協(xié)方差分析(三版)

第十三章

協(xié)方差分析協(xié)方差分析的意義對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制對(duì)協(xié)方差組分進(jìn)行估計(jì)為了提高試驗(yàn)的精確性和準(zhǔn)確性，對(duì)處理以外的一切條件都需要采取有效措施嚴(yán)加控制，使它們?cè)诟魈幚黹g盡量一致，這叫試驗(yàn)控制。但在有些情況下，即使作出很大努力也難以使試驗(yàn)控制達(dá)到預(yù)期目的。統(tǒng)計(jì)控制是試驗(yàn)控制的一種輔助手段。經(jīng)過(guò)這種修正，試驗(yàn)誤差將減小，對(duì)試驗(yàn)處理效應(yīng)估計(jì)更為準(zhǔn)確。若y的變異主要由x的不同造成(處理沒(méi)有顯著效應(yīng))，則各修正后的間將沒(méi)有顯著差異(但原y間的差異可能是顯著的)。若y的變異除掉x不同的影響外，尚存在不同處理的顯著效應(yīng)，則可期望各間將有顯著差異(但原y間差異可能是不顯著的)。此外，修正后的和原y的大小次序也常不一致。所以，處理平均數(shù)的回歸修正和修正平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，能夠提高試驗(yàn)的準(zhǔn)確性和精確性，從而更真實(shí)地反映試驗(yàn)實(shí)際。這種將回歸分析與方差分析結(jié)合在一起，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的方法，叫做協(xié)方差分析(analysisofcovariance)。例13-1為研究某降血糖藥物的有效性及其合用鹽酸二甲雙胍片的有效性，選擇收治90名2型糖尿病患者，并采用隨機(jī)對(duì)照試驗(yàn)，分為三個(gè)治療組，第一組為該降糖藥組，第二組為鹽酸二甲雙胍片組，第三組為該降糖藥+鹽酸二甲雙胍片組，每組30名患者，治療3個(gè)月，主要有效性指標(biāo)為糖化血紅蛋白。測(cè)得每個(gè)患者入組前（X）和3個(gè)月后（Y）的糖化血紅蛋白含量（％）,試分析三種治療降糖化血紅蛋白的效果是否不同。表13-3三組患者治療前后的糖化血紅蛋白含量（％）

第一組

第二組

第三組

X1Y1

X2Y2

X3Y3110.89.4

10.49.2

9.87.6211.69.7

9.79.0

11.27.9310.68.7

9.98.9

10.79.049.07.2

9.88.6

9.67.8511.210.0

11.19.9

10.18.569.98.5

8.27.1

9.87.5710.68.3

8.87.8

10.18.3810.48.1

10.07.9

10.38.2.....................259.47.6

10.39.6

10.07.4269.28.0

9.88.1

10.38.22710.58.8

10.59.9

9.97.62811.29.5

10.79.3

9.47.8299.68.2

10.48.7

8.36.6308.07.2

9.48.7

9.27.2若不考慮初始糖化血紅蛋白X對(duì)Y的影響H0：μ1=μ2=μ3H1：μ1、μ2、μ3不等或不全相等α=0.05結(jié)論：三種治療組降糖化血紅蛋白的效果不同。如何在扣除或均衡這些不可控制因素的影響后比較多組均數(shù)間的差別，應(yīng)用協(xié)方差分析。當(dāng)有一個(gè)協(xié)變量時(shí)，稱(chēng)一元協(xié)方差分析；當(dāng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上協(xié)變量時(shí)，稱(chēng)多元協(xié)方差分析。協(xié)方差分析是將線(xiàn)性回歸與方差分析相結(jié)合的一種分析方法。把對(duì)反應(yīng)變量Y有影響的因素X看作協(xié)變量，

建立Y對(duì)X的線(xiàn)性回歸，利用回歸關(guān)系把X值化為相等，再進(jìn)行各組Y的修正均數(shù)間比較。修正均數(shù)是假設(shè)各協(xié)變量取值固定在其總均數(shù)時(shí)的反應(yīng)變量Y的均數(shù)。其實(shí)質(zhì)是從Y的總離均差平方和中扣除協(xié)變量X對(duì)Y的回歸平方和，對(duì)殘差平方和作進(jìn)一步分解后再進(jìn)行方差分析。殘差平方和的分解組1組2Y二、應(yīng)用條件1.各組協(xié)變量X與因變量Y的關(guān)系是線(xiàn)性的，

即各樣本回歸系數(shù)b本身有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。2.各樣本回歸系數(shù)b間的差別無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，即各回歸直線(xiàn)平行。3.各組殘差呈正態(tài)分布。4.各協(xié)變量均數(shù)間的差別不能太大，否則有的修正均數(shù)在回歸直線(xiàn)的外推延長(zhǎng)線(xiàn)上。

要求：在進(jìn)行協(xié)方差分析前，應(yīng)先進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)和回歸系數(shù)的檢驗(yàn)。注意問(wèn)題：如果不滿(mǎn)足以上條件，建議進(jìn)行變量變換，符合上述條件后，再進(jìn)行協(xié)方差分析。協(xié)方差分析的基本步驟1.確定協(xié)變量（即未加以控制或難以控制的因素）2.檢驗(yàn)條件是否滿(mǎn)足3.建立因變量Y隨協(xié)變量X變化的線(xiàn)性回歸關(guān)系4.利用回歸關(guān)系把協(xié)變量X化為相等后再進(jìn)行各組Y的修正均數(shù)間比較的假設(shè)檢驗(yàn)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的

協(xié)方差分析表13-1kn對(duì)觀測(cè)值x、y的單向分組資料的一般形式方法步驟數(shù)據(jù)準(zhǔn)備數(shù)據(jù)分布檢驗(yàn)方差齊性檢驗(yàn)電腦運(yùn)算具體步驟1、計(jì)算各組、

，平方和、，積和均數(shù)及其合計(jì)項(xiàng)2、利用合計(jì)項(xiàng)各數(shù)據(jù)計(jì)算校正數(shù)C1、C2、C3，以及總變異的離均差平方和，積和及自由度3、計(jì)算各處理組間的離均差平方和，積和及自由度4、列出協(xié)方差分析計(jì)算表填入上述結(jié)果，再由總變異的及減去處理組相應(yīng)各值，得到組內(nèi)離均差平方和及自由度5、計(jì)算回歸估計(jì)誤差平方和及自由度，其中總的及組內(nèi)平方和分別按下式計(jì)算總的減去組內(nèi)的平方和即為“修正均數(shù)”的平方和6、以修正均數(shù)及組內(nèi)的估計(jì)誤差平方和分別除以相應(yīng)的自由度得到修正均數(shù)及組內(nèi)估計(jì)誤差均方，求F值7、查F界值表得P值，做出統(tǒng)計(jì)推斷8、多重比較的q檢驗(yàn)例13-1藥物治療是人為可控制的定性因素，稱(chēng)定性變量初始糖化血紅蛋白是難以控制的定量因素，稱(chēng)協(xié)變量X3月后的糖化血紅蛋白是實(shí)驗(yàn)觀察指標(biāo)，稱(chēng)應(yīng)變量Y1．H0：各總體糖化血紅蛋白的修正均數(shù)相等

H1：各總體糖化血紅蛋白的修正均數(shù)不全相等

α=0.052．列表并計(jì)算初步結(jié)果協(xié)方差分析步驟變異來(lái)源ν離均差平方和及積和估計(jì)誤差

總變異

組間變異

組內(nèi)變異

修正均數(shù)

協(xié)方差分析計(jì)算表模式νMSF3．計(jì)算相應(yīng)的校正數(shù)、總的、組間及組內(nèi)的離均差平方和、積和及自由度

（1）校正數(shù)（2）總的離均差平方和、積和及自由度

（3）組間離均差平方和、積和及自由度

4．計(jì)算總的、組內(nèi)及修正均數(shù)的估計(jì)誤差平方和、自由度

5．列協(xié)方差分析表，查F界值表，P＜0.01，拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為在扣除初始糖化血紅蛋白因素的影響后，三組患者的總體降糖均數(shù)有差別。6．計(jì)算公共回歸系數(shù)bc及各組修正均數(shù)

7．修正均數(shù)間差別進(jìn)行兩兩比較–

q檢驗(yàn)

SPSS軟件計(jì)算1.建立數(shù)據(jù)文件2.繪制散點(diǎn)圖與建立直線(xiàn)回歸方程3.回歸直線(xiàn)平行性假定的檢驗(yàn)初始X與各組無(wú)交互作用可認(rèn)為各組回歸直線(xiàn)平行，即初始X對(duì)糖化血紅蛋白的影響在各組間是相同的。4.修正均數(shù)的計(jì)算與假設(shè)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入原則：一個(gè)變量占一列一個(gè)觀測(cè)對(duì)象占一行SPSS軟件計(jì)算1.建立數(shù)據(jù)文件2.繪制散點(diǎn)圖與建立直線(xiàn)回歸方程3.回歸直線(xiàn)平行性假定的檢驗(yàn)初始X與各組無(wú)交互作用可認(rèn)為各組回歸直線(xiàn)平行，即初始X對(duì)糖化血紅蛋白的影響在各組間是相同的。4.修正均數(shù)的計(jì)算與假設(shè)檢驗(yàn)SPSS軟件計(jì)算1.建立數(shù)據(jù)文件2.繪制散點(diǎn)圖與建立直線(xiàn)回歸方程3.回歸直線(xiàn)平行性假定的檢驗(yàn)

初始X與各組無(wú)交互作用可認(rèn)為各組回歸直線(xiàn)平行，即初始X對(duì)糖化血紅蛋白的影響在各組間是相同的。4.修正均數(shù)的計(jì)算與假設(shè)檢驗(yàn)考察三組的初始糖化血紅蛋白是否相同？SPSS軟件計(jì)算1.建立數(shù)據(jù)文件2.繪制散點(diǎn)圖與建立直線(xiàn)回歸方程3.回歸直線(xiàn)平行性假定的檢驗(yàn)初始X與各組無(wú)交互作用可認(rèn)為各組回歸直線(xiàn)平行，即初始X對(duì)糖化血紅蛋白的影響在各組間是相同的。4.修正均數(shù)的計(jì)算與假設(shè)檢驗(yàn)前面已得出三組斜率相同的結(jié)論，故交互項(xiàng)不需要再引入到模型。協(xié)變量假定均數(shù)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的協(xié)方差分析例13-2為研究A、B、C三種飼料對(duì)增加大白鼠體重的影響，有人按隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)將初始體重相近的36只大白鼠分成12個(gè)區(qū)組，再將每個(gè)區(qū)組的3只大白鼠隨機(jī)分入A、B、C三種飼料組，但在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)未對(duì)大白鼠的進(jìn)食量加以限制。三組大白鼠的進(jìn)食量(X)與所增體重(Y)如下，問(wèn)扣除進(jìn)食量因素的影響后，三種飼料對(duì)增加大白鼠體重有無(wú)差別？隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料方差分析的變異分解總變異＝處理間變異+區(qū)組間變異+誤差隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料協(xié)方差分析的變異分解與此相同處理因素（飼料）協(xié)變量（進(jìn)食量）區(qū)組（大白鼠）反應(yīng)變量Y(增重)均數(shù)扣除協(xié)變量影響：用線(xiàn)性回歸殘差平方和表示扣除區(qū)組的影響：總變異－區(qū)組變異＝處理變異＋誤差1.H0:各總體增重的修正均數(shù)相等

H1:各總體增重的修正均數(shù)不全相等

=0.052.計(jì)算總的、飼料組間、大白鼠間、誤差項(xiàng)、飼料+誤差項(xiàng)的lXX、lYY、lXY與自由度總變異－白鼠間

3.結(jié)論:

F=2.19<F0.05(2,21)=3.47

P>0.05

按=0.05水準(zhǔn)不拒絕H0，還不能認(rèn)為扣除進(jìn)食量因素的影響后，三種飼料對(duì)增加大白鼠體重有差別。4.計(jì)算公共回歸系數(shù)與修正均數(shù)未修正前均數(shù)：SPSS軟件計(jì)算1.建立數(shù)據(jù)文件2.繪制散點(diǎn)圖與建立直線(xiàn)回歸方程3.回歸直線(xiàn)平行性假定的檢驗(yàn)進(jìn)食量與飼料組無(wú)交互作用可認(rèn)為各組回歸直線(xiàn)平行，即進(jìn)食量對(duì)增重的影響在各組間是相同的。4.修正均數(shù)的計(jì)算與假設(shè)檢驗(yàn)SPSS軟件計(jì)算1.建立數(shù)據(jù)文件2.繪制散點(diǎn)圖與建立直線(xiàn)回歸方程3.回歸直線(xiàn)平行性假定的檢驗(yàn)進(jìn)食量與飼料組無(wú)交互作用可認(rèn)為各組回歸直線(xiàn)平行，即進(jìn)食量對(duì)增重的影響在各組間是相同的。4.修正均數(shù)的計(jì)算與假設(shè)檢驗(yàn)SPSS軟件計(jì)算1.建立數(shù)據(jù)文件2.繪制散點(diǎn)圖與建立直線(xiàn)回歸方程3.回歸直線(xiàn)平行性假定的檢驗(yàn)

進(jìn)食量與飼料組無(wú)