借助計算器計算，注意結(jié)果的精確度。例4

在四邊形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=20，CD=10，求AD，BC的長.EBACD201060°30°分析：已知角和線段都不在直角三角形中，所以需分別延AD、BC,交于點(diǎn)E，從而解30°的直角三角形ABE即可.AD=40-10√3BC=20√3-20解：延長AD，BC交于點(diǎn)E，得：∠E=30°在Rt△AEB中，AE=2AB=40在Rt△CDE中，CE=2CD=20由勾股定理，得：BE=20√3由勾股定理，得：DE=10√3例5.如圖，根據(jù)圖中已知數(shù)據(jù)，求△ABC其余各邊的長，各角的度數(shù)和△ABC的面積.ABC450300

4BC=BD+DC=2(√2+√6)，作AD⊥BC，垂足為D,D∠A=105°在Rt

△ABD中，AD=BD由勾股定理，得：BD=AD=2√2AC=4√2，在Rt

△ACD中，∠C=30°，

AC=2AD由勾股定理，得：DC=2√6S△ABC=BC·AD=×

×2√221212(√2+√6)=4+4√31、

在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊.(1)已知a=3，b=3，則∠A=

；(2).已知c=8，b=4，則a=

，∠A=

；(3).已知c=8，∠A=45°，則a=

，b=

.62、如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，則AC的長是_______。43ACB一、填空題：45°60°4√34√24√2隨堂練習(xí)53．如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=，則AC=____.54ABCD4、如圖，從點(diǎn)C測得樹的頂角為33o，BC=20米，則樹高AB=

米（用計算器計算，精確到0.1米）13.0C二、選擇題：1.在Rt△ABC中，若AC=2BC，則sinA的值是（）A.；B.2；C.；D.；215√52√5B

2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB為()A.B.C.D.54344353543、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanA=，CD⊥AB，則CD的長是（）A.5B.12C.D.43512125DA4、若菱形的一個內(nèi)角為60，較短對角線長是6，這個菱形的面積是（）A.18√3B.24√3C.36√3D.72√3三、解答題：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c.根據(jù)下列條件解直角三角形：(角度精確到1′，長度精確到

0.01cm).(3).∠A

=30°，c=15.68cm，(1).∠B

=45°，b=3cm，(2).a=√6，b=√2，分清未知元素?！螦

=45°,a=3cm,c=4.24cmc=2√2，∠A

=60°,∠B

=30°,∠B

=60°,a=7.84cm，b=2.80cm2、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形。若AB=2，求△ABC的周長。（結(jié)果保留根號）解：在等邊△ABD中，∠B=60°∵∠BAC=90°

∴∠C=30°∵sinC=

ABBC

∴BC=4.∴AC=BC·cosC=2√3

∴△ABC的周長是6+2√3

.變式訓(xùn)練：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=√3．點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且BD=2AD，∠ADC=60°求△ABC的周長和面積（結(jié)果保留根號）ACBC∵cosC=我們應(yīng)當(dāng)掌握：1、掌握直角三角形的五個元素，已知兩個元素（至少有個是邊），能求出其余三個元素；2、能把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成