精密儀器設計-誤差理論

精密儀器設計

DesignofPrecisionInstrument儀器精度理論

——誤差分析與處理儀器精度概述誤差基本理論21本章內(nèi)容誤差合成與分配（儀器精度分析與設計）3

精度是精密儀器的一項重要指標，是由于儀器原理、結(jié)構(gòu)和制造裝調(diào)等方面的不完善導致儀器測量值與被測量真實值有一定偏差，這種偏差大小反應了儀器本身性能的好壞，可用儀器本身缺陷所造成的誤差大小來評定。精度本身是一種定性的概念，可采用誤差作為定量的指標來衡量第一節(jié)儀器精度概述誤差定義：對某物理量進行測量，所測得的數(shù)值

與其真值

之間的差稱為測量誤差，即：誤差的大小反應了測量值對于真值的偏離程度。也可采用相對誤差的形式：儀器誤差的來源：原理方面1、測量理論、測量方法不完善或采用近似方法2、儀器設計方案不同3、零部件設計原理不同儀器零部件在制造過程中的公差儀器使用過程中的退化、磨損、應力變形等導致的誤差制造方面運行方面誤差的分類：隨機誤差：偶然誤差，不確定因素導致的誤差，數(shù)值和方向沒有一定規(guī)律，但其總體服從統(tǒng)計規(guī)律。

系統(tǒng)誤差：大小和方向在測量過程中恒定不變，或按照一定規(guī)律變化的誤差，可進行調(diào)節(jié)和修正。

粗大誤差：由于疏忽或錯誤出現(xiàn)的誤差，應予以剔除。按被測參數(shù)的時間特性還可分為靜態(tài)參數(shù)誤差和動態(tài)參數(shù)誤差。儀器精度理論研究內(nèi)容：1、研究影響儀器精度的各項誤差來源及特性；2、研究誤差的評定和估計方法；3、掌握誤差的合成與分配原則，為精度設計提供可靠的科學依據(jù)。第二節(jié)誤差基本理論2.1

隨機誤差2.2系統(tǒng)誤差2.3粗大誤差多次測量，隨機誤差呈現(xiàn)出的規(guī)律隨機誤差對稱性單峰性抵償性有界性一、隨機誤差的基本特點及分布正負誤差概率基本相等小誤差出現(xiàn)概率大正負誤差可相互抵消誤差不會超過一定界線2.1隨機誤差理論依據(jù)：中心極限定理

只要構(gòu)成隨機變量總和的各獨立隨機變量的數(shù)目足夠多，而且每個隨機變量對總量的影響都足夠小，那么，隨機變量總和的分布規(guī)律為正態(tài)分布古典誤差理論認為：隨機誤差服從正態(tài)分布正態(tài)分布及特性——測量數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)：隨機誤差的概率密度函數(shù)：誤差真值更一般的求解公式：拉普拉斯函數(shù)（或稱正態(tài)分布積分）式中，說明了什么？我們可以有68.27%的把握認為測量值的誤差不超出0.6827拉普拉斯函數(shù)的變形：思考：若測量誤差必須具有99%的可信度，其誤差應放寬至多大？

P=0.95()，一般精密測量，應用廣泛；

P=0.9973()，用于較重要的科研工作和精密儀器；

P=0.9999()，用于個別對可靠性要求特別高的科研和精密測量工作；二、隨機變量的數(shù)字特征描述隨機變量分布特征的數(shù)值：隨機變量的數(shù)字特征（理想化）數(shù)學期望：位置特征方差：分散性指標標準差隨機變量關于其數(shù)學期望的偏離程度比其他任何值的偏離程度都小。如果x是測量值，那么Ex就是該被測量值最可信賴的值（或稱概然值）數(shù)字特征如何估計？數(shù)學期望的估計（算術平均值）——要求估計值在參考量附近擺動，作為無偏估計，就要證明估計值的數(shù)學期望正好等于未知量（真值）解決了有限次等精度測量中，如何估計被測量真值的問題標準偏差及其估計（標準差或方均根誤差）——例：兩組測量值衡量的指標：標準差哪一組測量值更好？1、標準差的估計——貝賽爾公式貝賽爾公式即貝賽爾公式估算條件：測量次數(shù)n比較大就是的無偏估計兩邊同除以n：2、標準偏差的其他估算方法1）別捷爾斯法（Peters）2）極差法ω

n＝xmax

-xmin根據(jù)極差得分布函數(shù)，可以求出數(shù)學期望：dn可查表得到，與測量次數(shù)有關：測量的次數(shù)越多，ωn大的概率高，故dn應大。極差法可簡單迅速算出標準差，n<10時適用。上例：序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

3)最大誤差法查表真值未知時例：上表為例n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.443、四種計算方法的優(yōu)缺點

②別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，它的計算速度較快，但計算精度較低，計算誤差為貝氏公式的1.07倍；③用極差法計算σ，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當n<10時可用來計算σ，此時計算精度高于貝氏公式；④用最大誤差法計算σ更為簡捷，容易掌握，當n<10時可用最大誤差法，計算精度大多高于貝氏公式，尤其是對于破壞性實驗(n=1)只能應用最大誤差法。①貝塞爾公式的計算精度較高，但計算麻煩，需要乘方和開方等，其計算速度難于滿足快速自動化測量的需要；三、測量結(jié)果的精度指標正態(tài)分布的概率積分——誤差函數(shù)1、誤差出現(xiàn)在內(nèi)的概率（置信度表示）令誤差函數(shù)拉普拉斯函數(shù)2、的含義標準差σ是表征隨機誤差很重要的一個特征量，可用于描述測量列中各個測得值的誤差。因標準差σ甚為重要，需進一步理解它的含義和對測量的作用。例如：對某一量測試100次，得到測量值標準差估計值可作為表征測量列中每一個測得值誤差的參數(shù)在一個測量列中，不是以某個抽樣，而是以整個測量列的算術平均值作為測量結(jié)果：（置信概率P）此時，以算術平均值表示結(jié)果時，對應的誤差又是多少？隨機變量（一個測量列）對于m個測量列而言，每個測量列的均值都是一個隨機變量，如何計算算數(shù)平均值的標準差？3、算數(shù)平均值的分布特性與標準差隨機變量的取值（多組測量列）算數(shù)平均值的標準差：即用作為測量結(jié)果比用單次測量結(jié)果精度提高了倍！

增加測量次數(shù)，可以提高測量精度，但測量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測量精度，必須付出較大的勞動。由圖,σ一定時，當n>10以后，的減小很慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10左右較為適宜。（多次測量的）算數(shù)平均值的標準差：例：

用儀器測量某電壓10次，得到數(shù)據(jù)如下(單位為v)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求：1）算術平均值及其標準差。2）電壓的測量結(jié)果。解：注意最終結(jié)果保留兩位有效數(shù)字練習：利用某精密測量系統(tǒng)測量微弱電壓20次，得均值5uV，單次測量精度為0.1uV，求測量結(jié)果置信概率為50%的置信區(qū)間。四、隨機誤差的其它分布三角形分布(辛普生分布,simpson)（計數(shù)器計數(shù)誤差）反正弦分布（電子測量振幅、微波測量由失配引起的不確定度）偏心分布(瑞利分布,rayleigh)（雷達雜波包絡分布）均勻分布（儀器制造中的公差）儀器偏差、儀器設計原理缺陷、儀器制造中的公差和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差等。采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習性引起的誤差等。①測量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素③

測量方法的因素④

測量人員的因素2.2系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差一、系統(tǒng)誤差的分類和特征1、定值系統(tǒng)誤差在同一條件下，多次測量同一測量值時，誤差的絕對值和正負符號保持不變。

如讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差、量塊或其它標準件尺寸的偏差，均為恒定系統(tǒng)誤差。2、變值系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差指在整個測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個或某幾個因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，可分為三種：

①線性系差（累進系差）：在整個測量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。如溫度線性變化引起的誤差。

②周期系差：在整個測量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。如齒輪轉(zhuǎn)動引起的正弦誤差。

③復雜系差：在整個測量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為復雜的規(guī)律變化，稱其為復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。二、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)1、定值系差的發(fā)現(xiàn)（1）對比檢定法（校準法）改變測量條件進行測量，一般換更精密的儀器，求出兩次測量的算術平均值之差，即為定值系差。（2）均值與標準差比較法如：改變測量次數(shù)如果測量次數(shù)足夠多，服從正態(tài)分布時：服從正態(tài)分布如果測量次數(shù)較少，用兩樣本t檢驗法進行檢驗（3）t分布檢驗法2、變值系差的發(fā)現(xiàn)兩種基本方法：觀察殘差的變化或者檢驗是否服從已知的規(guī)律（1）馬林科夫判據(jù)——前后分組核算殘差法（線性系差）

按先后順序?qū)y量數(shù)據(jù)分兩組，前一半和后一半的殘差分別求和，然后求其差值。如果不存在累進性系差，該差值應近似為0；否則，可能比較大。不適于檢驗周期性系差。如果測量服從正態(tài)分布，則：周期系差存在判據(jù)為：計算時以殘差代替真差：可以證明：（2）阿貝-赫梅特準則（周期系差）（3）標準偏差不同公式檢算法（類型不能確定）四、系統(tǒng)誤差的減小和消除主要途徑：1、在儀器設計過程中完善測量方法和設計方案；2、在儀器制造過程中，提高制造精度；3、合理使用儀器，減小運行誤差（環(huán)境和使用規(guī)范）；4、測量過程中，采用合理的測量方法和數(shù)據(jù)處理方法消除系統(tǒng)誤差。粗大誤差：疏忽誤差、過失誤差。不能不知原因不加分析就輕易舍棄測量列中最大或最小的數(shù)據(jù)。對懷疑是粗大誤差而又不明原因的數(shù)據(jù)，應按照統(tǒng)計學方法進行判別。2.3粗大誤差1.萊特準則——3σ準則最常用、最簡單判別粗大誤差的準則具體剔除辦法：先計算標準差，然后計算每次測量的殘差剔除完后，重新按準則計算，直至沒有數(shù)據(jù)剔除為止。若，則剔除 2.肖維勒（chauvenet）準則以隨機誤差服從正態(tài)分布為前提，思路與萊特準則相似。若殘差，則剔除該數(shù)據(jù)。肖維勒準則確定的方法:顯著度:與萊特準則的區(qū)別：置信度與測量次數(shù)相關。數(shù)據(jù)量越大，判據(jù)越嚴格！將的誤差中的最大一個剔除。重新計算，再次用肖維勒準則判斷，直至全部符合判據(jù)。注意：肖維勒準則以大數(shù)據(jù)量為前提，n<10時，不適宜采用。萊特準則和肖維勒準則都是基于這個前提，n較小時都不可靠。3.格羅布斯（grubbs）準則如果樣本觀測值中存在異常數(shù)據(jù)，它一定是最大值或最小值。將測量數(shù)據(jù)從小到大順序排序（x(1)最小，x(n)最大）。構(gòu)造異常值的檢驗統(tǒng)計量，通?？砂凑彰枋鰳颖緲O值與樣本主體之間的差異的原則來進行。例：用三種方法判別儀器的測量結(jié)果是否含有粗大誤差。(3)按格羅布斯準則（grubbs）按測得值大小排列：則：首先懷疑x(1)可能含有粗大誤差：查表得（取顯著度0.05）：由于：因此第8個測量值含有粗大誤差，應剔除余下的14個數(shù)據(jù)做同樣的處理，直至沒有粗大誤差的數(shù)據(jù)。儀器設計問題：設計一臺精密電阻測量儀，總精度要求σ總。該精密電阻儀主要由高精度恒流源電路、精密電壓測量電路、運算放大電路等部分構(gòu)成，則：

滿足總精度要求的情況下，每部分的精度應該為多少？（分配問題）當每部分的誤差已知時，該測量儀器的總誤差是多少？（合成問題）被測量值在儀器測量鏈測量轉(zhuǎn)換過程的數(shù)學描述可表示為如下測量方程式：Si為測量儀器各環(huán)節(jié)特性參數(shù)值采樣處理分析顯示測量示值原始信號誤差？合成：間接測量如何得到結(jié)果的誤差？分配：已知測量結(jié)果誤差，如何分配單項誤差？電壓測量誤差電流測量誤差測量系統(tǒng)設計問題：第三節(jié)誤差的合成與分配

（儀器精度的分析與設計）一、基本概念精度分析：根據(jù)儀器的工作原理、結(jié)構(gòu)、制造工藝和使用條件來分析和綜合儀器的誤差，這個過程稱為精度分析?！菊`差合成問題】精度設計：根據(jù)使用要求確定儀器的總誤差指標，再將總誤差分配到各個誤差源中去，形成對各組成部件、零件的技術要求，這個過程稱為精度設計?！菊`差分配問題】理論依據(jù)：誤差基本理論（隨機、系統(tǒng)、合成與分配）精度分析與設計目的：1、設計新產(chǎn)品時，預估儀器可能達到的精度，為選擇最佳方案提供依據(jù)；2、產(chǎn)品的改進設計中，通過精度分析，找到影響精度的主要因素，因而能有效提高產(chǎn)品精度；3、通過精度分析可估計和控制產(chǎn)品成本，避免盲目性，防止不應有的浪費；4、把總誤差合理分配到各誤差源，為制定公差、工藝、裝調(diào)等技術條件提供依據(jù)。精密儀器測量中需要明確的兩點：測量精度：即測量誤差，包括儀器誤差、測量條件、測量方法、測量者本人狀態(tài)的影響等因素決定的綜合精度（隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差）

儀器精度：即儀器誤差，指儀器本身的固有誤差，由于儀器在原理上、結(jié)構(gòu)上、制造與裝調(diào)等方面的不完善所造成（系統(tǒng)誤差、特定條件下的隨機誤差）

儀器精度只是測量精度的一部分，儀器精度并不能完全決定測量精度間接測量為各直接測量參數(shù)取全微分：誤差較小時：誤差傳遞公式（絕對誤差形式）誤差傳遞系數(shù)二、誤差傳遞公式由于：誤差傳遞公式（相對誤差形式）兩端同除以y：當測量函數(shù)為和、差關系，求總和絕對誤差比較方便。當測量函數(shù)為積、商、開方、乘方關系時，求總和相對誤差比較方便。例1：例2：隨機誤差通常用標準差σ或極限誤差δlim來表示，隨機誤差的合成主要是在一定測量條件下的標準差或極限誤差的合成。換成1、隨機誤差的合成三、誤差的合成（儀器精度分析）1）隨機誤差傳遞公式對xi多次重復測量n次：縱向歸納可得(根據(jù)誤差傳遞公式)：將以上各式一一平方后得：將各式相加后再除以n得：由于相關系數(shù)為：代入上式：相關系數(shù)ρ反映了各隨機誤差分量相互間的關聯(lián)對函數(shù)總誤差的影響

若各測量值的隨機誤差相互獨立時，相關系數(shù)ρij為零，則獨立測量的合成誤差為：隨機誤差傳遞公式：（ρ=0）（ρ≠0）

q個單項隨機誤差，標準差

誤差傳遞系數(shù)

由間接測量的顯函數(shù)模型求得根據(jù)實際經(jīng)驗給出知道影響測量結(jié)果的誤差因素而不知道每個和2）隨機誤差的合成方法（標準差形式）單項極限誤差:

單項隨機誤差的標準差單項極限誤差的置信系數(shù)合成極限誤差計算公式應用極限誤差合成公式時，應注意：根據(jù)已知的各單項極限誤差以及所選取的各個置信系數(shù)，即可進行極限誤差的合成各個置信系數(shù)、

不僅與置信概率有關，而且與隨機誤差的分布有關對于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應的各個置信系數(shù)相同例1：

三個測量量相互獨立，有：求結(jié)果的隨機誤差。解：重復30次測量，重復8次測量，兩個測量量獨立。例2：求置信概率95%時的t分布正態(tài)分布代入下式求解：項數(shù)q較小，且第2項誤差不服從正態(tài)分布。故計算k時按t分布計算系統(tǒng)誤差分類按誤差出現(xiàn)規(guī)律按對誤差掌握程度定值系統(tǒng)誤差變值系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差：未定系統(tǒng)誤差：線性系差周期系差復雜系差誤差絕對值和符號已經(jīng)確定誤差絕對值和符號未能確定，但可估計出誤差范圍上述講解的合成類型合成復雜、難以計算，修正或消除一般按隨機誤差合成方法2、系統(tǒng)誤差的合成合成方法：（1）已定系差：（2）未定系差：通常按隨機誤差的合成方法。3、隨機誤差與系統(tǒng)誤差的合成不同性質(zhì)的多項系統(tǒng)誤差與隨機誤差的綜合問題1）按標準差合成

設r個已定系統(tǒng)誤差，s個未定系統(tǒng)誤差項，q個隨機誤差，誤差的傳遞系數(shù)均為1，各誤差之間互不相關，則測量結(jié)果總的標準差第i項未定系統(tǒng)誤差的標準差第j項隨機誤差的標準差若n次重復測量，需除以次數(shù)n第k項已定系統(tǒng)誤差2)按極限誤差合成r個單項已定系統(tǒng)誤差，誤差值為s個單項未定系統(tǒng)誤差，極限誤差為q個單項隨機誤差，極限誤差為若各誤差傳遞函數(shù)均為1，且互不相關則：合成后總極限誤差的置信系數(shù)各單項極限誤差的置信系數(shù)4、儀器精度計算a）全面分析儀器誤差來源；b）確定隨機誤差數(shù)值（制造誤差在儀器制造前按隨機誤差處理）；c）確定系統(tǒng)誤差數(shù)值；d）誤差合成；e）根據(jù)結(jié)果進行設計方案的調(diào)整。

給定儀器總的精度指標，合理確定儀器設計各環(huán)節(jié)的單項誤差，是誤差合成的反問題（在誤差分配時，隨機誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待）。假設各誤差因素皆為隨機誤差，且互不相關，有：若已經(jīng)給定，如何確定Di或相應的i,使其滿足式中，稱為部分誤差，或局部誤差四、誤差的分配（儀器精度設計）1、按等影響原則分配誤差等影響原則：各分項誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即由此可得：或用極限誤差表示：函數(shù)的總極限誤差各單項誤差的極限誤差進行誤差分配時，一般應按照下述步驟：對于不易實現(xiàn)的誤差項如何處理？

調(diào)整思路：在等影響原則分配誤差的基礎上，根據(jù)具體情況進行適當調(diào)整。對難以實現(xiàn)測量的誤差項適當擴大，對容易實現(xiàn)的誤差項盡可能縮小，其余誤差項不予調(diào)整。2、按可能性進行各分項誤差的調(diào)整實例：全站儀誤差分析全站儀，即全站型電子測距儀（ElectronicTotalStation），是一種集光學、機械、電子、計算機為一體的精密測量儀器，是集距離、角度、高度測量功能于一體的儀器系統(tǒng)。由電子測距、電子測角、電子補償、微處理器裝置等幾部分構(gòu)成。廣泛用于空間測量等精密工程測量領域。電子測距原理：通過測量光波（電磁波）在待測距離上往返傳播的時間來計算待測距離的。在A點安置全站儀，B點安置反射棱鏡，全站儀發(fā)射的激光波束經(jīng)棱鏡反射后，被全站儀接收。測量出激光在A、B之間往返傳播的時間，利用物理學原理計算兩點之間的距離：D=C*t/2根據(jù)不同的測時方法，電子測距的方法主要有脈沖法測距、干涉法測距、相位法測距。相位法測距原理圖相位法測距:本振產(chǎn)生恒定頻率的本振信號，通過鎖相環(huán)產(chǎn)生需要的主振頻率信號，驅(qū)動發(fā)光管產(chǎn)生調(diào)制光波經(jīng)棱鏡返射后，由接收器接收，經(jīng)混頻電路產(chǎn)生低頻信號經(jīng)放大后送檢相計數(shù)器，同早期送到的基準信號進行比相，得出發(fā)射時刻的調(diào)制光波的相位差，然后計算并顯示。例:徠卡TS09plus全站儀精度指標

——測距精度：1.5mm+D*10-6

——測角精度：1″——。。。測距系統(tǒng)誤差主要有:1）周期誤差;2)加、乘常數(shù)誤差;3)幅相誤差。測角系統(tǒng)誤差主要有（三軸誤差）:1）視準軸誤差;2)水平軸誤差;3)垂直軸誤差。測距系統(tǒng)誤差主要來源有:1）周期誤差周期誤差是指由于測距儀光學和電子線路的光電信號竄擾而使待測距離以λ/2為周期重復出